空間直線與直線的位置關(guān)系

1、課題：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系桓臺一中數(shù)學(xué)組尹朔教材版本：新課標(biāo)：人教版 A版數(shù)學(xué)必修2設(shè)計(jì)思想：空間中直線與直線的位置關(guān)系是學(xué)生在已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面的基本概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。 在立體幾何初步的內(nèi)容中，位置關(guān)系主要包括直線與直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系、 平面與平面的位置關(guān)系。而空間中直線與直線的位置關(guān)系是以上各種位置關(guān)系中最重要、最基本的一種，是我們研究的重點(diǎn)。其中，等角定理解決了角在空間中的平移問題，在平移變換下角的大小不變，它是兩條異面直線所成角的依據(jù)，也是以后學(xué)習(xí)研究二面角幾角有關(guān)內(nèi)容的理論依據(jù)，它提供了一個(gè)研究角之間關(guān)系的重要方法。教材在編寫時(shí)注意從平面到空間的變化，通

2、過觀察實(shí)物，直觀感知，抽象概括出定義及定理培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和分析問題的能力，通過聯(lián)系和比較，理解定義、定理， 以利于正確的進(jìn)行運(yùn)用。教材分析：直線與直線問題是高考考查的重點(diǎn)之一，求解的關(guān)鍵是根據(jù)線與面之間的互化關(guān)系，借助創(chuàng)設(shè)輔助線與面，找出符號語言與圖形語言之間的關(guān)系把問題解決。通過對有關(guān)概念和定理的概括、證明和應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的觀點(diǎn)， 提高學(xué)生的空間想象力和邏輯推理能力。教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能（ 1 ） . 掌握異面直線的定義，會(huì)用異面直線的定義判斷兩直線的位置關(guān)系。（ 2） . 會(huì)用平面襯托來畫異面直線。（ 3） . 掌握并會(huì)應(yīng)用平行公理和等角定理。（ 4） . 會(huì)用異面直線所

3、成的角的定義找出或作出異面直線所成的角，會(huì)在直角三角形中求簡單異面直線所成的角。2、過程與方法(1)自主合作探究、師生的共同討論與講授法相結(jié)合;(2)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程不斷探究歸納整理所學(xué)知識。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀(1) .讓學(xué)生感受到掌握空間兩直線關(guān)系的必要性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。(2) .增強(qiáng)動(dòng)態(tài)意識，培養(yǎng)學(xué)生觀察、對比、分析的思維，通過平移轉(zhuǎn)化滲透數(shù)學(xué)中的化歸及 辯證唯物主義思想。(3) .通過探究增強(qiáng)學(xué)生的合作意識、動(dòng)腦意識和動(dòng)手能力。教學(xué)重點(diǎn)：異面直線的定義；異面直線所成的角的定義。教學(xué)難點(diǎn)：異面直線所成角的推證與求解。教具準(zhǔn)備：學(xué)生學(xué)案一份、多媒體、合作探究配套教學(xué)模型(正方體)教學(xué)

4、模式問題一一自主、合作一一探究教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入1 .師：平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有？生：相交直線、平行直線相交直線(有一個(gè)公共點(diǎn))；平行直線(無公共點(diǎn))2 .師：平面內(nèi)不平行的兩直線必相交，問：空間內(nèi)還成立否?通過實(shí)例展示。十字路口 -立交橋立交橋中,兩條路線AB, CD既不平行，又不相交(非平面問題)六角螺母、新課講解1 .異面直線的定義：不同在 任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。練習(xí)：在教室里找出幾對異面直線的例子（學(xué)生就教室中的燈管、黑板、墻棱、暖氣管、課桌等等找出許多異面直線）2 .異面直線的畫法說明：畫異面直線時(shí)，為了體現(xiàn)它們不共面的特點(diǎn)。常借助一個(gè)或兩個(gè)平面來襯托合作探究

5、：分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是否一定異面？答：不一定：它們可能異面，可能相交，也可能平行。（學(xué)生自告奮勇的在黑板上畫出上述三種情況，即鞏固異面直線的定義，又訓(xùn)練了異面直線的畫法）3 .空間兩直線的位置關(guān)系按平面基本性質(zhì)分（1）同在一個(gè)平面內(nèi)：相交直線、平行直線（2）不同在任何一個(gè)平面內(nèi)：異面直線按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分（1）有一個(gè)公共點(diǎn)：相交直線（2）無公共點(diǎn)：平行直線、異面直線注1：兩直線異面的判別一：兩條直線既不相交、又不平行兩直線異面的判別二：兩條直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi) 合作探究：如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體,那么AB , CD , EF , GH這四條線段 所在直線是異面直線

6、的有 K?（學(xué)生以小組為單位，對照課前準(zhǔn)備好的正方體模型，進(jìn)行合作討論，找出異面直線。老師通過幾何畫板展示此圖還原的過程，與學(xué)生一起訂正他們的答案） 答：共有三對4 .異面直線所成的角（1）復(fù)習(xí)回顧在平面內(nèi)，兩條直線相交成四個(gè)角，其中不大于90度的角稱為它們的夾角，用以刻畫兩直線的錯(cuò)開程度，如圖.(2)問題提出在空間，如圖所示,正方體ABCD- EFGHf ,異面直線AB與HF的錯(cuò)開程度可以怎樣來刻畫(3)問題猜想思想方法：平移轉(zhuǎn)化成相交直線所成的角，即化空間圖形問題為平面圖形問題思考：這個(gè)角的大小與 。點(diǎn)的位置有關(guān)嗎？即O點(diǎn)位置不同時(shí)，這一角的大小是否改變？答：這個(gè)角的大小與 O點(diǎn)的位置無關(guān)

7、.(4)理論支持：我們知道，在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行那么這兩條直線互相平行.在空間這一規(guī)律是否還成立呢觀察：將一張紙如圖進(jìn)行折疊則各折痕及邊 a, b, c, d, e,之間有何關(guān)系?公理4：在空間平行于同一條直線的兩條直線互相平行.一一平行線的傳遞性推廣：在空間平行于一條已知直線的所有直線都互相平行.：在平面內(nèi)，我們可以證明 “如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) ”.空間中這一結(jié)論是否仍然成立呢?觀察：如圖所示，底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A1B1C1D件, / 1 =1000 ,/ 1與/ 2 , / 1與/ 3兩邊分別對應(yīng)平行這兩組

8、角的大小關(guān)系如何 ？答：從圖中可看出，/2=/1,/ 3+/ 1=180定理(等角定理)：空間中，如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).證：這個(gè)角的大小與 O點(diǎn)的位置無關(guān).(5)解決問題異面直線所成角的定義：如圖，已知兩條異面直線 a , b ,經(jīng)過空間任一點(diǎn) 。作 直線a'Ila , b ' / b則把a(bǔ) '與b '所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角).異面直線所成的角的范圍注2：如果兩條異面直線a ,注3：在求作異面直線所成的角時(shí)，O點(diǎn)常選在其中的一條直線上(如線段的端點(diǎn)，線段的中點(diǎn)等)5 .例題選講1.下圖長方體中(1)說出以

9、下各對線段的位置關(guān)系？EC和BH是相交 直線BD和FH是平行 直線BH和DC是異面 直線(2)與棱A B所在直線異面的棱共有4條?課后思考：長方體的棱中共有多少對異面直線？例2.如圖，正方體 ABCD-EFG仲如圖，正方體ABCD-EFG呻。為側(cè)面 ADHE勺中心，求(1)BE與CG所成的角？GCAB(2)FO與BD所成的角?解：如圖：CG/ BF,EBF（或其補(bǔ)角）為異面直線BE與C所成的角，又 BEF中/ EBF =450 ,所以BE與CG所成的角為450（2）連接FH,. HD）/ EA/ FB，HD/ FB二.四邊形 HFB型平行四邊形，.HF/ BD,HFO（或其補(bǔ)角）為異面直線FO

10、與BD所成的角。連接HA AF,易得 FH=HA=AF， AFH為等邊,又依題意知。為AH中點(diǎn)，/ HFO=30 即FO與BD所成的夾角是300注4：求異面直線的步驟是：“一作（找）二證三求”5.課堂練習(xí)（1）.已知a, b, c是三條直線，且 a兩條直線和第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行.兩條直線和第三條直線平行，則這兩條直線互相平行（答案：XX，）（3） .如圖，已知空間四邊形 ABCD43,點(diǎn)E、F、G H分別是邊AR BG CD DA的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH什么四邊形，并證明你的結(jié)論。 （用課件給出例2）證明：連結(jié)BD.E、H分別是 AR AD的中點(diǎn) .EH是 ABD的中位線

11、.EH/ BD,且 EH=- BD21同理，F(xiàn)G/ BD,且FGBD2 .EH/ FG 且 EH=FG 四邊形EFGH平行四邊形小組合作探究：在例2中，若加上條件 AC=BD那么這個(gè)四邊形是什么四邊形？（菱形）EZD17（4）如圖，已知長方體 ABCD-EFG呻,AB = 2第,AD = 2 J3 , AE = 2求BC和EG所成的角是多少度？求AE和BG所成的角是多少度？（答案：45 0 ; 60 0 ）6 .課堂小結(jié)異面直線的定義：不同在 任何 一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線?？臻g兩直線的位置關(guān)系：相交直線、平行直線、異面直線異面直線的畫法：用平面來襯托異面直線所成的角：平移，轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角公理4 （平行公理）：在空間平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：空間中，如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).異面直線所成角的求法：一作（找）二證三求7、課后作業(yè):（1）（必做）：復(fù)查并修改課前預(yù)習(xí),補(bǔ)充完善聽課案（2）（分層達(dá)標(biāo)）：i :雙基自診ii：鞏固提高則a與c也異面“。這一即：異面直線是否具有傳遞性）思考：“若直線a與直線b異面，直線 b與直線c異面。命題對嗎？為什么？（答：不一定。注：異面直線