高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用電子教案（第二版）（同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系）ch(10)

1、編輯ppt第七節(jié)第七節(jié) 極限應(yīng)用舉例極限應(yīng)用舉例編輯ppt 微積分是一門以變量為研究對象、以極限方法作為基微積分是一門以變量為研究對象、以極限方法作為基本研究手段的數(shù)學(xué)學(xué)科本研究手段的數(shù)學(xué)學(xué)科. 應(yīng)用極限方法研究各類變化率應(yīng)用極限方法研究各類變化率問題和幾何學(xué)中曲線的切線問題問題和幾何學(xué)中曲線的切線問題, 就產(chǎn)生了微分學(xué)就產(chǎn)生了微分學(xué); 應(yīng)應(yīng)用極限方法研究諸如曲邊圖形的面積等這類涉及到微小用極限方法研究諸如曲邊圖形的面積等這類涉及到微小量無窮積累的問題量無窮積累的問題, 就產(chǎn)生了積分學(xué)就產(chǎn)生了積分學(xué); 可以說可以說, 整個微整個微積分學(xué)是建立在極限理論的基礎(chǔ)之上的積分學(xué)是建立在極限理論的基礎(chǔ)之

2、上的. 由此可以理解由此可以理解為什么每本微積分教程都以極限理論作為其開始部分的為什么每本微積分教程都以極限理論作為其開始部分的內(nèi)容內(nèi)容.編輯ppt例例1.43 曲邊三角形的面積計算曲邊三角形的面積計算 解決方法解決方法: 如圖如圖, 求由曲線求由曲線 與與 軸圍成的面積軸圍成的面積.2,1yxxxy=x2yx1o 1.將區(qū)間將區(qū)間 等分等分, 分點依分點依0,1 n1 21,.nn nn次為次為編輯ppt22211121110nnSnnnnnnn 2223311(1)(21)12(1)6n nnnnn 2.以這些分點為基礎(chǔ)以這些分點為基礎(chǔ), 構(gòu)作構(gòu)作 個矩形個矩形, 并以矩形面積并以矩形面積

3、n11112,6nn之和來代替原來的曲邊三角形面積之和來代替原來的曲邊三角形面積. 由此得到由此得到編輯ppt 3.為了求得曲邊三角形面積的精確值為了求得曲邊三角形面積的精確值, 可以讓分點增可以讓分點增1111limlim12.63nnnSSnn注注: 古希臘人正是用這種方法求曲邊三角形的面積的古希臘人正是用這種方法求曲邊三角形的面積的.加加, 從而得到的矩形面積之和與曲邊三角形面積充分接從而得到的矩形面積之和與曲邊三角形面積充分接近近. 由此得到曲邊三角形面積由此得到曲邊三角形面積S編輯ppt例例1.44 變速直線運動中的速度問題變速直線運動中的速度問題( ).s s t 這個函數(shù)稱為質(zhì)點

4、的位置函數(shù)這個函數(shù)稱為質(zhì)點的位置函數(shù). 我們需要確定該動點我們需要確定該動點 1.勻速運動勻速運動: 在勻速直線運動中在勻速直線運動中, 我們知道路程與速我們知道路程與速 設(shè)某點沿著直線運動設(shè)某點沿著直線運動, 為動點從某一選定時刻到時為動點從某一選定時刻到時sts t刻刻 所通過的路程所通過的路程, 則則 是是 的一個函數(shù)的一個函數(shù), 即即;在各個時刻的在各個時刻的“速度速度”（稱為瞬時速度）（稱為瞬時速度）.度、時間的關(guān)系為度、時間的關(guān)系為編輯ppt00000( )( ),sss ts tvtttt v經(jīng)過的路程經(jīng)過的路程所化的時間所化的時間這里的速度這里的速度 是一個常量是一個常量.v

5、2.非勻速運動非勻速運動: 在非勻速直線運動中在非勻速直線運動中, 上面的比值將上面的比值將0,t t不再是一個常數(shù)不再是一個常數(shù). 為此我們考慮在時間段為此我們考慮在時間段 , 動點動點0ss從從 移到移到 , 相應(yīng)的比值相應(yīng)的比值編輯ppt表示在這個時間段里的平均速度表示在這個時間段里的平均速度. 可以想到可以想到: 如果時間如果時間0000 0( )( )limlim.tttts ts tvvt t到位移函數(shù)在時刻到位移函數(shù)在時刻 時的瞬時速度為時的瞬時速度為t0tt間隔間隔 很小很小, 動點的速度變化不大動點的速度變化不大, 它可以近似地它可以近似地表示動點在這一時間間隔內(nèi)的表示動點在

6、這一時間間隔內(nèi)的“速度速度”. 即即000( )( ),s ts tvtt而且這樣的近似程度是隨著而且這樣的近似程度是隨著 時越來越好時越來越好, 由此得由此得0tt編輯ppt例例1.45 連續(xù)復(fù)利的計算問題連續(xù)復(fù)利的計算問題 設(shè)某人以本金設(shè)某人以本金 元進行投資元進行投資, 投資的年利率為投資的年利率為 并設(shè)并設(shè)p, r以年為單位計算復(fù)利以年為單位計算復(fù)利, 則經(jīng)過則經(jīng)過 年后年后, 總金額為總金額為t1tpr元元;若以月為單位計算復(fù)利若以月為單位計算復(fù)利, 那么那么 年后的資金總額為年后的資金總額為t12112trp元元;若以天為單位計算復(fù)利若以天為單位計算復(fù)利, 則則 年后的資金總額為年后的資金總額為t編輯ppt3651365trp元元. 一般一般, 若以若以 年為單位計算復(fù)利年為單位計算復(fù)利, 那么那么 年后的資金總年后的資金總1nt額為額為1ntrpn元元. 以以 則則,n 編輯ppt