高考數(shù)學(xué)考點突破——直線與圓：圓的方程

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)圓的方程圓的方程【考點梳理】1圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標準方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心(a，b)，半徑r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圓心D2，E2 ，半徑12D2E24F2.點與圓的位置關(guān)系點M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2(y0b)2r2.【考點突破】考點一、求圓的方程【例 1】(1)過

2、點A(4，1)的圓C與直線xy10 相切于點B(2，1)，則圓C的方程為_.(2)已知圓C經(jīng)過P(2，4)，Q(3，1)兩點，且在x軸上截得的弦長等于 6，則圓C的方程為_.答案(1) (x3)2y22(2)x2y22x4y80 或x2y26x8y0解析(1)法一 由已知kAB0，所以AB的中垂線方程為x3.過B點且垂直于直線xy10 的直線方程為y1(x2)，即xy30，聯(lián)立，解得x3，y0，所以圓心坐標為(3，0)，半徑r （43）2（10）2 2，所以圓C的方程為(x3)2y22.法二 設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2(r0)，精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)點A(4，1)

3、，B(2，1)在圓上，故（4a）2（1b）2r2，（2a）2（1b）2r2，又b1a21，解得a3，b0，r 2，故所求圓的方程為(x3)2y22.(2)設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F0)，將P，Q兩點的坐標分別代入得2D4EF20，3DEF10.又令y0，得x2DxF0.設(shè)x1，x2是方程的兩根，由|x1x2|6，得D24F36，聯(lián)立，解得D2，E4，F(xiàn)8，或D6，E8，F(xiàn)0.故所求圓的方程為x2y22x4y80 或x2y26x8y0.【類題通法】求圓的方程時，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.一般來說，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進而求出圓的基本量.確定

4、圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì)：圓心在過切點且垂直切線的直線上；圓心在任一弦的中垂線上；兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.【對點訓(xùn)練】1經(jīng)過點A(5，2)，B(3，2)，且圓心在直線 2xy30 上的圓的方程為_答案x2y24x2y50(或(x2)2(y1)210)解析法一 圓過A(5，2)，B(3，2)兩點，圓心一定在線段AB的垂直平分線上易知線段AB的垂直平分線方程為y12(x4)設(shè)所求圓的圓心為C(a，b)，則有2ab30，b12a4，解得a2，且b1.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)因此圓心坐標C(2，1)，半徑r|A

5、C| 10.故所求圓的方程為(x2)2(y1)210.法二 設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F0)，則2545D2EF0，943D2EF0，2D2 E230，解得D4，E2，F(xiàn)5，所求圓的方程為x2y24x2y50.2一個圓經(jīng)過橢圓x216y241 的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為_答案x322y2254解析由題意知a4，b2，上、下頂點的坐標分別為(0，2)，(0，2)，右頂點的坐標為(4，0)由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(0，2)，(0，2)，(4，0)三點設(shè)圓的標準方程為(xm)2y2r2(0m0)，則m24r2，4m2r2，解得m32，r2254.所

6、以圓的標準方程為x322y2254.考點二、與圓有關(guān)的最值問題【例 2】已知實數(shù)x，y滿足方程x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值.解析原方程可化為(x2)2y23，表示以(2，0)為圓心， 3為半徑的圓.(1)yx的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)yxk，即ykx.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)當直線ykx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時|2k0|k21 3，解得k 3(如圖 1).所以yx的最大值為 3，最小值為 3.(2)yx可看作是直線yxb在y軸上的截距，當直線yxb與圓相切時，縱

7、截距b取得最大值或最小值，此時|20b|2 3，解得b2 6(如圖 2).所以yx的最大值為2 6，最小值為2 6.(3)x2y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖 3).又圓心到原點的距離為 （20）2（00）22，所以x2y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小值是(2 3)274 3.【類題通法】把有關(guān)式子進行轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其中以下幾類轉(zhuǎn)化極為常見：(1)形如mybxa的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；(2)形如taxby的最值問題，可轉(zhuǎn)化為

8、動直線截距的最值問題；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方的最值問題.【對點訓(xùn)練】1 已知點P(x，y)在圓x2(y1)21 上運動， 則y1x2的最大值與最小值分別為_答案33，33解析設(shè)y1x2k， 則k表示點P(x，y)與點A(2， 1)連線的斜率 當直線PA與圓相切時，精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)k取得最大值與最小值 設(shè)過(2， 1)的直線方程為y1k(x2)， 即kxy12k0.由|2k|k211，解得k33.2 已知點(x，y)在圓(x2)2(y3)21 上， 則xy的最大值和最小值分別為_答案21， 21解析設(shè)txy，則yxt，t可視

9、為直線yxt在y軸上的截距，xy的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即|23t|21，解得t 21 或t 21.xy的最大值為 21，最小值為 21.3已知點(x，y)在圓(x2)2(y3)21 上，則x2y22x4y5的最大值和最小值分別為_答案341， 341解析x2y22x4y5x12y22，則它的最值可視為求點(x，y)到定點(1， 2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為圓心(2，3)到定點(1，2)的距離與半徑的和或差又圓心到定點(1，2)的距離為 34，x2y22x4y5的最大值為 341，最

10、小值為 341.考點三、與圓有關(guān)的軌跡問題【例 3】已知圓x2y24 上一定點A(2，0)，B(1，1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若PBQ90，求線段PQ中點的軌跡方程解析(1)設(shè)AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x2，2y)因為P點在圓x2y24 上，所以(2x2)2(2y)24.故線段AP中點的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)PQ的中點為N(x，y)在 RtPBQ中，|PN|BN|.設(shè)O為坐標原點，連接ON，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段P

11、Q中點的軌跡方程為x2y2xy10.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【類題通法】求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等.【對點訓(xùn)練】1點P(4，2)與圓x2y24 上任一點連線的中點的軌跡方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21答案A解析設(shè)圓上任一點為Q(x0，y0)，PQ的中點為M(x，y)， 則x4x02，y2y02，解得x02x4，y02y2.因為點Q在圓x2y24 上，所以x20y204，即(2x4)2(2y2)24，化簡得(x2)2(y1)21.2自圓C：(x3)2(y4)24 外一點P(x，y)引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的