雙曲線的性質(zhì)A知識講解

1、雙曲線的性質(zhì)編稿：張希勇審稿：李霞【學習目標】1 .理解雙曲線的對稱性、范圍、定點、離心率、漸近線等簡單性質(zhì)2 .能利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的方程.3 .能用雙曲線的簡單性質(zhì)分析解決一些簡單的問題【要點梳理】【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749知識要點二】要點一、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)22xy雙曲線221(a>o, b>o)的簡單幾何性質(zhì)ab對于雙曲線標準方程2 y b21 ( a>0, b>0),把x換成-x ,或把y換成-y ,或把x、y同時換成-x、-y ,方程都不變，所以雙曲線2x2a2 y b21 (a>0, b>0)是以x軸、y軸為對稱軸的軸對

2、稱圖形，且是以范圍2Q X21 即 x2a2ax a或 x a雙曲線上所有的點都在兩條平行直線x=-a和x=a的兩側，是無限延伸的。因此雙曲線上點的橫坐標滿足 xw -a 或 x>a.對稱性原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心。頂點雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點。22雙曲線* ya2b2A (-a, 0), A2 (a,0),頂點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點。1 (a>0, b>0)與坐標軸的兩個交點即為雙曲線的兩個頂點，坐標分別為兩個頂點間的線段AA2叫作雙曲線的實軸； 設Bi (0, -b), B2 (0, b)為y軸上的兩個點，則線段

3、BR叫做雙曲線的虛軸。實軸和虛軸的長度分別為|AiA2|=2a , |BiB2|=2b。a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長。雙曲線只有兩個頂點，而橢圓有四個頂點，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。雙曲線的焦點總在實軸上。實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。離心率雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作e -2c -2a a因為c>a>0,所以雙曲線的離心率 e c 1。a由 c2=a2+b2,可得 b a22c a2a(c)21Je2 i ,所以P決定雙曲線的開口大小, -越大，e也aa我們把直線| MN |雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交。

4、越大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度。等軸雙曲線a b ,所以離心率e漸近線經(jīng)過點A Ai作y軸的平行線x=±a,經(jīng)過點Bi、B2作x軸的平行線y=±b,四條直線圍成一個矩形(如圖)，矩形的兩條對角線所在直線的方程是bx叫做雙曲線的漸近線; ax2a2xabx x2【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749知識要點一、3】要點二、雙曲線兩個標準方程幾何性質(zhì)的比較標準方程22x y , 7T 1(a 0,b 0) a b22yx,A 7-21(a 0，b 0)a b乂vJ奧圖形一I -，.一£,.r ti0x認bN性質(zhì)焦點Fi( c,0)

5、, F2(c,0)Fi(0, c), F2(0,c)焦距IF1F2I 2c|訐21 2c (c a a2 b2)c V a2 b2)范圍x xa或x a, y Ry ya或y a , x R對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點(a,0)(0, a)軸實軸長=2a ,虛軸長=2b離心率ec (e a1)漸近線方程b y - x aa y - xb要點詮釋：雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數(shù),如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在 x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上。對于雙曲線，a不一定大于b,因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在

6、哪一條坐標軸上。要點三、雙曲線的漸近線(1)已知雙曲線方程求漸近線方程:222若雙曲線方程為 22 t 1,則其漸近線方程為， a ba2b20已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程。(2)已知漸近線方程求雙曲線方程:若雙曲線漸近線方程為 mx ny 0,則可設雙曲線方程為,根據(jù)已知條件，求出即222與雙曲線x2 a2 y b21有公共漸近線的雙曲線方程可設為2x2a2；2(0)(0 ,焦點在x軸上,(3)與雙曲線與 4 1有公共漸近線的雙曲線 a2b2雙曲線0 ,焦點在y軸上)(4)等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為y x,因此等軸雙

7、曲線可設為 x2 y2(0).要點四、雙曲線中a,b,c的幾何意義及有關線段的幾何特征:雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：c>b>0, c>a>0,且c2=b2+a2。2(1)實軸長 | A1A2 | 2a,虛軸長2b,焦距IF1F2 | 2c,(2)離心率：e |PFl |PMilIPF2I lAFilIPM2I lAKill A2F2 lIA2K2I1 b；e 1;(3)頂點到焦點的距離:a, IAF2A2Fi| a c；yr 1 (a

8、 0,b 0),如圖: b(4) PF1F2中結合定義 呼I |PF2| 2a與余弦定理，將有關線段|PFi|、|PF21、|FiF2|和角結合 起來.(5)與焦點三角形 PF1F2有關的計算問題時，常考慮到用雙曲線的定義及余弦定理(或勾股定理)、 ，、1. 二角形面積公式S PF1F2 -|PF1| |PF2|sin F1PF相結合的萬法進行計算與解題，將有關線段|PFi|、| PF?|、IF1F2I，有關角F1PF2結合起來，建立|PFi| |PF2卜|PFi| |PFz|之間的關系.【典型例題】類型一：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749例1】2. 2例1.求雙曲線1

9、6x 9y 144的實軸長和虛軸長、頂點坐標、焦點坐標、漸近線方程與離心率22【解析】把方程化為標準方程 1 ,由此可知實半軸長a 3 ,虛半軸長b 4 , c J02b2 59 16，雙曲線的實軸長 2a 6,虛軸長2b 8,頂點坐標(0, 3), (0,3),焦點坐標(0, 5) , (0,5),c53離心率e漸近線方程為y-xa34【總結升華】在幾何性質(zhì)的討論中要注意a和2a, b和2b的區(qū)別，另外也要注意焦點所在軸的不同，幾何量也有不同的表示.舉一反三：2倍，則m等于()【變式1】雙曲線 mX+y2=1的虛軸長是實軸長的A.1B. - 4C. 4D. 144【答案】A223【變式2】已

10、知雙曲線8kx ky =2的一個焦點為(0,萬)，則k的值等于()A. - 2 B.1 C.-1 D.-2【答案】C類型二：雙曲線的漸近線例2.已知雙曲線方程，求漸近線方程。9161； (2)2y16(1)雙曲線22x y9 161的漸近線方程為:2y 0164 _x3(2)雙曲線2y161的漸近線方程為:2y 016【總結升華】雙曲線2x2a2y2 1 (a 0,b b20)的漸近線方程為雙曲線2y2a2xb2線方程為xax；若雙曲線的方程為 b2x2m2y2n0,0,焦點在1的漸近x軸上，y軸上)，則其漸近線方程為2x2m2y2n【變式1】求下列雙曲線方程的漸近線方程2/、 x(1)162

11、y36(2)22x 2y8;(3)2x2721)(2) y(3)2x【變式2】中心在坐標原點,離心率為55的圓錐曲線的焦點在3y軸上，則它的漸近線方程為()A. y5x B4D例3.根據(jù)下列條件,求雙曲線方程。2x(1)與雙曲線92y 1有共同的漸近線，且過點16(3,2V13);(2) 一漸近線方程為3x 2y 0,且雙曲線過點M (8,6 . 3)【解析】(1)解法一:2 x當焦點在x軸上時，設雙曲線的方程為 xab2b 4由題意，得 a 3=2 ，解得a2 9 , b2 4(3)2(2 3)214a2b2所以雙曲線的方程為4x2當焦點在y軸上時，設雙曲線的方程為2y2a2xb2由題意，得

12、23)2b /V24一3 l3)2J a a - b(217去舍綜上所得，雙曲線的方程為224x y 194解法二：設所求雙曲線方程為22x y9160),將點(3,2、:3)代入得2 X所以雙曲線方程為9亡1即里 16 49(2)依題意知雙曲線兩漸近線的方程是-y0.2 322故設雙曲線方程為y-,49點M (8,673)在雙曲線上,.W迎史，解得4, 4922所求雙曲線方程為 x y 1.16 36【總結升華】求雙曲線的方程，關鍵是求a、b,在解題過程中應熟悉各元素a、b、c、e及準線)之間的關系，并注意方程思想的應用。若已知雙曲線的漸近線方程ax by 0 ,可設雙曲線方程為2 2,22

13、a x b y0).【變式1】中心在原點,2一個焦點在（0,3），一條漸近線為y 2x的雙曲線方程是（）3A 5x2八.365y42 1B.5x23655y2113x2 C.8113y2 1 I 36D.13x28113y2 136【變式2】過點(2,-2）且與雙曲線y21有公共漸近線的雙曲線是（）2A. y2B.2y22C. y4D.2y4【變式3】設雙曲線1(a0）的漸近線方程為3x 2y 0,則a的值為D. 1【變式4】雙曲線2x2a2 y b22 x 1與二 a2 y b20）有相同的（）A.實軸 B.漸近線.以上都不對A. 4類型三：求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍220）的左、右

14、焦點，過R且垂直于x軸的直線與雙曲線的左例4.已知Fi,F2是雙曲線x2 y- 1(a ba b支交于A、B兩點，若 ABF2是正三角形，求雙曲線的離心率。ABF2是正三角形,| AF1 | 2ctan30o2.3oc, |AF2| 2ctan3032ccos30o4.3c3| AF2 | |AFi|迪c述c述c 2a,e c 3a求雙曲線離心率的關鍵是由條件尋求【總結升華】雙曲線的離心率是雙曲線幾何性質(zhì)的一個重要參數(shù),a、c滿足的關系式，從而求出 e【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749 例 2【變式1】過點A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點間的距離為一 i2 31(a 0,b 0)的離

15、心率e 土，22(i)已知雙曲線 4a2b233 ,求雙曲線的方程.2(2)求過點(-1,3),且和雙曲線22y- 1有共同漸近線的雙曲線方程492【答案】(1) A322至 1y2 1273【變式2】等軸雙曲線的離心率為【答案】2【變式3】已知a、b、c分別為雙曲線的實半軸長、虛半軸長、半焦距，且方程ax2+ bx + c=0 無實根,則雙曲線離心率的取值范圍是()A. 1<e< v5 - 2 B - 1<e<2C. 1<e<3 D . 1<e<2 + v>5類型五：雙曲線的焦點三角形例5 .已知雙曲線實軸長 6,過左焦點F1的弦交左半支于 A、B兩點，且| AB |8,設右焦點F2,求ABF2的周長.【解析】由雙曲線的定義有：| AF21 |AFi| 6,四| |BFi| 6, (I AF2 | BF2 |)(|AFi| |BFi|) 12.即(| AF2 | BF2 |)| AB| 12 | AF2 | |BF2| 12 | AB| 20.故 ABF2 的周長 L |AF2| |BF2| |AB| 28.在雙曲線的焦點三角形中，經(jīng)常運用【總結升華】雙曲線的焦點三角形中涉及了雙曲線的特