高中物理競賽輔導講義-微積分初步

1、微積分初步高中1、二、微分1、基本的求導公式(1) (C)'=0(C為常數(shù))(3) (exy=ex，、1(ln x J =-x(2) xn ' = nxn 4( n = 0)* (4) (ax )' =axlna* (6) (log a x)'= xln a、微積分的基本概念極限極限指無限趨近于一個固定的數(shù)值兩個常見的極限公式sin x /lim 1x-0 x二1rrX* lim 1 +一51 X)2、導數(shù)當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限叫做導數(shù)。y'=電=lim -ydxx0 x導數(shù)含義，簡單來說就是 y隨x變化的變化率。導

2、數(shù)的幾何意義是該點切線的斜率。3、原函數(shù)和導函數(shù)對原函數(shù)上每點都求出導數(shù)，作為新函數(shù)的函數(shù)值，這個新的函數(shù)就是導函數(shù)。y . y(x：x) - y(x)y'(x) = lim j = lim 1y二J0 =x LJ0xX4、微分和積分由原函數(shù)求導函數(shù)：微分由導函數(shù)求原函數(shù)：積分微分和積分互為逆運算。例1、根據(jù)導函數(shù)的定義，推導下列函數(shù)的導函數(shù)(3) y = sin x(1) y =x2(2) y =xn (n 00)(sinxj=cosx(8)(cosx)' = sinx1(9)(tanx)'=2 cos x，、，1(10) (cotx)'=2 sin x*1(

3、11) arcsin x ' = _j 1 - x.1112) (arccosx )' = - .2.1 -x2*2、1(13) (arctan x j =-2函數(shù)四則運算的求導法則設 u=u(x), v=v(x)1(14) (arccot x)' = 2(1)u 士v ' =u'_v'(2)uv '= u 'v uv'(3)u 'v -uv'2 v例2、求y=tanx的導數(shù)3、復合函數(shù)求導對于函數(shù)y=f(x),可以用復合函數(shù)的觀點看成y=fg(x),即y=f(u), u=g(x)dy dy duy =二d

4、x du dx即：y' = y'u u'x例3、求y =(1+2x2)8的導數(shù)例4、求y =ln tan x的導數(shù)三、積分1、基本的不定積分公式下列各式中C為積分常數(shù)(1) Jkdx=kx+C (k 為常數(shù))n 1xndx = C (n；-1)n 1(3) Jexdx=ex+C，、1 ， 一(5) jdx = In x +C x jcosxdx =sin x+C. 一、 1(9) 2 dx = arctan x + C1 x2xx a* (4) fa dx =+CIn a(6) sin xdx = -cosx C一，-1,， 一* (8) j2dx=tanx + C c

5、os x* (10)dx = arcsin x C2、簡單的定積分求法(即牛頓萊布尼茨公式) 物理競賽中最基本的微積分公式牛頓萊布尼茨公式：若f(x)是F(x)在區(qū)間a, b上的導函數(shù)，則ba f(x)dx =F(b)-F(a) a而根據(jù)導函數(shù)f(x)求原函數(shù)F(x)的過程，其實就是不定積分的過程。3、換元積分法(1)第一類換元積分(湊微法)例 5、求 2xcosx2dx* (2)第二類換元積分法技巧性較強，沒有一定的通法，高中階段很少用到。* 例 6、令6 x =1即即*二6,5 .dx=6t dt6t5dtt2 t3=6 (t2 -1 1-)dt物理例題：例7、已知地球的半徑為 R,質量為

6、M。將質量為m的質點從地面移動到無窮遠處，此過程 中，萬有引力做了多少功？例8、求半徑為R,質量均勻的半圓形薄板的重心位置例9、求常見幾何體的轉動慣量。各物體質量均為m,桿長均為L,半徑均為(1)均勻桿繞中點轉動(2)均勻桿繞一端轉動(3)均勻圓盤繞中心轉動*(4)均勻球繞中軸轉動*5.2附微積分閱讀材料、求極限的羅必塔法則如果當XT a （或XT g）時，兩個函數(shù)f（x）與F（x）都趨于零或都趨于無窮大，那么極限lim 口可能存在、 也可能不存在。通常把這種極限稱為°或型未定Xxa/（x）0 二此時可以對分子分母同時求導后再求極限，從而避免出現(xiàn)未定式無法計算的情況。limx_.a(

7、x-')f(x) g(x)二 limx_.a(x ：:)f'(x)g'(x)則此方法失效。如果求導后仍然是未定式， 可多次利用羅必塔法則。 如果始終是未定式,例 1tanx求 lim.x 0 x原式Mm空包x 0 (x)ln sin ax例2：求limx0 ln sin bxacosaxsin bxb cosbx sin axlimx 0cosbxcosax00或一的形式00 二，二-二,00,1 ；二0型未定式，可以化為二、分部積分法理解、運用起來容易出錯，高中階段很少用到。根據(jù)函數(shù)相乘的求導公式：（uv）' = u'v+uv'移項可得：uv&

8、#39;= uv '-u'v兩邊取積分： uv dx = uv - . vu dx.udv = uv -. vdu* 例 3、求 x x cos xdx取 u = ,dv =cosxdxx cosxdxxsin x - sin xdx = xsin x cosx C貝Lldu =dx,v 與in x* 例 4、求 jx2exdx取 u =X2,dv zzexdx 2 x2 xxx e dx = x e - 2 xe dxx -則 du ? xdx,v z：e取u =x,dv zzexdx 2 xxx二 x e - 2xe 2 e dx貝U du Rx,v -ex2 xxx= x

9、 e - 2xe 2e C利用分部積分法的步驟：(1)將被積函數(shù)分為兩部分，一部分可以看做是原函數(shù)，即u,另一部分可以看做是導函數(shù)，即v'。(2)右邊第一項為兩個原函數(shù)uv的乘積，第二項將原函數(shù)u變?yōu)閷Ш瘮?shù)u',導函數(shù)V,變?yōu)樵瘮?shù)v,相乘后再求積分。利用分部積分法的技巧：上述過程的難點在于對 v'求積分，以及對u'求積分。因此，要將被積函數(shù)拆成適當?shù)?兩部分，使得這兩個積分求解起來都比較容易。三、簡單的常微分方程(分離變量法)*例5:放射性元素衰變問題設鈾的衰變速度與未衰變的原子數(shù)目M成正比已知t=0時未衰變的鈾的含量為 Mo,求M隨時間變化的函數(shù)。解：dMM

10、 dt變量為M和t,分離變量得：dM 小二一 dtM兩邊分別求不定積分： 根據(jù)初始狀態(tài)求出積分常數(shù) 帶入后消去C可得：lnMC：=-t CIn M o二C-t*例6:電容器充放電問題電容為C的電容經(jīng)過充電后，兩端電壓為Uo。從t=0時刻開始串聯(lián)上電阻 R進行放電。求電壓U隨時間t的變化函數(shù)。解：dQ 八dUi-Cdt dt.U i 二R聯(lián)立上面兩式可得：U 仆dU一 =-C - R dt分離變量可得：dU _ dtRC兩邊分別求不定積分:lnU = - CoRC根據(jù)初始狀態(tài)求出積分常數(shù) Co： lnU0 =C0 t帶入后消去Co可得：u = Uoe-RC可以看到，RC的值與電容器放電的快慢有關

11、，因此 RC也叫做RC電路的時間常數(shù)。類似的，RL電路中，時間常數(shù)為 L/R。此外，求解簡諧運動和電磁振蕩問題時也需要求解微分方程，不過采用的方法是試探解法。*四、泰勒展開將一個函數(shù)寫成多項式的形式各項分別為零階小量、一階小量、二階小量常用于 近似處理和對小量的討論。f (x0:-x)= f (x0)f(x0)x '(xo)x2-(x0)Xxno( . ：xn)2!n!理解公式前兩項的幾何意義。公式最后一項 o( Axn)表示剩下所有的項，相對于Axn都是小量。常見函數(shù)在xo=O處的泰勒展開:357k »2k 12k .2.-獷5r7r川鈔由o(x )o(x2k1).(1 x):1 J x ( a 1)x2(1)n(， n1) xn o(x