最新中考數(shù)學(xué)專題：最短距離問題

1、精品文檔E在正方形 ABCD內(nèi)，在最短距離問題分析洪湖市峰口鎮(zhèn)二中劉萬(wàn)兵最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是一類綜合性較強(qiáng)的問題，它貫穿初中數(shù) 學(xué)的始終，是中考的熱點(diǎn)問題，它主要考察學(xué)生對(duì)平時(shí)所學(xué)的內(nèi)容綜合運(yùn)用，無論 是代數(shù)問題還是幾何問題都有最值問題，在中考?jí)狠S題中出現(xiàn)比較高的主要有利用 重要的幾何結(jié)論(如兩點(diǎn)之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小 于第三邊、垂線段最短等)。利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。一、“最值”問題大都?xì)w于兩類基本模型：I、歸于函數(shù)模型：即利用一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的對(duì)稱性及增減性，確定某范圍內(nèi)函數(shù)的最大或最小值II、歸于幾何模型，這類模型又分為兩種

2、情況:(1)歸于“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”。凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之和的最 小值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型。(2)歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之差的最大值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型。幾何模型：條件：如圖， A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn).問題：在直線l上確定一點(diǎn) P,使PA+PB的值最小.方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A,連結(jié)A'B交l于點(diǎn)P, 則PA + PB = AB的值最小(不必證明).模型應(yīng)用：(1)如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2, E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連結(jié) BD ,由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱.連結(jié)ED交AC于P,則PB+PE

3、的最小值是；(2)如圖2,。的半徑為2,點(diǎn)A B、C在。上,OA1OB,AOC=60°, P 是 OB 上一動(dòng)點(diǎn)，求PA + PC的最小值；解：(1) PB + PE的最小值是DE=J5(2) PA+PC的最小值是273【典型例題分析】1 .如圖所示，正方形 ABCD的面積為12, ABE是等邊三角形，點(diǎn) 對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P ,使PD +PE的和最小，則這個(gè)最小值為(A. 2 3 B. 2.6 C. 3 D. 6精品文檔BC精品文檔y - -1 x2 - x 22.如圖，拋物線4的頂點(diǎn)為A, 求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，求證：PA-PBW AB；當(dāng)PA-PB最

4、大時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo).解：(1)令 x=0,得 y=2,B(0 , 2)1 212y = x2 x 2 = -(x 2)2 344 A(-2 , 3)(2)證明：i .當(dāng)點(diǎn)P是AB的延長(zhǎng)線與x軸交點(diǎn)時(shí)，PA-PB=ABii.當(dāng)點(diǎn)P在x軸上又異于AB的延長(zhǎng)線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，OP=4,P(4 , 0)在點(diǎn)P、A、B構(gòu)成的三角形中，PA-PB< AB.綜合上述：PA-PB< AB.作直線AB交x軸于點(diǎn)P由(2)可知：當(dāng)PA-PB最大時(shí)，點(diǎn)P是所求的點(diǎn)作 AHUOP于 H BOXOP / BOPW AHP 且/ BPO=/ APHAH HP BOm AHPBO OP3 2 OP由(1)可知

5、：AH=3 OH=2 OB=2 即 2 OP標(biāo)為 口，1 i. APED的周長(zhǎng)即是CE +DE =屈 +J2 . 2 24.一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A (2, 0), B (0, 4).(1)求該函數(shù)的解析式；(2) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) OA AB的中點(diǎn)分別為 C D, P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PC+ PD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).解：(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b并計(jì)算得k=2, b=4.解析式為：y= 2x+4；(2)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為C ,連結(jié)PC、DC ,則PC PC .PaPD= PC + PD>C D,即 C'、P、D共線時(shí)，P

6、O PD的最小值是 C' D.連ZCD 在 RtA DCC 中，C D= Jc'c2 +CD2 =272 ；易得點(diǎn) P的坐標(biāo)為(0 , 1).(亦可作RtAO聯(lián)于y軸對(duì)稱的4 )5.已知：拋物線的對(duì)稱軸為與x軸交于A, B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其中A(3,0)、C(0，- 2).(1)求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式.(2)已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn) P,使得PBC的周長(zhǎng)最小.請(qǐng)求出點(diǎn) P的坐標(biāo).精品文檔精品文檔精品文檔解：(1)此拋物線的解析式為*2就是使PC + PB最小.B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是 A點(diǎn)，AC與對(duì)稱軸x = -1的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)設(shè)直線AC的表達(dá)式為y = kx + b

7、-3k b =0,則 b = 一22k = -2«32.y _y= x-2.解得p 2 此直線的表達(dá)式為3>口 y = 一把x = -1代入得41, 一一3 P點(diǎn)的坐標(biāo)為、3 f6.如圖，拋物線y=ax 4bx+c的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為3、，一 一， 、，一',父x軸于A、B兩點(diǎn)，父y軸于(2)連結(jié)AC、BC.因?yàn)锽C的長(zhǎng)度一定，所以zPBC周長(zhǎng)最小,占 C(0,一m)八、(1)求拋物線的表達(dá)式.(2)把 ABC繞AB的中點(diǎn)E旋車專180° ,得到四邊形 ADBC 判斷四邊形ADBC勺形狀，并說明理由.(3)試問在線段 AC上是否存在一點(diǎn)F,使得 FBD的周長(zhǎng)最小,

8、 若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：(1)由題意知Aac-b24a4733a =解得 3，拋物線的解析式為P3x2 一企*一、3=0（2）設(shè)點(diǎn) A （ X1, 0）, B （，0）,則33,理3解得 X1 =1' x2 =3I OAI = 1, I OBI =3.又. tan / OC品 | 0c | /OC年60° ,同理可求/ OCA= 30° .AC年90°由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知 AC= BD, BC= AD 四邊形 ADB境平行四邊形又/AC年90° . .四邊形 ADBO矩形（3）延長(zhǎng)BC至N,使CN CB .假設(shè)存在一點(diǎn)F,

9、使 FBD的周長(zhǎng)最小.即FD + FB + DB最小. DB固定長(zhǎng). 只要 FD+FB最小.又CAI BN . . FD+FB= FD+FNFC J AC 當(dāng)N、F、D在一條直線上時(shí)，F(xiàn)D+FBM小.又C為BN的中點(diǎn)， .2 （即F為1 立AC的中點(diǎn)）.又.力（一 1, 0）, C （0, -#） ，點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 F（ 2,2 ）1存在這樣的點(diǎn)F （ 2 ,2 ）,使得 FBD的周長(zhǎng)最小.3 0 18 一一7.如圖（1）,拋物線y = x2 x+3和y軸的交點(diǎn)為A,M為OA的中點(diǎn)，若有一動(dòng)點(diǎn)55P,自M點(diǎn)處出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到 x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn) E）,再沿直線運(yùn)動(dòng)到該拋物線對(duì)稱 軸上的某

10、點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F ）,最后又沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A,求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn) E ,點(diǎn)F 的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短路程的長(zhǎng)。3、解：如圖（1、），由題意可得 A （0, 3）, M （0-）,拋物線的對(duì)稱點(diǎn)3、為x =3,點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M ' （0,-），點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x =3的對(duì)稱點(diǎn)為 A' （6, 3）。連結(jié)M 'A'。根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)間線段最短可知，A' M '的長(zhǎng)就是所求點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)中33最短總路程的長(zhǎng)，A'M'在直線的方程為 y =-3x-3 （過程略）。設(shè)A'M'與x的交點(diǎn)為E,則E為在x軸上所求的點(diǎn)， A'M'與直線x = 3的交點(diǎn)為所求的F點(diǎn)。3可得