高等數(shù)學(xué)教案--定積分的應(yīng)用

1、高等數(shù)學(xué)教案一定積分的應(yīng)用時(shí)授課計(jì)劃第一課時(shí)教學(xué)過程及授課內(nèi)容教學(xué)過程i.一.定積分應(yīng)用的微元法用定積分計(jì)算的量的特點(diǎn):(1)所求量(設(shè)為F )與個(gè)給定區(qū)間1a,bl有關(guān)，且在該區(qū)間上具有可加性.就是說，F(xiàn)是確定于 hb】上的整體量，當(dāng)把 Ia,b1分成許多小區(qū)間時(shí),n整體量等于各部分量之和，即F = £ Fi。i 1(2)所求量F在區(qū)間a,b上的分布是不均勻的，也就是說， F的值與區(qū)問Ia,b】的長(zhǎng)不成正比(否則的話，F(xiàn)使用初等方法即可求得，而勿需用積分方法了).用定積分概念解決實(shí)際問題的四個(gè)步驟： 第一步：將所求量F分為部分量之和,即：Fn=F AFi ；i 1第二步:求出每個(gè)部

2、分量的近似值，AF產(chǎn)f () Axi(i =1,2,| ,n);第三步:寫出整體量 F的近似值，F(xiàn) =X AFi -Z f (。)Axi ；n第四步：取？u = maxAxiT 0時(shí)的工“1) xi極限，則得i=1n .bF =1也£ f (-i)Axi = fa f(x)dx.0 i 1觀察上述四步我們發(fā)現(xiàn)，第二步最關(guān)鍵，因?yàn)樽詈蟮谋环e表達(dá)式的形式就是 在這一步被確定的，這只要把近似式f(£) Ax中的變量記號(hào)改變一下即可(匕換為x; Ax換為dx).而第三、第四兩步可以合并成一步：在區(qū)間a,b上無限累加，即在Ia,b】上積分.至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，這是

3、F能用定積分計(jì)算的前提，于是，上述四步簡(jiǎn)化后形成實(shí)用的定積分應(yīng)用的微元法：(一)在區(qū)間Ia,b微元法.上任取一個(gè)微小區(qū)問Ix,x+dx,然后寫出在這個(gè)小區(qū)間上似值，記為dF = f (x)dx (稱為F的微(二)將微元dF在b ,b 上積分(無y的部分量AF的近元)；一x限累加)，即得bF = f(x)dx. - a微元法中微元的兩點(diǎn)說明：(1) f(x)dx作為AF的近似值表達(dá)式，應(yīng)該足夠準(zhǔn)確，確切的說，就是要求 其差是關(guān)于Ax的高階無窮小.即AF-f(x)dx = o( Ax).這樣我們就知道了，稱作微元的量f(x)dx,實(shí)際上是所求量的微分dF;(2)具體怎樣求微元呢？這是問題的關(guān)鍵，這

4、要分析問題的實(shí)際意義及數(shù)量 關(guān)系，一般按著在局部 Ix,x+dx上，以“常代變”、“勻代不勻”、“直代 曲”的思路(局部線性化)，寫出局部上所求量的近似值，即為微元dF = f (x)dx二、用定積分求平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)系下的面積計(jì)算用微元法不難將下列圖形面積表示為定積分.(1)曲線y= f(x)(f (x)之0), x = a,x = b及Ox軸所圍圖形，如下左圖，面 積微元 dA = f (x)dx,面積 A=/ f (x)dx., a(2)由上、下兩條曲線 y = f (x),y = g(x)(f (x)至 g(x)&x = a,x = b所圍成的圖形，如下右圖，面積微元

5、 dA = f (x) - g(x)dx,面積 bA = . f(x) -g(x)dx.a(3)由左右兩條曲線x=W(y),x=5(y)&y = c, y = d所圍成圖形(見下左d圖)面積微元(注意，這時(shí)就應(yīng)取橫條矩形dA,即取y為積分變量)解方 y1 y = x2、.程組y2 x ,得交點(diǎn)(00）及（1, 1）.積 y dyx =：（y）d分變量,yOx x dx xy =x,(2)選擇積-j 微元，本題'x=qy)均可，習(xí)慣O（1,1）分變量，寫出面取豎條或橫條作dA上取豎條，即取x為積變化范圍為0,1,dA = (. x - x2)dx,1 3一x33.(3)將A表示成

6、定積分，并計(jì)算A = j （Tx-x2）dx= - x20i3例2求y2=2x及y = x-4所圍成圖形面積解作圖(如下圖)求出交點(diǎn)坐標(biāo)A(2, -2),B(8,4)。觀察圖得知，宜取y為積分變量,慮一下，若取x為積分變量，即r( 便之處？)，于是得1 2(y+4) -y dy,4= 18._2x41 21 21 3A = "(y 4) -二y dy = -y 4y -y a2262.極坐標(biāo)下的面積計(jì)算曲邊扇形：是指由曲線r =r(e)及兩條射線日=u,e = P所圍成的圖形(如下圖)取H為積分變量，具變化范圍為口，打，在微小區(qū)間38+dH上”以常代變”，即以小扇形面積 dA作為小曲

7、邊扇形面積的近似值，于是得面積微元為1 1-0dA = 2r2S )d6 ,將dA在目,P 上積分，使得曲邊扇形面積為A =萬Q r2d例3計(jì)算雙紐線r2 =a2cos2日(a>0)所圍成的圖形的面積(如下圖所示).解：由于圖形的對(duì)稱性，只需求其在第一象限中的面積，再4倍即可，在第一象限日的變化范圍為0,-,于是4i 1 T 2 一 2.一A=4 2 0 a 8s21dl =a sin2。兀4 _a20 一 a例4求心形線r =1 +C0S6及圓r =3cos日所圍成的陰影部分面積(如下圖) 解：先求兩線交點(diǎn)，以確定 e的變化范圍，解方程組，r = 1 cosu ,r =3cos.,_.

8、1“.冗 由3cos8 =1+cos8得cose =-，故8 = ±,考慮到圖形的對(duì)稱性，得所求231 1 )的面積為A = 2 |- f3(1+cos6)2d6 十一 72(3cos6)2d61 cos2i=03 (1 2cosi )de + f 2(1+cos20)d0 2 33 .11 2 sin 二 sin 2 二24.1.一 sin 212r = 3cos 0兀2冗3：2 02 3三、用定積分求體積1.平行截面面積為已知的立體體積設(shè)一物體被垂直于某直線的平面所截的面積可求，則該物體可用定積分求其 體積.不妨設(shè)上述直線為X軸，則在x處的截面面積A(x)是x的已知連續(xù)函數(shù)，求

9、該物體介于x=a和x=b(a <b)之間的體積(如下圖)為求體積微元，在微小區(qū)間x,x + dx上視A(x)不變，即把x,x+dx上的立 體薄片近似看作A(x)為底，dx為高的柱片，于是得dV =A(x)dx,再在x的變化區(qū)間a,b上積分，則得公式bV = i A( x)dx. a例5設(shè)有底圓半徑為R的圓柱，被一與圓柱面交成口角且過底圓直徑的平 面所截，求截下的楔形體積(如下頁圖)。解取坐標(biāo)系如圖，則底圓方程為在x處垂直于x軸作立體的截面，得一直角三角形，兩條直角邊分別為 y及 ytana 即 Jr_ 2 x=tan ： (R x -) -x2 及 ；R2 -x2 tan« ,

10、其面積為 A(x)=1(R2-x2)tan。,從而得2楔形體積為R 1RR=2R3tan:V= q (R -x ) tan： dx = tan。： i (R -x )dx22.旋轉(zhuǎn)體體積設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線y = f (x)和直線x= a, x = b(a <b),及 x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成(如下圖)，我們來求它的體積 V。在區(qū)間a,b上點(diǎn)x處垂直x軸的截面面積為A(x)= f 2(x).在x的變化區(qū)問ba,b內(nèi)積分，得旋轉(zhuǎn)體體積為V = q f (x)dx.類似地，由曲線x=5(y),直線y=c,y = d及y軸所圍成的曲邊梯形繞 y軸 旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)體體積(如下圖)為d

11、2v = 4 9(y)dy.c222例6求由星形線x3 +y3 =a3(a>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體體積(如下O|y. A a x-a2解由方程x22 y3 =a3解出22= (a-x3)3,于是所求體積為V = TTL y2dx =2 冗工(a3 x3 )3dx4 22 4a O 二 1 二 二 O29 Q=2 冗(a -3a3x3 +3a3x3 -x )dx =而.0105四、平面曲線的弧長(zhǎng)設(shè)有曲線y = f(x)(假定其導(dǎo)數(shù)f'(x)連續(xù))，我們來計(jì)算從x = a到x=b的 一段弧長(zhǎng)的長(zhǎng)度s (如下頁圖).我們?nèi)杂梦⒃?，?x為積分變量，xwa,b,在微小區(qū)間x,x +

12、dx內(nèi)， 用切線段MT來近似代替小弧段MN (“常代變”)得弧長(zhǎng)微元為ds = MT = . MQ2 QT2 = J(dx)2 (dy)2 = J1 y'2dx.這里ds+y'2dx也稱為弧微分公式.在x的變化區(qū)間a,b內(nèi)積分，就得所求弧長(zhǎng)s =.1 y'2dx =1 If'(x) 2dx.a'a "五、課堂練習(xí)思考題 習(xí)作題思考題答案習(xí)作題答案2 o 1 2.281. - -2. nr h .3. 一 n .3 315六、小結(jié)1 .定積分應(yīng)用的微元法2 .用定積分求平面圖形的面積3 .用定積分求體積4 .平面曲線的弧長(zhǎng)七、布置作業(yè)P1381

13、2 3第二課時(shí)教學(xué)過程一、定積分的物理應(yīng)用1.功(1)變力做功設(shè)物體在變力F(x)作用下沿x軸由a處移動(dòng)到b處，求變力F(x)所做的功.由于力F(x)是變力，所求功是區(qū)間a,b上非均勻分布的整體量，故可以用 定積分來解決.禾I用微元法，由于變力F(x)是連續(xù)變化的，故可以設(shè)想在微小區(qū)問 x,x+dx上作用力F(x)保持不變(“常代變”求微元的思想)，按常力做功公式 得這一段上變力做功近似值.F(x),b .O a x dx x如圖所示建立坐標(biāo)系，變力F(x)使物體從微小區(qū)間x,x + dx的左端點(diǎn)x處 移動(dòng)到右端點(diǎn)x+dx處，所做功的近似值，即功微元為dW = F(x)dx,將微元dW 從a到

14、b求定積分，得F(x)在整個(gè)區(qū)間上所做的功為bW = a F(x)dx.例1在原點(diǎn)O有一個(gè)帶電量為十q的點(diǎn)電荷，它所產(chǎn)生的電場(chǎng)對(duì)周圍電荷有作用力.現(xiàn)有一單位正電荷從距原點(diǎn)a處沿射線方向移至距O點(diǎn)為b(a<b)的地 方，求電場(chǎng)力做功.又如果把該單位電荷移至無窮遠(yuǎn)處，電場(chǎng)力做了多少功？解 取電荷移動(dòng)的射線方向?yàn)閤軸正方向，那么電場(chǎng)力為F=kq2 (k為常x數(shù))，這是一個(gè)變力.在x,x+dx上，以“常代變”得功的微元為dW=kdx于是功為xkq .一 /1、W = =dx = kq iJo 21ax < XJ,11、=kq( ).a a b當(dāng) dx 二一 kq1二kqa a若移至無窮遠(yuǎn)處

15、，則做功為物理學(xué)中，把上述移至無窮遠(yuǎn)處所做的功叫做電場(chǎng)在 a處的電位，于是知電 場(chǎng)在a處的電位為V=蛆.a例2設(shè)汽缸內(nèi)活塞一側(cè)存有定量氣體，氣體做等溫膨脹時(shí)推動(dòng)活塞向右移動(dòng)一段距離，若氣體體積由Vi變至V2,求氣體壓力所做的功（如下圖）.O si s S2解氣體膨脹為等溫過程，所以氣體壓強(qiáng)為P = C（V氣體體積，.常數(shù)）,而活塞上的總壓力為F = PQ = CQ = C V S,（Q活塞的截面積，S為活塞移動(dòng)的距離，V=SQ）以&與S2表示活塞的初 始與終止位置，于是得功為S2S2 1W = FdS=C dS'Si-Si SV2 1 二 CdVV1 VV2V2= ClnV =

16、Cln.V1V1（2）抽水做功例3 一個(gè)底半徑為4m,高為8m的倒立圓錐形容器，內(nèi)裝6m深的水，現(xiàn)要 把容器內(nèi)的水全部抽完，需做功多少？解 我們?cè)O(shè)想水是一層一層被抽出來的，由于水位不斷下降，使得水層的提升高度連續(xù)增加，這是一個(gè)“變距離”做功問題，亦可用定積分來解決.選擇坐標(biāo)系（見下圖）,于是直線AB方程為y = 1x + 4.2在x的變化區(qū)間2,8內(nèi)取微小區(qū)間x,x+dx,則抽出這厚為dx的一薄層水所需做功的近似值為8于是功為dW=dV ”一水的比重）828 x 282 xW =九乙：xy dx = d b x(4 -) dx =冗了 |2(16x -4x + )dx=，(8x2 -4x3 +

17、4 8x . 83.33一)=9.8父63冗父10 (J) (¥ =9.8父10 N/m )16 22 .液體對(duì)平面薄板的壓力設(shè)有一薄板，垂直放在比重為 學(xué)的液體中，求液體對(duì)薄板的壓力.由物理學(xué)知道, 在液體下面深度為h處，由液體重量所產(chǎn)生的壓強(qiáng)為中=柏，若有面積為A的薄 板水平放置在液深為h處，這時(shí)薄板各處受力均勻，所受壓力為 P=WA = ?hA, 如今薄板是垂直于液體中，薄板上在不同的深度處壓強(qiáng)是不同的， 因此整個(gè)薄板 所受的壓力是非均勻分布的整體量.下面結(jié)合具體例子來說明如何用定積分來計(jì) 算.例4 一個(gè)橫放的半徑為R的圓柱形水桶，里面盛有半桶油，計(jì)算桶的一個(gè)端面所受的壓力（設(shè)

18、油的比重為 不）.解 桶的一端面是圓板，現(xiàn)在要計(jì)算當(dāng)油面過圓心時(shí)，垂直放置的一個(gè)半圓 板的一側(cè)所受的壓力.選取坐標(biāo)系（如下圖）圓方程為 x2+y2 =R2.取x為積分變量，在x的變化區(qū)間0, R內(nèi)取微小區(qū)間x,x + dx,視這細(xì)條上壓強(qiáng)不變，所受的壓力的近似值， 即壓力微元為dP = ' xdS = 2 x . R2 - x2dx,于是，端面所受的壓力為1R2-R3.o 3P 二一 QR(R2 -x2)2 d(R2 -x2)23l2 2 2-(R2-x2)2> 1第三課時(shí)教學(xué)過程3 .轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在剛體力學(xué)中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一個(gè)重要的物理量， 若質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m,到一軸距離為r ,則該質(zhì)點(diǎn)繞

19、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I =mr2現(xiàn)在考慮質(zhì)量連續(xù)分布的物體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問題，一般地，如果物體形狀對(duì)稱，并且質(zhì)量為均勻分布時(shí)，則可以用定積分來解決 .例5 均勻細(xì)桿長(zhǎng)為l ,質(zhì)量為m ,試計(jì)算細(xì)桿繞過它的中點(diǎn)且垂直于桿 的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解選擇坐標(biāo)系（如下圖）.先求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量微元dl ,為此考慮細(xì)桿上x, x + dx一段，它的質(zhì)量為mdx, 把這一小段桿設(shè)想為位于x處的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它到轉(zhuǎn)動(dòng)軸距離為|x,于是得微元Rm 2 R .o 2為沿x方向，從0積到R,就得到圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量4R 2m 3 2mx2 x dx =2 0 RR 4二、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題舉例1.已知總產(chǎn)量的變化率求總產(chǎn)量例7設(shè)某產(chǎn)品在時(shí)刻t總產(chǎn)量的變化率為f (t) = 100+12t-0.6t2求從t=2到t=4的總產(chǎn)量(t的單位為h).解設(shè)總產(chǎn)量為Q(t),由已知條件Q'(t)= f (t),則知總產(chǎn)量Q(t)是f(t)的一個(gè)原函數(shù)，所以有4.,、. 2、.23 4(f(t)dt = g(100+12t 0.6t )dt=(100t