第六章定積分的應(yīng)用

1、1一、定積分的元素法一、定積分的元素法二、在幾何上的應(yīng)用二、在幾何上的應(yīng)用1、面積、面積直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)參數(shù)方程參數(shù)方程 （略）（略）極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系 badxxfA dA2212、體積、體積平行截面面積已知平行截面面積已知旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體 badxxfV2 badxxAV1、選取積分變量、選取積分變量 x 及積分區(qū)間及積分區(qū)間a,b dxxfdUU 積分元素積分元素 badxxfU3、2、在、在a,b上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 x, x+ dx，求出，求出 U 的近似表達(dá)式的近似表達(dá)式2三、在物理上的應(yīng)用三、在物理上的應(yīng)用 4 4、有效值、有效值 1 1、功的計(jì)算、功的計(jì)算 2 2、水的壓力、水的

2、壓力 3 3、引力、引力 3、弧長(zhǎng)、弧長(zhǎng)參數(shù)方程參數(shù)方程badxys21 dttts)()(22 drrs224、均方根均方根 badxxfaby1 badxxfabD21直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系平均值平均值3解解建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系如圖，建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系如圖， 則在則在該極坐標(biāo)系下，拋物線的極坐標(biāo)方程為該極坐標(biāo)系下，拋物線的極坐標(biāo)方程為所求圖形的面積為所求圖形的面積為 cos2rar即即 cos12ar ,cos12212 daS,cos11222 da., 0 由由知，知， 拋物線焦點(diǎn)拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為到準(zhǔn)線的距離為axy42a2P344 10.求由拋物線求由拋物線與過焦點(diǎn)的

3、弦所圍成的圖形面積與過焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形面積的最小值。的最小值。axy42y xO0 , aF x , rO4 222cos11cos112 aS 222cos1cos1cos8 a令令得得 , 0 S.2 當(dāng)當(dāng)在在的左側(cè)附近取值時(shí)，的左側(cè)附近取值時(shí)，當(dāng)當(dāng)在在的右側(cè)附近取值時(shí)，的右側(cè)附近取值時(shí)， 2 ; 0 S 2 ; 0 S所以所以是函數(shù)取得極小值的點(diǎn)，也是它取得最小值的點(diǎn)。是函數(shù)取得極小值的點(diǎn)，也是它取得最小值的點(diǎn)。2 523222cos112min daS232422sin412 da232422csc2 da22csc23242 da2cot2cot123222 da232322co

4、t312cot a382a xO0 , aFyxdaxSa042minaxa02338382a6 dxadV22 32202337coscoscos53adttttaV P351 5（4）由擺線由擺線tayttaxcos1,sin及及0yay 2 所圍成的圖形繞直線所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。ya 2xoay2 解解 為積分變量，為積分變量，設(shè)設(shè)x區(qū)間為區(qū)間為 , a, 20在在 a, 20上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 , dxx,x 則體積元素為則體積元素為積分積分 dxyay24 dttatatacos1cos1cos14222 dtttta233coscos

5、cos53 xdxx dxya22 7旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 badxxxfV 2 dxxxfdV 2 badxxxfV 2 xfy, bxa 00P351 9、證明：由平面圖形證明：由平面圖形繞繞y軸軸 解解為積分變量，為積分變量，設(shè)設(shè)xa xfy byoxxdxx , b,a , dxx,x 則體積元素為則體積元素為積分區(qū)間為積分區(qū)間為在在上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 b,ax 2 xfdx dxxxfdxxfdxxxfxfxxfdxxV 2 2 222 8P369 5.圓盤圓盤1222yx繞繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解解 xoy132由

6、由P351 9. 知，知，所求體積為所求體積為 dxxxV 3122122令令,sin2tx則則.cos,sin2tdtdxtx.22:; 31: txdtttV222cossin24 dtt202cos18 202sin218 tt24 dtttdtt222222cossincos24 221xy9P369 6.求拋物線求拋物線221xy 被圓被圓322 yx所截下的有限所截下的有限部分的弧長(zhǎng)。部分的弧長(zhǎng)。解解321222yxxy由由解得拋物線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)解得拋物線與圓的兩個(gè)交點(diǎn) 。、1 ,21 ,2 所以所求弧長(zhǎng)為所以所求弧長(zhǎng)為dxxL20212x y 20221ln21122xxxx3

7、2ln62-2xoy10P369 7.半徑為半徑為 r 的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需做多少功？比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需做多少功？ 解解xoy建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系， 則圓的方程為則圓的方程為 222ryx,rry在在 rr,上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 ,dyyy要將球提到水面上，要將球提到水面上， dyyy,與與 對(duì)應(yīng)的部分需移動(dòng)對(duì)應(yīng)的部分需移動(dòng) , r2r2由于球的由于球的 比重與水相同，比重與水相同， 在水中運(yùn)動(dòng)的一段在水中運(yùn)動(dòng)的一段 外力不做功，外力不做功， 距離距離 ,

8、 yr 出水面所移動(dòng)的出水面所移動(dòng)的 , yr 一段距離一段距離外力所做的功外力所做的功 ，即，即功元素功元素為為dyyryrdW222 ydyy 其中其中389m/kN. 11dyyryrWrr22 將整個(gè)球移出水面所做的功為將整個(gè)球移出水面所做的功為rryyr033312 434r dyyrydyyrrrrrr2222 12P368 8. 邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為a和和b的矩形薄板，與液面成的矩形薄板，與液面成 角斜沉于角斜沉于液體內(nèi)，長(zhǎng)邊平行于液面而位于深液體內(nèi)，長(zhǎng)邊平行于液面而位于深h處，設(shè)處，設(shè),ba 液體的比液體的比重為重為, 試求薄板每面所受到的壓力。試求薄板每面所受到的壓力。ox解解 如圖

9、所示薄板與液面成如圖所示薄板與液面成 角，角，建立如圖所示的坐標(biāo)系。建立如圖所示的坐標(biāo)系。設(shè)設(shè)x為積分變量，為積分變量，,sin,sin hbhx上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 , dxx,x 則壓力元素為則壓力元素為dxx xadxxdp sin abh 在在 sin,sinhbh所受壓力為所受壓力為 sinsinsinhbhxdxap sin221bhab sinh sinhb 13Mx2 o 2 RdR P364 12. 設(shè)有一半徑為設(shè)有一半徑為、中心角為、中心角為的圓弧形細(xì)棒，其線的圓弧形細(xì)棒，其線 Mm密度為常數(shù)密度為常數(shù) 。在圓心處有一質(zhì)量為。在圓心處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)，試求這細(xì)棒，試求這細(xì)棒的引力。的引力。對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)M解解 建立極坐標(biāo)系如圖，建立極坐標(biāo)系如圖， d d 設(shè)極角設(shè)極角 為積分變量，為積分變量，則則積分區(qū)間為積分區(qū)間為,2,2 在在 22,上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間, d,對(duì)應(yīng)該區(qū)間上的一段弧對(duì)應(yīng)該區(qū)間上的一段弧 Rd對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力的引力即即引力元素引力元素 ,dF2RRdmGdF dF其方向由其方向由M指向這段圓弧。指向這段圓弧。RdGm 圓弧的方程為圓弧的方程為.,-R,r22 14設(shè)它在水平方向的分量為設(shè)它在水平方向的分量為,dFxMx2 o