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1、 遂寧市戴氏教育培訓(xùn)學(xué)校 初一數(shù)學(xué) 主講 陳老師氏教育中考名校沖刺教育中心【我生命中最最最重要的朋友們,請(qǐng)你們認(rèn)真聽(tīng)老師講并且跟著老師的思維走。學(xué)業(yè)的成功重在于考點(diǎn)的不斷過(guò)濾,相信我贈(zèng)予你們的是你們學(xué)業(yè)成功的過(guò)濾器。謝謝使用!】三角形和多邊形(一)重點(diǎn),難點(diǎn),熱點(diǎn):一、三角形的概念由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做三角形。要點(diǎn):三條線段;不在同一直線上;首尾順次相接2三角形的表示通常用三個(gè)大寫字母表示三角形的頂點(diǎn),如用A、B、C表示三角形的三個(gè)頂點(diǎn)時(shí),此三角形可記作ABC,其中線段AB、BC、AC是三角形的三條邊,A、B、C分別表示三角形的三個(gè)內(nèi)角
2、3三角形中的三種重要線段三角形的角平分線、中線、高線是三角形中的三種重要線段(1)三角形的角平分線:三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線注意:三角形的角平分線是一條線段,可以度量,而角的平分線是經(jīng)過(guò)角的頂點(diǎn)且平分此角的一條射線三角形有三條角平分線且相交于一點(diǎn),這一點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部三角形的角平分線畫法與角平分線的畫法相同,可以用量角器畫,也可通過(guò)尺規(guī)作圖來(lái)畫(2)三角形的中線:在一個(gè)三角形中,連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線注意:三角形有三條中線,且它們相交三角形內(nèi)部一點(diǎn)畫三角形中線時(shí)只需連結(jié)頂點(diǎn)及對(duì)邊的中點(diǎn)即可(3)三角形
3、的高線:從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線,頂點(diǎn)和垂足間的限度叫做三角形的高線,簡(jiǎn)稱三角形的高注意:三角形的三條高是線段畫三角形的高時(shí),只需要向?qū)吇驅(qū)叺难娱L(zhǎng)線作垂線,連結(jié)頂點(diǎn)與垂足的線段就是該邊上的高二、三角形三邊關(guān)系定理三角形兩邊之和大于第三邊,故同時(shí)滿足ABC三邊長(zhǎng)a、b、c的不等式有:a+b>c,b+c>a,c+a>b三角形兩邊之差小于第三邊,故同時(shí)滿足ABC三邊長(zhǎng)a、b、c的不等式有:a>b-c,b>a-c,c>b-a注意:判定這三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形,只需看兩條較短的線段的長(zhǎng)度之和是否大于第三條線段即可三、三角形的穩(wěn)定性三角形的三邊確定了,那
4、么它的形狀、大小都確定了,三角形的這個(gè)性質(zhì)就叫做三角形的穩(wěn)定性例如起重機(jī)的支架采用三角形結(jié)構(gòu)就是這個(gè)道理三角形內(nèi)角和性質(zhì)的推理方法有多種,常見(jiàn)的有以下幾種:四、三角形的內(nèi)角結(jié)論1:三角形的內(nèi)角和為180°表示: 在ABC中,A+B+C=180°(1)構(gòu)造平角可過(guò)A點(diǎn)作MNBC(如圖) 可過(guò)一邊上任一點(diǎn),作另兩邊的平行線(如圖)(2)構(gòu)造鄰補(bǔ)角,可延長(zhǎng)任一邊得 鄰補(bǔ)角(如圖)構(gòu)造同旁內(nèi)角,過(guò)任一頂點(diǎn)作射線平行于對(duì)邊(如圖)結(jié)論2:在直角三角形中,兩個(gè)銳角互余表示:在直角三角形ABC中,C=90°,那么A+B=90°(因?yàn)锳+BC=180°)注意:
5、在三角形中,已知兩個(gè)內(nèi)角可以求出第三個(gè)內(nèi)角如:在ABC中,C=180°(A+B)在三角形中,已知三個(gè)內(nèi)角的比或它們之間的關(guān)系,求各內(nèi)角如:ABC中,已知A:B:C=2:3:4,求A、B、C的度數(shù)五、三角形的外角1意義:三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角如圖,ACD為ABC的一個(gè)外角,BCE也是ABC的一個(gè)外角,這兩個(gè)角為對(duì)頂角,大小相等2性質(zhì):三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.如圖中,ACD=A+B , ACD>A , ACD>B.三角形的一個(gè)外角與與之相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)3外角個(gè)數(shù)過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)有兩
6、個(gè)外角,這兩個(gè)角為對(duì)頂角(相等),可見(jiàn)一個(gè)三角形共有六個(gè)外角六、多邊形1、概念:由不在同一直線上的n條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做n邊形。又稱多邊形。多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角,多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角2、正多邊形:各邊都相等,各內(nèi)角也相等的多邊形。3、對(duì)角線:連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段。多邊形的對(duì)角線條對(duì)角線n邊形的內(nèi)角和為(n2)×180°多邊形的外角和為360° 從n邊形(n3)的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有n-3條,把n邊形分成n-2個(gè)三角形。4凸多邊形與凹多邊形在圖(1)中,畫出四邊形ABCD的任何一條邊所在的
7、直線,整個(gè)圖形都在這條直線的同一側(cè),這樣的四邊形叫做凸四邊形,這樣的多邊形稱為凸多邊形;而圖(2)就不滿足上述凸多邊形的特征,因?yàn)槲覀儺婤D所在直線,整個(gè)多邊形不都在這條直線的同一側(cè),我們稱它為凹多邊形,今后我們?cè)诹?xí)題、練習(xí)中提到的多邊形都是凸多邊形5正多邊形由正方形的特征出發(fā),得出正多邊形的概念各個(gè)角都相等,各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形七、鑲嵌各種平面圖形能作“平面鑲嵌”的必備條件,是圖形拼合后同一個(gè)頂點(diǎn)的若干個(gè)角的和恰好等于360°。用同一種正多邊形鑲嵌,只要正多邊形內(nèi)角的度數(shù)整除360°,這種正多邊形就能作平面鑲嵌。比如正三角形、正方形、正六邊形能作平面鑲嵌,而正
8、五邊形、正七邊形、正八邊形、正九邊形、的內(nèi)角的度數(shù)都不能整除360°,所以這些正多邊形都不能鑲嵌。(二)典型例題:【例1】已知BD,CE是的高,直線BD,CE相交,所構(gòu)成的角中有一個(gè)角為50°,則 分析:本題中由于沒(méi)有圖形, 的形狀不確定,應(yīng)分兩種情況:是銳角三角形 是鈍角三角形 解:50或130(過(guò)程略)【例2】,已知中,的角平分線BD,CE相交于點(diǎn)O,且,求【例3】如圖,已知ÐA=27°,CFDE,ÐCBE=90°,ÐC=30°,求ÐADE的度數(shù)。 分析:1、要求一個(gè)角的度數(shù),可以先看一下它所處的位置
9、:如果是某個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角,可以考慮用三角形內(nèi)角和定理來(lái)計(jì)算,如果是某個(gè)三角形的外角,可以考慮用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和來(lái)計(jì)算。本題中的ÐADE只能是BFD或者AED的內(nèi)角,不可能是某個(gè)三角形的外角。2、本題可以通過(guò)設(shè)未知數(shù),找相等關(guān)系,列方程來(lái)解,體現(xiàn)了幾何問(wèn)題中的方程思想。解:設(shè)ÐADE=X°ÐCBE=90°,ÐC=30°(已知)ÐDEC=180°(ÐCBE+ÐC)=180°(90°+30°)=60°(三角形內(nèi)角和定理)
10、又ÐDEC=ÐA+ÐADE(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和)60°=27°+X°X°=60°27°=33°即ÐADE=33°【例4】三角形的最長(zhǎng)邊為10,另兩邊的長(zhǎng)分別為和4,周長(zhǎng)為c,求和c的取值范圍.解:已知三角形的兩邊為10和4.那么第三邊的范圍應(yīng)滿足: 即6<<14.【例5】如圖,求A+C+3+F的度數(shù)。分析:由已知B=30°,G=80°,BDF=130°,利用四邊形內(nèi)角和,求出3的度數(shù),再計(jì)算要求的值。解:四邊
11、形內(nèi)角和為(4-2)×180°=360°3=360°-30°-80°-130°=120°又A C F是三角形的內(nèi)角 A+C+F+3=180°+120°=300°【例6】已知一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的,求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。分析:每一個(gè)外角的度數(shù)都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的,而每個(gè)外角與其相鄰的內(nèi)角的度數(shù)之和為180°。解:設(shè)此多邊形的外角為x,則內(nèi)角的度數(shù)為x 【例7】用正三角形、正方形和正六邊形能否進(jìn)行鑲嵌? 分析:可以進(jìn)行鑲嵌的條件是:一個(gè)頂點(diǎn)處各個(gè)內(nèi)角和為360
12、176; 解:正三角形的內(nèi)角為 正方形的內(nèi)角為正六邊形的內(nèi)角為 可以鑲嵌。一個(gè)頂點(diǎn)處有1個(gè)正三角形、2個(gè)正方形和1個(gè)正六邊形。【例8】 如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ),那么另一組對(duì)角有什么關(guān)系?已知:四邊形ABCD的AC180°求:B與D的關(guān)系 分析:本題要求B與D的關(guān)系,由于已知AC180°,所以可以從四邊形的內(nèi)角和入手,就可得到完滿的答案 解:如圖,四邊形ABCD中,AC180°。A+B+C+D=(42)×360°=180°,BD= 360°(AC)=180°這就是說(shuō):如果四邊形一組對(duì)角互補(bǔ),那么另一組對(duì)角也互補(bǔ)
13、【例9】 如圖,AD是ABC的角平分線。DEAC,DE交AB于E。DFAB,DF交AC于F。圖中1與2有什么關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由。【10】如圖,ABC中,A=36°,ABC=40°,BE平分ABC,E=18。CE平分ACD嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由。(三)練習(xí)題:一、選擇題1圖中三角形的個(gè)數(shù)是( ) A8 B9 C10 D112下面四個(gè)圖形中,線段BE是ABC的高的圖是( ) A B C D3以下各組線段為邊,能組成三角形的是( ) A1cm,2cm,4cm B8cm,6cm,4cm C12cm,5cm,6cm D2cm,3cm,6cm4三角形一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角,這個(gè)三角形是( )
14、 A直角三角形 B銳角三角形C鈍角三角形 D屬于哪一類不能確定5如圖,在直角三角形ABC中,ACAB,AD是斜邊上的高,DEAC,DFAB,垂足分別為E、F,則圖中與C(C除外)相等的角的個(gè)數(shù)是( ) A、2 B、3 C、4 D、56下面各角能成為某多邊形的內(nèi)角和的是( ) A430° B4343° C4320° D4360°_1_2_B_C_A_O7、 如圖所示,在ABC中,CD、BE分別是AB、AC邊上的高,并且CD、BE交于,點(diǎn)P,若A=500 ,則 BPC等于( )A、90° B、130° C、270° D、315&
15、#176;8若n邊形每個(gè)內(nèi)角都等于150°,那么這個(gè)n邊形是( ) A九邊形 B十邊形 C十一邊形 D十二邊形 9一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720°,那么這個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)為( )A6條 B7條 C8條 D9條 10隨著多邊形的邊數(shù)n的增加,它的外角和( )A增加 B減小 C不變 D不定 11若多邊形的外角和等于內(nèi)角和,它的邊數(shù)是( ) A3 B4 C5 D7 12一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1800°,那么這個(gè)多邊形是( )A五邊形 B八邊形 C十邊形 D十二邊形13、 裝飾大世界出售下列形狀的地磚:正方形;長(zhǎng)方形;正五邊形;正六邊形。若只選購(gòu)其中某一種地磚鑲嵌地面,可供
16、選用的地磚共有( ) A. 1種 B. 2種 C. 3種 D. 4種二、填空題1如圖,在ABC中,AD是中線,則ABD的面積 ACD的面積(填“”“”“”)。 (第1題圖) (第2題圖)2如圖,ABC中,A = 40°,B = 72°,CE平分ACB,CDAB于D,DFCE,則CDF = 度。3一個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角中最多有 個(gè)鈍角,最多有 個(gè)銳角。4一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于30°,這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 ,它的內(nèi)角和是 。5、用一種正多邊形鋪滿整個(gè)地面的正多邊形只有 三種。三、解答題1. 如圖,D是ABC的BC邊上一點(diǎn),B=BAD,ADC= 80°,BA
17、C = 70°,求(1)B的度數(shù);(2)C的度數(shù) 2. 如圖,線段AD,BC交于Q,OD平分CDA且交BC于H,OB平分ABC且交AD于G,求(A+C):O3. 如圖,BE是ABD的平分線,CF是ACD的平分線,BE與CF交于點(diǎn)G,若BDC=140°,BGC=110°,求A4如圖,線段、相交于點(diǎn),能否確定與的大小,并加以說(shuō)明5如圖,ABC中,A=36°,ABC=40°,BE平分ABC,E=18。CE平分ACD嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由。課后作業(yè):一、 填空題:1. 三角形的三個(gè)外角中最多有 銳角,最多有 個(gè)鈍角,最多有 個(gè)直角2. 的兩個(gè)內(nèi)角的一平分線交于
18、點(diǎn)E,則 3. 已知的的外角平分線交于點(diǎn)D,那么= 4 如圖,是三角形ABC的不同三個(gè)外角,則 5 在中等于和它相鄰的外角的四分之一,這個(gè)外角等于的兩倍,那么 , , 6一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于135°,則這個(gè)多邊形為 邊形 7內(nèi)角和等于外角和的多邊形是 邊形 8一個(gè)多邊形的內(nèi)角的度數(shù)從小到大排列時(shí),恰好依次增加相同的度數(shù),其中最小角為100°,最大的是140°,那么這個(gè)多邊形是 邊形 6若多邊形內(nèi)角和等于外角和的3倍,則這個(gè)多邊形是 邊形 7多邊形每個(gè)內(nèi)角都相等,內(nèi)角和為720°,則它的每一個(gè)外角為 8四邊形的A、B、C、D的外角之比為1:2:3:4
19、,那么A:B:C:D= 9如果一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加一條,那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和增加 ,外角和增加 10、二、判斷題 1由四條線段首尾順次相接組成的圖形叫四邊形( )2當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時(shí),它的內(nèi)角和也隨著增加( ) 3當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時(shí)它的外角和也隨著增加( )4從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),可以引出(n一2)條對(duì)角線,得到(n一2)個(gè)三角形( ) 5四邊形的四個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)角不小于直角( )三、選擇題 1一個(gè)多邊形每個(gè)內(nèi)角為108°,則這個(gè)多邊形( )A四邊形 B,五邊形 C六邊形 D七邊形 2. 一個(gè)多邊形每個(gè)外角都是60°,這個(gè)多邊形的外角和為( ) A180° B360° C720° D1080° 3n邊形的n個(gè)內(nèi)角中銳角最多有( )個(gè)A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 4多邊形的內(nèi)角和為它的外角和的4倍,這個(gè)多邊形是( )A八邊形 B九邊形 C十邊形 D,十一邊形5、某中學(xué)新科技館鋪
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