錐形束CT解析算法進展

1、錐形束CT解析算法進展    摘要  近年來錐形束CT解析法重構(gòu)有了突破性進展，螺旋CT的非移變?yōu)V波反投影（FBP）算法首先由Katsevich提出，并得到不斷完善。隨后，這一重構(gòu)系統(tǒng)被推廣至普適軌道，同時，在此基礎(chǔ)上又衍生出反投影濾波（BPF）的新思路。本文提出了錐形束CT爭析算法發(fā)展中的關(guān)鍵問題，并作了深入剖析，對比了FBP與BPF算法的優(yōu)缺點，指出了未來研究發(fā)展的要點。        關(guān)鍵詞  錐形束CT；解析算法；濾波反投影算法；反投影濾波算法；Katsevich類算

2、法        錐形束CT的解析算法一直是三維體積CT領(lǐng)域的重要課題。錐形束重構(gòu)屬于弱病態(tài)問題1，數(shù)值計算方面的困難重重。理論上的公式雖然嚴格完備，卻難以應(yīng)用于實際設(shè)備，所以當前的CT設(shè)備仍采用2.5維的Z軸堆疊的空間重構(gòu)。        真正意義下的三維體積重構(gòu)研究在近年有了突破性進展。2002年Katsevich提出了基于螺旋軌道的移不變?yōu)V波反投影（FBP）算法24，錐形束重構(gòu)研究由此進入新階段。Katsevich類的重構(gòu)系統(tǒng)從數(shù)值仿真到系統(tǒng)實現(xiàn)的研究工作廣泛展開，文獻

3、5基于實際探測器幾何形態(tài)詳細地討論了Katsevich法重構(gòu)系統(tǒng)的實現(xiàn)。隨后，為改進重構(gòu)精度Katsevich提出了3PI算法6。同樣是源于Katsevich類算法，Pan小組引入Hilbert變換（HT）提出重構(gòu)的新思路，即反投影濾波（FBP）算法7，8。相比FBP算法，BPF在橫向截斷投影數(shù)據(jù)情形下仍能獲取更好的重構(gòu)效果，因而在感興趣區(qū)域重構(gòu)方面有著廣闊的應(yīng)用前景。另一方面，螺旋軌道情形下的重構(gòu)公式與一些定理也被推廣到普適軌道的通用系統(tǒng)911。新軌道的開拓與基于新軌道重構(gòu)算法實現(xiàn)也是當下重要的研究內(nèi)容12，13。        本

4、文提出了錐形束CT解析算法發(fā)展中的若干關(guān)鍵問題，地比了FBP與BPF算法的優(yōu)缺點，指出了未來發(fā)展的研究要點。        1  Katsevich類FBP算法        1.1  錐形束重構(gòu)公式的困難  在Katsevich之前，錐形束FBP重構(gòu)算法的主要困難是：錐形束變換和三維Radon變換不對等14，而通過等價關(guān)系變換過程15中，存在一個非一一映射的變換，從而變換后的重構(gòu)公式表達為濾波反投影的形式時，濾波的過程是移變的。其中錐形束變換（

5、或稱XrayR3：x=Rcos，y=Rsin，z=（h/2），Katsevich的公式利用了螺旋軌道一個重要性質(zhì)：對于軌道內(nèi)的任一重構(gòu)點x-，必然存在唯一的連接軌道上兩源點的線段。該線段稱為PIline記為LPI（x-），其對應(yīng)的軌道曲線為CPI（x-）。給定重構(gòu)點（x-），對CPI（x-）上各源點（，x-）的投影數(shù)據(jù)g（，）做濾波得到gF后，就可以再通過反投影重構(gòu)出該點的密度f（x-），即：          關(guān)鍵問題就是對于每個源點（，x-）如何濾波得到相應(yīng)的gF。Fatsevich最先提出的濾波算法2包含了兩

6、個方向上的濾波，記（，x-）指向x-的單位矢量為x（，x-），則：          其中ek（，x-）=1，2表示與濾波有關(guān)的兩方方向，e1（，x-）與（0，x-），（*，x-）和（0+*）/2，x-確定的平面過點x-，該平面記為Kplane，法線方向記為u（0，*），這一濾波方向由u（0，*）矢量決定的。改進的濾波法就是用e（，x-）:=（，x-）×u（，x-）替代（3）中的ek（，x-），即：       若采用平板探測器，那么（4）中的表達式cos（，x-）

7、+sine（，x-）指出了濾波就是沿Kplaneline演化為Mline，CPI（x-）上的反投影積分對應(yīng)為CMline（x-）。    其中（，x，e）相應(yīng)的權(quán)因子，m對應(yīng)于k（，x）的不連續(xù)點，而cm（，x）是不連續(xù)點處的階躍值。然而（5）還不是萬能公式，在應(yīng)用于具體的軌道時，仍需處理諸如“如何確定Kplane”、“如何設(shè)置權(quán)因子”等問題。     圖1  Katsevich螺旋錐形束CT濾波反投影算法示意圖      圖2  螺旋

8、錐形束CT反投影濾波算法示意圖     2  基于HT的BPF算法        2.1  BPF算法  改進后的Katsevich算法啟發(fā)了新算法的產(chǎn)生?？紤]交換（5）中兩個積分的順序，即先做反投影，再做濾波，Pan小組指出了這樣的變換是成立的，并由此提出了反投影濾波（BPF）的新思路（圖2）。（x-）由gb（x-）做Hilbert變換得到，其中K（x-，x-）為Hilbert變換核，e（x-）為關(guān)于x-的PIline的方向；gb（x-）是投影g（x-，）的加權(quán)反投影積分，

9、即：        這說明BPF算法中的Hilbert變換對應(yīng)的濾波是沿PIline方向的，重構(gòu)是在PIline上實現(xiàn)的。那么，若僅需重構(gòu)物體的某局部，可以只計算與該區(qū)域相交的各條PIline線段上的各點的密度即可。        2.2  BPF算法與FBP算法的性能比較  若投影數(shù)據(jù)集完備，這兩種算法是一致的，不過實際系統(tǒng)中的投影數(shù)據(jù)集在橫向與縱向常常是截斷的，兩種算法在處理縱向截斷數(shù)據(jù)方面都具有良好的魯棒性，但在橫向截斷時存在差異。 

10、60;      FBP算法的濾波沿Kplane與投影面的交線，也就是說某個點x-的重構(gòu)涉及Kplane上所有的其他點。若探測器在橫向較為狹窄，就會導(dǎo)致橫向數(shù)據(jù)截斷，在重構(gòu)中形成偽影。另一方面，BPF法的公式中蘊含了優(yōu)越的局部特性（圖2），gb（x-）僅與CPI（x-）上各源點的x-點處投影的結(jié)果有關(guān)，Hilbert變換沿LPI（x-）方向，也是僅依賴于x-。這一局部特性使得BPF在橫向及縱向截斷投影數(shù)據(jù)情形下人都能獲取更好的重構(gòu)效果，在感興趣區(qū)域（ROI）重構(gòu)方面有著廣闊的應(yīng)用前景。      

11、0; 3  進一步研究要點        BPF算法的提出與完善給ROI方向的研究開拓了廣闊的領(lǐng)域，其發(fā)展必定同時關(guān)注最小數(shù)據(jù)集重構(gòu)與高分辨率的冗余掃描重構(gòu)。前者有助于最大可能降低放射線源劑量及減小探測器的面積。        另一方面，探求與ROI相匹配的重構(gòu)軌道也是今后研究的要點之一。比如在臟器官的CT掃描中，若采用更靈活的源點軌道，使其幾何特征與臟器官在體內(nèi)不同的位置與形態(tài)相匹配，有希望提高重構(gòu)系統(tǒng)的性能。     &#

12、160;  4  結(jié)論        近年來錐形束CT解析法重構(gòu)有了突破性進展，Katsevich提出了螺旋軌道CT的非移變?yōu)V波反投影（FBP）公式及其改進形式。隨后，這一重構(gòu)系統(tǒng)推廣至普適軌道。在此基礎(chǔ)上Pan變換了反投影與濾波的積分順序，基于Hilbert變換建立了反投影濾波（BPF）算法。兩者在濾波方式上存在著較大的不同，F(xiàn)BP算法相對完善，數(shù)值計算精度較高，而BPF所具有的局部特性使其在ROI領(lǐng)域中有著曠闊的應(yīng)用前景?；阱F形束CT的ROI研究將成為今后該領(lǐng)域的研究要點，包括最小數(shù)據(jù)集重構(gòu)、冗余數(shù)據(jù)處理、自

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