誤差理論與數(shù)據(jù)處理

1、第四節(jié) 數(shù)據(jù)處理實(shí)驗(yàn)（測(cè)量）總是希望獲得可靠的結(jié)果或找出物理量之間的關(guān)系（規(guī)律），要得到這些除了實(shí)驗(yàn)本身外，還必須進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。所謂數(shù)據(jù)處理，就是用簡(jiǎn)明而嚴(yán)格的方法把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所代表的事物的內(nèi)在規(guī)律性提煉出來。它是由獲得數(shù)據(jù)到結(jié)果，包括記錄、整理、計(jì)算、分析等在內(nèi)的一個(gè)加工過程。數(shù)據(jù)處理方法較多，這里我們只介紹列表法、作圖法、逐差法和最小二乘法。一、列表法在記錄和處理數(shù)據(jù)時(shí)，一般要將原始數(shù)據(jù)（有時(shí)還把運(yùn)算的中間項(xiàng)）列成表格，我們稱為列表法。通過列表法可以把紊亂的數(shù)據(jù)有序化，其優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單而明確地表示出有關(guān)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，便于對(duì)比檢查測(cè)量與運(yùn)算結(jié)果是否合理，以減少或避免錯(cuò)誤。同時(shí)便于發(fā)現(xiàn)和分析問題

2、，有助于從中找出規(guī)律性的聯(lián)系，找出經(jīng)驗(yàn)公式等。列表的具體要求是：（1）要把原始數(shù)據(jù)和必要的運(yùn)算過程中的中間結(jié)果列入表中，但要簡(jiǎn)單明了，以便能看出有關(guān)量之間的關(guān)系方和便進(jìn)一步處理數(shù)據(jù)。（2）必須標(biāo)明各符號(hào)所代表的物理量，并寫明單位。單位及量值的數(shù)量級(jí)縮寫在標(biāo)題欄內(nèi)，不要重復(fù)地記在每個(gè)數(shù)值上。（3）表中的數(shù)據(jù)要正確地反映測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字。 以下例1和例2分別是簡(jiǎn)單和較復(fù)雜的數(shù)據(jù)列表。例1 通過測(cè)量溫度t和在溫度t下銅的電阻Rt來測(cè)量銅的電阻溫度系數(shù)，得到t與Rt的數(shù)據(jù)列表如下：表1-4-1 電阻（Rt）溫度（t）關(guān)系 （樣品：銅）測(cè)量次數(shù)k溫度t（oC）電阻Rt（） 20.010.7625.01

3、0.9430.011.0835.011.2240.011.36例2 光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得光電管的一組伏安特性光電流I隨陽極電壓U變化的數(shù)據(jù)列表如下：表1-4-2 光電管的伏安特性隨光強(qiáng)的變化 （光波長(zhǎng)=577nm 通光孔徑=5mm）光電管到光源的距陽極電壓U（V）0.00離L（cm）30 40 50I1（×10-11A）I2（×10-11A）-0.733I3（×10-11A）6.654.283.712.0067.446.329.84.0012087.151.56.0018213376.28.0019413986.510.0020414690.1232二、作圖法作圖

4、法是把一系列數(shù)據(jù)之間的關(guān)系或其變化情況用圖線直觀地表示出來的一種方法，它是研究物理量之間變化規(guī)律，找出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，求經(jīng)驗(yàn)公式的最常用的方法之一。1作用與優(yōu)點(diǎn)（1）作用：可以驗(yàn)證理論或?qū)ふ医?jīng)驗(yàn)公式；可以用內(nèi)插法在圖上直接得出圖線范圍內(nèi)任意的x值及相應(yīng)的y值；在一定條件下，用外推法可以從圖線的延伸部分得到測(cè)量數(shù)據(jù)范圍以外的數(shù)據(jù)；可以作修正曲線及校準(zhǔn)曲線；可以幫助發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中個(gè)別測(cè)試點(diǎn)測(cè)量結(jié)果的錯(cuò)誤，并可對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行分析等。（2）優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡(jiǎn)便；如果圖線是依據(jù)許多數(shù)據(jù)點(diǎn)描出的平滑曲線，則有取平均的效果；能利用作圖把復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系變換為線性關(guān)系，即曲線改直等。2作圖規(guī)則（1）決定作圖參量、選取坐

5、標(biāo)紙。作圖一定要用坐標(biāo)紙，在決定了作圖參量后，根據(jù)具體情況選用直角坐標(biāo)紙、對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙或其他坐標(biāo)紙。圖幅大小和坐標(biāo)軸比例要根據(jù)測(cè)量的有效數(shù)字與結(jié)果的要求來確定。一般來講，測(cè)量數(shù)據(jù)中可靠數(shù)字在圖上也是可靠的，數(shù)據(jù)中的誤差位在圖中是估計(jì)的，即圖紙上一小格對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)中可靠數(shù)位的最后一位，誤差位在小格之間估計(jì)。有時(shí)需要把圖幅適當(dāng)放大，使圖上的兩小格、五小格（不宜選三、六、七、九小格）對(duì)應(yīng)可靠數(shù)位的最后一位。如果作的只是示意圖，就不必在意有效數(shù)字的問題，只要把圖幅設(shè)計(jì)到大小、比例合適就行了。實(shí)驗(yàn)中，不要求用作圖法求解物理量的圖，大部分都是示意圖。作圖時(shí)縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的比例不一定相同，坐標(biāo)原點(diǎn)也不一定與變量的

6、零點(diǎn)一致。應(yīng)適當(dāng)?shù)剡x擇比例和坐標(biāo)原點(diǎn)，使曲線比較對(duì)稱地充滿整個(gè)圖紙，不要偏于一角或一邊。有時(shí)，我們對(duì)圖的局部細(xì)節(jié)感興趣，也可以把這部分放大、或放大到整個(gè)圖紙。，如果曲線上某一段相對(duì)于x或y基本不變化，也可以省略這一部分（用圖線省略標(biāo)記“”表示，如省略了一段的橫線表示為“”），以把有限的圖幅用于其它部分?？傊鲌D之前規(guī)劃好作圖對(duì)象、大小、比例、坐標(biāo)類型等（參見圖1-4-1），對(duì)能否完成合理、美觀的作圖非常重要。（2）標(biāo)明坐標(biāo)軸和圖名。通常橫坐標(biāo)代表自變量縱坐標(biāo)代表因變量；在軸的末端一定要畫出方向、標(biāo)明所代表的物理量（或符號(hào)）及單位；在軸上每隔一定間距（直角坐標(biāo)系一般為整數(shù)倍等間隔）標(biāo)明該物理量的

7、數(shù)值作為標(biāo)尺（除校正曲線外，一般不必按有效數(shù)字的規(guī)則標(biāo)注，不要把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)標(biāo)在坐標(biāo)軸上，例如坐標(biāo)單位是cm，標(biāo)尺為2、3、4、·····，數(shù)據(jù)2.33cm、3.17cm不標(biāo)在坐標(biāo)軸上，），如果數(shù)據(jù)特別大或特別小，可以提出乘積因子，例如提出103或10-3放在坐標(biāo)軸物理量單位符號(hào)前面；在圖紙的明顯位置寫明圖的名稱（包括需要說明的實(shí)驗(yàn)條件、附注、作圖者的姓名等）。（3）標(biāo)點(diǎn)。根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，用“×”號(hào)標(biāo)出各點(diǎn)的坐標(biāo)。“×”號(hào)可用直尺和尖筆清楚地畫出，使與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)準(zhǔn)確地落在“+”號(hào)的交點(diǎn)上。一張圖上要畫出幾條曲線時(shí)，各條曲線

8、可用不同的標(biāo)記，如“×”、“+”、“”、“”、“”、“I” 等。通常不用圓點(diǎn)“”,特別要注意不得使用小圓點(diǎn)“·”，因?yàn)樾A點(diǎn)不醒目，容易被曲線蓋掉。如果標(biāo)記用“”、“”、“”、“I” 等，坐標(biāo)應(yīng)準(zhǔn)確地落在標(biāo)記的中心上。（4）連線。如果圖線是反映物理量之間關(guān)系的，就要畫擬合直線或把數(shù)據(jù)點(diǎn)“連”成光滑的曲線，連線時(shí)不一定通過所有點(diǎn)（有時(shí)甚至一個(gè)點(diǎn)都不通過），而是讓其（數(shù)量、距離）均勻地分布在曲線（直線）的兩旁；如果是校正曲線，就必須通過每個(gè)點(diǎn)連成折線。作圖時(shí)要使用作圖工具，不能隨意畫出。一張圖上要畫出幾條曲線時(shí)，各條曲線可用不同、虛線“-”、點(diǎn)劃線“-”等。 的虛實(shí)線或顏色表示

9、，如實(shí)線“”）圖1-4-1 根據(jù)不同需要繪出的某穩(wěn)壓二極管的IV曲線3常用的圖表類型及應(yīng)用（1）平滑曲線表示一定條件下兩個(gè)物理量之間相互關(guān)系的圖線。實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的一系列數(shù)據(jù)，用圖線表示出來，能一目了然地顯示出物理量之間的相互關(guān)系、變化趨勢(shì)、極值、轉(zhuǎn)折點(diǎn)和周期等情況，能方便地用內(nèi)插法在圖上直接得出圖線范圍內(nèi)任意的x值及相應(yīng)的y值；在一定條件下，用外推法可以從圖線的延伸部分得到測(cè)量數(shù)據(jù)范圍以外的數(shù)據(jù)；可以幫助發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中個(gè)別測(cè)試點(diǎn)測(cè)量結(jié)果的錯(cuò)誤，并可對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行分析等。例3 溫度為20時(shí)某一定質(zhì)量的稀有氣體的壓強(qiáng)p和體積V的測(cè)量值如表1-4-3所示。表1-4-3 氣體壓強(qiáng)p 體積V關(guān)系 （溫度為20

10、） V（×10-3m3）p（Pa）根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)描點(diǎn)作出pV圖參見圖1-4-2。p Pa） （p V圖V（×10-3m3）圖1-4-2 某氣體在20時(shí)的p V曲線系圖從pV圖上用內(nèi)插法可以直接讀出未進(jìn)行測(cè)量的壓強(qiáng)p和體積V的值，如體積V=450×10-3m3時(shí)，壓強(qiáng)p=2.42Pa。在具有一定可靠性的條件下，可以將曲線向?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)范圍以外延伸，延伸部分用虛線畫出，以區(qū)別于實(shí)測(cè)范圍內(nèi)的實(shí)線。例如從pV圖上用外推法推得到體積V=800×10-3m3時(shí)，壓強(qiáng)p=1.40Pa。需要注意的是：實(shí)驗(yàn)圖線不能隨意延伸，不能認(rèn)定在一定范圍內(nèi)得到的規(guī)律一定可以適用于另一范圍。

11、繪平滑曲線時(shí)要注意實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是否充足，一般來講，曲線上接近于直線的部分至少需要3組數(shù)據(jù)；曲線上的一個(gè)彎曲部分至少需要5個(gè)數(shù)據(jù)，曲線彎曲的程度越高，需要的數(shù)據(jù)也越密集；曲線斜率越大自變量也應(yīng)該取得越密集。否則繪制出的平滑曲線不能很好地反映測(cè)量的物理規(guī)律，應(yīng)用于內(nèi)插法和外推法時(shí)誤差就大，甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如p V圖中在體積V為100200×10-3m3的部分曲線斜率較大，應(yīng)該在150×10-3m3處多測(cè)一組數(shù)據(jù)。如果繪體積V從50200×10-3m3范圍內(nèi)的pV曲線，還應(yīng)該在50、55、60、70、80×10-3m3處測(cè)5組數(shù)據(jù)才能滿足要求。所以，測(cè)量和畫圖線是

12、密切相關(guān)的，有時(shí)需要邊畫圖線邊測(cè)量補(bǔ)充數(shù)據(jù)。對(duì)于十分復(fù)雜的曲線，例如夫蘭克赫茲管的陽極電流IAUGK曲線（參見實(shí)驗(yàn)37），需要大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，記錄這些數(shù)據(jù)非常繁瑣，如果數(shù)據(jù)僅僅用于畫圖線，就沒有必要記錄數(shù)據(jù)，一邊測(cè)量一邊把數(shù)據(jù)點(diǎn)畫到圖上可以提高實(shí)驗(yàn)和分析的速度。（2）校正曲線校正曲線是折線圖，相鄰的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)之間都是直線連接。如儀器使用日久或維修之后，性能下降，可能達(dá)不到原設(shè)計(jì)指標(biāo)，為確保測(cè)量數(shù)據(jù)的可靠性，應(yīng)該用標(biāo)準(zhǔn)儀器或級(jí)別較高的同類儀器作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行校驗(yàn)。設(shè)被校驗(yàn)表的讀數(shù)為A被校，標(biāo)準(zhǔn)表的讀數(shù)為A標(biāo)準(zhǔn)，則用校正值A(chǔ)=A標(biāo)準(zhǔn)-A被校為縱坐標(biāo)，A被校為橫坐標(biāo)，各相鄰校驗(yàn)點(diǎn)之間用直線連接起來得到的AA

13、被校圖線即為校正曲線。例4 對(duì)一電壓表進(jìn)行校正時(shí)，測(cè)的數(shù)據(jù)如表1-4-4所示。繪出的校正曲線如圖1-4-3所示。表1-4-4 某電壓表校正數(shù)據(jù) 被校表示值U被校（V）標(biāo)準(zhǔn)表測(cè)量值U標(biāo)準(zhǔn)（V）U=U標(biāo)準(zhǔn)-U被校（V）-0.20-0.15U（V） U U被校圖被校（V）用被校電壓表進(jìn)行測(cè)量時(shí)，測(cè)得讀數(shù)為U，校正曲線上對(duì)應(yīng)的校正值為U，則測(cè)量例如，測(cè)得某電壓的示值為2.35 V，查校準(zhǔn)曲線得到該示值的校正值為-0.18V，值為U+U。測(cè)出的電壓即為2.35-0.18=2.17V。（3）定標(biāo)曲線有的儀器讀數(shù)不是我們需要的測(cè)量數(shù)據(jù)，但與需要的測(cè)量數(shù)據(jù)之間有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系用圖線的形式表現(xiàn)出來

14、就是定標(biāo)曲線。利用定標(biāo)曲線測(cè)量的具體方法是先用標(biāo)準(zhǔn)儀器測(cè)出一系列儀器讀數(shù)對(duì)應(yīng)的定標(biāo)數(shù)據(jù)，繪出定標(biāo)曲線（繪制定標(biāo)曲線的方法與平滑曲線相同，橫坐標(biāo)是儀器讀數(shù)，縱坐標(biāo)是定標(biāo)值）。測(cè)量時(shí)，用內(nèi)插法由定標(biāo)曲線得到測(cè)量值。（當(dāng)定標(biāo)數(shù)據(jù)覆蓋了全部量程范圍時(shí)，可以不繪定標(biāo)曲線，直接查表就可以了）。例如用熱電偶測(cè)量溫度時(shí)，測(cè)出的是溫差電動(dòng)勢(shì)。要想根據(jù)溫差電動(dòng)勢(shì)求出對(duì)應(yīng)的溫度，必須先用標(biāo)準(zhǔn)溫度計(jì)為熱電偶定標(biāo)，確定熱電偶的溫度與電動(dòng)勢(shì)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖線定標(biāo)曲線。常溫下，測(cè)得某銅康銅熱電偶的溫差電動(dòng)勢(shì)E與溫度t的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表1-4-5所示。繪出的定標(biāo)曲線如圖1-4-4所示。因是在常溫下，t E關(guān)系是近似線性的，所以定

15、標(biāo)曲線為擬合直線。當(dāng)溫度范圍很寬時(shí)，t E關(guān)系是非線性的，必須繪成平滑曲線。表1-4-5 某銅康銅熱電偶的溫差電動(dòng)勢(shì)E與溫度t的對(duì)應(yīng)關(guān)系 E（mV）1.2001.4001.6001.8002.0002.200t（）53.657.261.265.369.773.6圖1-4-3 某電壓表的校正曲線t（） t E圖E（mV）使用該熱電偶測(cè)溫度時(shí)，可在定標(biāo)曲線的范圍內(nèi)，用內(nèi)插法由溫差電動(dòng)勢(shì)的值讀出對(duì)應(yīng)的溫度的值。 圖1-4-4 某熱電偶的定標(biāo)曲線4根據(jù)圖線求經(jīng)驗(yàn)方程的常數(shù)由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求得的物理量間的函數(shù)關(guān)系式稱為經(jīng)驗(yàn)方程或經(jīng)驗(yàn)公式。要建立經(jīng)驗(yàn)方程的函數(shù)形式必須確定其中的常數(shù)。（1）求直線的斜率與截距從實(shí)

16、驗(yàn)得出的一系列數(shù)據(jù)為線性關(guān)系或近似為線性關(guān)系時(shí)，可用一直線作為其圖線。由這些數(shù)據(jù)得到直的圖線的過程叫做直線擬合。直線擬合時(shí)，數(shù)據(jù)應(yīng)均勻地分布在直線兩邊。設(shè)直線方程為y=a+bx （1-4-1）用不同于實(shí)驗(yàn)如果在直角坐標(biāo)系所作的直線上取兩個(gè)非實(shí)驗(yàn)點(diǎn)P1(x1,y2)和P2(x2,y2)，點(diǎn)的符號(hào)標(biāo)明。為了減小誤差，P1和P2點(diǎn)不要相距太近（一般在直線的兩端附近選?。?，代入式（1-4-1），可得斜率（注意：斜率是有單位的）yy1 （1-4-2） b=2x2x1如果x=0不在圖線橫坐標(biāo)范圍內(nèi)，一般不要把直線外推至x=0其截距a為x=0時(shí)的y值；處求截距，因?yàn)闀?huì)帶來附加誤差。用二點(diǎn)法可以方便地求出截距

17、a=x2y1x1y2 （1-4-3） x2x1，并利用式（1-4-2）也可方便 在直線上取第三個(gè)非實(shí)驗(yàn)點(diǎn)P3(x3,y3)，代入式（1-4-1）地求出截距，而且比二點(diǎn)法準(zhǔn)確，這種方法叫三點(diǎn)法。具體公式為a=y3y2y1x3x2x1 （1-4-4）4曲線改直從實(shí)驗(yàn)得出的數(shù)據(jù)常近似滿足一定的非線性函數(shù)關(guān)系，給實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)找到合適的非線性函數(shù)圖線的過程叫做曲線擬合。很多非線性的函數(shù)形式可通過適當(dāng)變換成為線性關(guān)系，我們把這種變換稱為曲線改直。曲線方程改直后，就可以通過求出直線的斜率和截距確定曲線方程的常數(shù)。（1）冪函數(shù)y=axb，a、b為常數(shù)。則lgy=blgx+lga，lgy為lgx的線性函數(shù)，斜率為b

18、，截距為lga。（2）指數(shù)函數(shù)y=aebx，a、b為常數(shù)。則lny=bx+lna，lny為x的線性函數(shù)，斜率為b，截距為lna。（3）指數(shù)函數(shù)y=abx，a、b為常數(shù)。則lgy=(lgb)x+lga，lgy為x的線性函數(shù)，斜率為lgb，截距為lga。（4）反比函數(shù)I=C，C為常數(shù)。 則I=C1，I為1/的線性函數(shù)，斜率為C。（5）拋物線函數(shù)y2=2Px，P為常數(shù)。 則y=±2Px1/2，y為x1/2的線性函數(shù)，斜率為±2P。x，a、b為常數(shù)。 a+bx1111則=a+b，為的線性函數(shù)，斜率為a，截距為b。 yxyx（6）y=（7）S=v0t+則12at，v0、a是常數(shù)。 2

19、1aSS=v0+at，為t的線性函數(shù)，斜率為，截距為v0。 2t2t5作圖舉例例5 測(cè)得銅的電阻（Rt）與溫度（t）對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)，如表1-4-6所示。試用作圖法作出Rt曲線（直線），并求出此直線的截距a和斜率b，寫出電阻隨溫度變化的關(guān)系式。表1-4-6 電阻（R）溫度（t）關(guān)系測(cè)量次數(shù)k溫度t（oC）電阻Rt（） 29.1029.5630.1030.57解 選用直角坐標(biāo)紙，橫坐標(biāo)表示溫度t（自變量），每小格代表1.0oC；縱坐標(biāo)表示電阻Rt（因變量），每小格代表0.10。根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)描點(diǎn)，利用直尺作出Rt的關(guān)系圖，如圖1-4-5所示。和在圖中任選兩點(diǎn)P1(19.0,28.45)P2(48.0

20、,31.38)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入式（1-4-2）中就可得到斜率31.3828.45=0.101(/!C) 48.019.0由于圖中無x=0點(diǎn)，將第三點(diǎn)b=P3(43.0,30.88)代入式（1-4-4）得到截距a=30.880.101×43.0=26.54()由此得到電阻與溫度的關(guān)系為 圖1-4-5 Rt t關(guān)系圖 Rt=26.54+0.101t()作圖法有很多優(yōu)點(diǎn)，但也存在不足之處；由于受坐標(biāo)紙圖幅的限制，有時(shí)不能完全反映測(cè)量值的有效數(shù)字；另外，同一數(shù)據(jù)，不同的人同或同一人兩次描繪，結(jié)果也不盡相同。因此作圖法是一種粗略的方法。三、逐差法1逐差法的含義實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常會(huì)碰到自變量等間距變

21、化的測(cè)量，在這種情況下，可以用逐差法處理數(shù)據(jù)。所謂逐差法，就是把實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)中的因變量進(jìn)行逐項(xiàng)相減或依順序分為兩組實(shí)行對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減之差作為因變量的（等精度）多次測(cè)量值，然后求出最佳值算術(shù)平均值的處理數(shù)據(jù)的方法。例6 用伏安法測(cè)電阻得到一組數(shù)據(jù)，如表1-4-7所示，試用逐差法求出電流I的最佳值，并計(jì)算出電阻R。表1-4-7 伏安法測(cè)電阻數(shù)據(jù)表測(cè)量次數(shù)k電壓V（V）電流I（mA） 4.003.952.086.006.031.998.0010.0012.0018.008.021.949.9611.9718.062.012.01 Ik=Ik+1-Ik（mA） 9.9310.0310.0110.04Ik=

22、 Ik+5-Ik（mA） 10.0010.0010.0010.00Vk=Vk+5-Vk（mV） 解（1）如果按逐項(xiàng)相減，就如表1-4-7中Ik+1-Ik欄中列出的結(jié)果，它使原在不同電壓下測(cè)得的電流值變?yōu)樵谙嗤妷海?.00V）下（等精度）多次測(cè)量的電流值。這樣，就可以算出電流的最佳值，即算術(shù)平均值。但值得注意的是，由于自變量是等間距變化的，在這種情況下計(jì)算算術(shù)平均值會(huì)使電流的中間測(cè)量值相互抵消，只有首尾兩次測(cè)量值起作用，失去了多次測(cè)量的意義。因此，逐項(xiàng)逐差的方法不宜用來求平均值，一般可用它來驗(yàn)證函數(shù)表達(dá)式，比如上述結(jié)果可以說明I與V之間存在線性關(guān)系。（2）如果按順序分為兩組（15為一組，610

23、為一組），實(shí)行對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減，其結(jié)果通它也是使原在不同電壓下測(cè)得的電流值變?yōu)樵谙嗤妷合逻^表1-4-7中的Ik+5Ik欄列出。多次測(cè)量的電流值，不同的是相同的電壓不再是2.00V，而是10.00V。在這種情況下，盡管自變量仍是等間距變化，但在計(jì)算電流的平均值時(shí)不會(huì)使中間測(cè)量值互相抵消，從而起到多次測(cè)量的效果。可以利用這種分組法計(jì)算因變量（I）的平均值I=10.04+10.01+10.03+9.93+9.9649.97=9.994（mA） 55注意上式中電流測(cè)量值有效數(shù)字到0.01mA位，而計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)字到0.001mA位，說明多次測(cè)量并嚴(yán)格按有效數(shù)字的規(guī)則運(yùn)算時(shí)起到了平均的效果，可以提高測(cè)量精

24、度，粗略解釋為減小了統(tǒng)計(jì)不確定度。同理，計(jì)算自變量（V）的平均值V=10.00+10.00+10.00+10.00+10.0050.00=10.00（V） 55根據(jù)歐姆定律得R=VV10.003=1.001×10() 3II9.994×102有關(guān)逐差法的幾點(diǎn)說明（1）逐差法的應(yīng)用：驗(yàn)證函數(shù)關(guān)系式；能發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)的某些變化規(guī)律；計(jì)算直線關(guān)系的斜率比較方便。（2）逐差法的優(yōu)、缺點(diǎn)：它可以充分地利用測(cè)量數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)有取平均的效果，但不確定度比最小二乘法（見下節(jié)）大，正規(guī)分析處理數(shù)據(jù)數(shù)時(shí)一般不用。（3）使用逐差法的條件：驗(yàn)證函數(shù)關(guān)系式時(shí)，自變量是嚴(yán)格等間距變化的。（4）

25、逐差法計(jì)算不確定度時(shí)，把兩個(gè)數(shù)據(jù)的差作為直接測(cè)量量來計(jì)算不確定度，在數(shù)據(jù)較少時(shí)（7個(gè)數(shù)據(jù)逐差后有效數(shù)據(jù)僅為3個(gè)）儀器誤差一般要按常規(guī)值的1.4倍計(jì)算。（5）如果測(cè)量數(shù)據(jù)不是偶數(shù)組，計(jì)算時(shí)就需要去掉頭、尾或中間的一組。四、最小二乘法1回歸分析法在數(shù)據(jù)處理中，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)要找出兩個(gè)（或多個(gè)）物理量之間的定量（函數(shù)）關(guān)系可以采用作圖法和近似計(jì)算法。作圖法和逐差法都比較粗略，最準(zhǔn)確的近似計(jì)算方法是回歸分析法。所謂回歸分析法就是用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法去處理數(shù)據(jù)，并確定其函數(shù)關(guān)系的方法。在用回歸分析法處理數(shù)據(jù)、確定函數(shù)關(guān)系時(shí)，一般有三個(gè)步驟：首先根據(jù)理論推斷或者實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)變化的趨勢(shì)推測(cè)出函數(shù)的具體形式，比如推斷物

26、理量x和y之間的關(guān)系是線性關(guān)系，則函數(shù)形式可寫成y=a+bx如果是指數(shù)關(guān)系，則可寫成y=aebx+c等，通常把這些方程稱為回歸方程；第二步是用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來確定方程中的待定常數(shù)a、b、c等的最佳值；最后還要根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)所推斷的函數(shù)關(guān)系是否合理。本書不討論第一步，只重點(diǎn)研究第二步，簡(jiǎn)單介紹第三步。下面我們只研究一元線性回歸，即自變量只有一個(gè)的線性函數(shù)關(guān)系。實(shí)際上就是確定線性關(guān)系中的待定系數(shù)a和b。一旦a和b確定之后，直線就確定了，故這個(gè)過程又稱為直線擬合（如果不是線性回歸，而是其他的函數(shù)關(guān)系，就叫曲線擬合），得到的關(guān)系式稱為經(jīng)驗(yàn)公式。2最小二乘法（1）最小二乘原理高斯從解決一系列等精度測(cè)量最佳

27、值問題中建立了最小二乘原理，即最佳值乃是能使各次測(cè)量誤差的平方和為最小的那個(gè)值。用數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫成(xxii=1k最佳)2=min （1-4-5）最小二乘中的“二”就是指的平方。（2）一元線性回歸（直線擬合）假定已知函數(shù)的形式為y=a+bx （1-4-6）由實(shí)驗(yàn)測(cè)得一組數(shù)據(jù)為x=x1,x2,",xky=y1,y2,",yk現(xiàn)在的問題是要通過這組數(shù)據(jù)求出待定常數(shù)a和b的最佳值，即擬合成一條直線。在測(cè)量中x和y都存在誤差，為了簡(jiǎn)化問題的研究，設(shè)只有y存在誤差，并用i表示，而x的測(cè)量無誤差。把i和x、y的各測(cè)量值代入式（1-4-6）中，有1=y1(a+bx1)2=y2(a+bx2

28、)#i=yi(a+bxi)#k=yk(a+bxk)（注：把沒有誤差的xi代入式（1-4-6）中算出的yi也是無誤差的。）按最小二乘原理，a、b的最佳值應(yīng)滿足i=1ki2=(yabx)iii=1k2=min （1-4-7）為了求2的最小值，把式（1-4-6）對(duì)a和b求偏微分（xi和yi這時(shí)是常量），并令一階偏微分為零，則有kk2i=2(yiabxi)=0 ai=1i=1kk2i=2(yiabxi)xi=0 bi=1i=1k整理后可得 1如果用表示x的平均值，=ki=1i=1 （1-4-8） kkkxiyiaxibxi2=0i=1i=1i=1yikabkxi=01kxi；表示y的平均值，=yi；x

29、2表示x2的ki=1i=1k1k21k平均值，即x=xi；xy表示xy的平均值，即xy=xiyi，代入式（1-4-8）中得 ki=1ki=12ab=0 2xyabx=0解以上關(guān)于a、b的二元一次方程得a=xxyyx2xxyxyx2222 （1-4-9） b= （1-4-10）式中，a和b就是用最小二乘法求出的擬合直線的截距和斜率的最佳值。 如果0，也可以用下式計(jì)算bb=a （1-4-11） 注意：（1）用最小二乘法計(jì)算截距和斜率時(shí)，不宜用有效數(shù)字的運(yùn)算法則計(jì)算中間過程，否則會(huì)引入較大的計(jì)算誤差，提倡用計(jì)算器計(jì)算，把顯示值都記下來為好。如果x與y的相關(guān)性好,粗略考慮a的有效位數(shù)的最后一位與y的有

30、效數(shù)字最后一位對(duì)齊，b的有效數(shù)字與yky1和xkx1中有效位數(shù)較少的相同。確定有效位數(shù)的可靠方法是計(jì)算a和b的不確定度。（2）用最小二乘法求出擬合直線時(shí)，并不要求自變量等間距變化，測(cè)量時(shí)比逐差法更方便。（3）直線擬合的不確定度a和b是間接測(cè)量物理量，分別令測(cè)量數(shù)據(jù)的A類和B類不確定度分量中的一個(gè)分量為零，求出另一個(gè)分量比較簡(jiǎn)單，最后將兩個(gè)分量按直接測(cè)量的合成方法求出合成不確定度，我們把這種方法稱為等效法。可以證明，在假設(shè)只有y存在隨機(jī)誤差的情況下（實(shí)際上x的誤差可折算到y(tǒng)內(nèi)，而假設(shè)x的測(cè)量無誤差）， yi的標(biāo)準(zhǔn)偏差為Sy=i=1k2in2=(yi=1kiabxi)2n2 （1-4-12）a和b

31、的“等效”A類不確定分別是Sa=x2n(x)22 Sy （1-4-13）Sb=Syn(x22)（1-4-14）a和b的等效B類不確定度主要與儀器誤差x、y有關(guān)，x、y在測(cè)量范圍內(nèi)保持不變（如果測(cè)量時(shí)必須換檔，儀器誤差會(huì)改變）。注意到a和b是獨(dú)立求出的系數(shù)，相互之間不產(chǎn)生附加誤差。由于a=b，用等效法得到a的等效B類不確定度分量是1(b2(b)21ua=x=b22x+2y （1-4-15） x+y=xx322上式和式（1-4-13）合成為a的合成不確定度a=Sa+ua 。22同理，斜率b=a，得到 221a2a21ub=2b22x+2y （1-4-16） +xyx3y2上式和式（1-4-14）合

32、成，就得到b的合成不確定度b=Sb2+ub 。（4）相關(guān)系數(shù)求出a和b之后直線關(guān)系就確定了，但x與y是否為線性關(guān)系還需驗(yàn)證。驗(yàn)證是通過相關(guān)系數(shù)來進(jìn)行的，其表達(dá)式是=(x)(y)iik(x(yik2k（1-4-17）2ii=1i=1只要把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入式（1-4-17）就可以得到值。當(dāng)1時(shí)（一般達(dá)到0.999即可），表示y和x的線性關(guān)系好，即線性函數(shù)形式正確；0時(shí)，說明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分散，即線性關(guān)系不存在。最小二乘法的統(tǒng)計(jì)不確定度與相關(guān)系數(shù)密切相關(guān)，當(dāng)1時(shí)統(tǒng)計(jì)不確定度變小，當(dāng)當(dāng)0時(shí)統(tǒng)計(jì)不確定度變大。最小二乘法是一種較為準(zhǔn)確的處理數(shù)據(jù)的方法，在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中運(yùn)用很廣泛。這種方法計(jì)算繁瑣，適合于用計(jì)算機(jī)分析、處理數(shù)據(jù)。例7 還是以銅電阻與溫度的關(guān)系為例