第18講相似三角形

1、.第18講相似三角形命題點(diǎn)相似三角形的性質(zhì)與斷定12019·河北T7·3分假設(shè)ABC的每條邊長(zhǎng)增加各自的10%得ABC，那么B的度數(shù)與其對(duì)應(yīng)角B的度數(shù)相比DA增加了10% B減少了10%C增加了110% D沒有改變22019·河北T9·3分如圖，在ABC 中，C90°，BC6，D，E 分別在 AB，AC上，將ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處假設(shè)A為CE的中點(diǎn)，那么折痕DE的長(zhǎng)為BA.B2C3D432019·河北T13·3分在研究相似問題時(shí)，甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下：甲：將邊長(zhǎng)為3，4，5的三角形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新三角

2、形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1，那么新三角形與原三角形相似乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1，那么新矩形與原矩形不相似圖1 圖2對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，以下說法正確的選項(xiàng)是AA兩人都對(duì) B兩人都不對(duì) C甲對(duì)，乙不對(duì) D甲不對(duì)，乙對(duì)42019·河北T15·2分如圖，在ABC中，A78°，AB4，AC6.將ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是C重難點(diǎn)相似三角形的性質(zhì)與斷定在ABC中，ABAC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作MDNB.1如圖1，當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交邊AC于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫出圖中所有與

3、ADE相似的三角形；2如圖2，將MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合，不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論；3在圖2中，假設(shè)ABAC10，BC12，當(dāng)SDEFSABC時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】1由題意得ADBD，DEAC，可考慮從兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來探究；2根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角定義，結(jié)合等式的性質(zhì)，得BFDCDE，又由BC，可得BDFCED；由相似三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而有，從而CEDDEF；3首先利用DEF的面積等于ABC的面積的，求出點(diǎn)D到AB的間隔 ，進(jìn)而利用SDEF的值求出EF即可【自主解答】解：1圖1

4、中與ADE相似的有ABD，ACD，DCE.2BDFCEDDEF.證明：BBDFBFD180°，EDFBDFCDE180°，又EDFB，BFDCDE.由ABAC，得BC，BDFCED.BDCD，.又CEDF，BDFCEDDEF.3連接AD，過點(diǎn)D作DGEF，DHBF，垂足分別為G，H.ABAC，D是BC的中點(diǎn)，ADBC，BDBC6.在RtABD中，AD2AB2BD2，AD8.SABCBC·AD48.SDEFSABC12.又AD·BDAB·DH，DH4.8.BDFDEF，DFBEFD.DGEF，DHBF，DHDG4.8.SDEFEF·DG

5、12，EF5.【變式訓(xùn)練1】2019·杭州如圖，在ABC中，ABAC，AD為BC邊上的中線，DEAB于點(diǎn)E.1求證：BDECAD；2假設(shè)AB13，BC10，求線段DE的長(zhǎng)解：1證明：ABAC，BDCD，ADBC，BC.DEAB，DEBADC.BDECAD.2ABAC，BDCD，ADBC.在RtADB中，AD12，AD·BDAB·DE，DE.根本圖形1斜邊高圖形有以下根本結(jié)論：BADC，BDAC；ADBCDACAB.2一線三等角有以下根本結(jié)論：BC，BDEDFC；BDECFD.特殊地：假設(shè)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，那么有BDECFDDFE.“一線三等角問題一般以等腰三角形、等

6、邊三角形、四邊形、矩形、正方形為背景：圖中一樣標(biāo)識(shí)符號(hào)的角相等，熟悉這些模型對(duì)解決三角形全等和相似的問題有很大幫助【變式訓(xùn)練2】【分類討論思想】在正方形ABCD中，AB4，點(diǎn)P，Q分別在直線CB與射線DC上點(diǎn)P不與點(diǎn)C，點(diǎn)B重合，且保持APQ90°，CQ1，求線段BP的長(zhǎng)解：分三種情況：設(shè)BPx.當(dāng)P在線段BC上時(shí)，如圖1，四邊形ABCD是正方形，BC90°.BAPAPB90°.APQ90°，APBCPQ90°.BAPCPQ，ABPPCQ.，x1x22.BP2；當(dāng)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，同理，得BP22；當(dāng)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，同

7、理，得BP22.綜上所述：線段BP的長(zhǎng)為2或22或22.12019·白銀a0，b0，以下變形錯(cuò)誤的選項(xiàng)是BA. B2a3b C. D3a2b22019·重慶要制作兩個(gè)形狀一樣的三角形框架，其中一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5 cm，6 cm和9 cm，另一個(gè)三角形的最短邊長(zhǎng)為2.5 cm，那么它的最長(zhǎng)邊為CA3 cm B4 cm C4.5 cm D5 cm32019·河北模擬如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與ABC是位似圖形的是CA B C D42019·哈爾濱如圖，在ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，點(diǎn)G在線段AD上，GEBD，且交AB于點(diǎn)E，GFAC，且交CD

8、于點(diǎn)F，那么以下結(jié)論一定正確的選項(xiàng)是DA. B. C. D.52019·邯鄲一模如圖，在ABC中，BCDA，DEBC，與ABC相似的三角形ABC自身除外的個(gè)數(shù)是BA1 B2 C3 D462019·石家莊裕華區(qū)模擬李老師在編寫下面這個(gè)題目的答案時(shí)，不小心打亂理解答過程的順序，你能幫他調(diào)整過來嗎？證明步驟正確的順序是B：如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，且DEBC，DFAC.求證：ADEDBF.證明：又DFAC，DEBC，ABDF.ADEB.ADEDBF.A BC D72019·隨州如圖，平行于BC的直線DE把ABC分成面積相等的兩部分，那么的

9、值為CA1 B. C.1 D.182019·岳陽(yáng)?九章算術(shù)?是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書中有以下問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？其意思為：“今有直角三角形，勾短直角邊長(zhǎng)為5步，股長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為12步，問該直角三角形能包容的正方形邊長(zhǎng)最大是多少步？該問題的答案是步92019·撫順如圖，AOB三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A8，0，O0，0，B8，6，點(diǎn)M為OB的中點(diǎn)以點(diǎn)O為位似中心，把AOB縮小為原來的，得到AOB，點(diǎn)M為OB的中點(diǎn)，那么MM的長(zhǎng)為或102019·江西如圖，在ABC中，AB8，BC4，CA6，CDAB，BD是ABC的平分線，BD交AC于點(diǎn)E，求AE的長(zhǎng)解

10、：BD為ABC的平分線，ABDCBD.ABCD，DABD.DCBD.BCCD.BC4，CD4.ABCD，ABECDE.AE2CE.ACAECE6，AE4.112019·包頭如圖，在四邊形ABCD中，BD平分ABC，BADBDC90°，E為BC的中點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)F.假設(shè)BC4，CBD30°，那么DF的長(zhǎng)為DA. B. C. D.提示：連接DE，可證DEFBAF.122019·達(dá)州如圖，E，F(xiàn)是ABCD對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AECFAC.連接DE，DF并延長(zhǎng)，分別交AB，BC于點(diǎn)G，H，連接GH，那么的值為CA. B. C. D1提示：可證AGABCHB

11、C13.13【分類討論思想】2019·常州如圖，在ABC紙板中，AC4，BC2，AB5，P是AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P沿直線剪下一個(gè)與ABC相似的小三角形紙板，假如有4種不同的剪法，那么AP長(zhǎng)的取值范圍是3AP4142019·福建如圖，在RtABC中，C90°，AB10，AC8.線段AD由線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，EFG由ABC沿CB方向平移得到，且直線EF過點(diǎn)D.1求BDF的大?。?求CG的長(zhǎng)解：1線段AD是由線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，DAB90°，ADAB10.ABD45°.EFG是ABC沿CB方

12、向平移得到，ABEF.BDFABD45°.2由平移的性質(zhì)，得AECG，ABEF，DEADFCABC，ADEDAB180°.DAB90°，ADE90°.ACB90°，ADEACB.ADEACB.AC8，ABAD10，AE12.5，由平移的性質(zhì)，得CGAE12.5.152019·河北模擬修建某高速公路，需要通過一座山，指揮部決定從E，D兩點(diǎn)開挖一個(gè)涵洞工程師從地面選取三個(gè)點(diǎn)A，B，C，且A，B，D三點(diǎn)在一條直線上，A，C，E也在同一條直線上，假設(shè)AB27米，AD500米，AC15米，AE900米，且測(cè)得BC22.5米1求DE的長(zhǎng)；2現(xiàn)有甲

13、、乙兩個(gè)工程隊(duì)都具備打通才能，且質(zhì)量相當(dāng)，指揮部派出相關(guān)人員分別到這兩個(gè)工程隊(duì)理解情況，獲得如下信息：信息一：甲工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞比乙工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞多用25天；信息二：乙工程隊(duì)每天開挖的米數(shù)是甲工程隊(duì)每天開挖的米數(shù)的1.5倍；信息三：甲工程隊(duì)每天需要收費(fèi)3 500元，乙工程隊(duì)每天需要收費(fèi)4 000元假設(shè)僅從費(fèi)用角度考慮問題，試判斷選用甲、乙哪個(gè)工程隊(duì)比較合算解：1連接DE.AB27米，AD500米，AC15米，AE900米，.又AA，ABCAED.，即DE750米2設(shè)甲工程隊(duì)每天開挖涵洞x米，那么乙工程隊(duì)每天開挖涵洞1.5x米，根據(jù)題意，得25，解得x10.經(jīng)檢驗(yàn)，x10是原方程的解那么1.5x15.甲工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞的時(shí)間為75天，甲工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞所需的費(fèi)用為75×3 500262 500元；乙工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞的時(shí)間為50天，乙工程隊(duì)打通這個(gè)涵洞所需的費(fèi)用為50×4 000200 000.200 000262 500