公路匝道坐標(biāo)的通用公式

1、摘要：本文利用復(fù)化辛普森公式導(dǎo)證的計(jì)算公路匝道坐標(biāo)的通用公式。利用FX-4500P計(jì)算器編程計(jì)算放樣點(diǎn)位坐標(biāo)。關(guān)鍵詞：復(fù)化辛普森公式公路匝道編程坐標(biāo)計(jì)算一、引言匝道是組成高等與公路立交的根本單元，其形式千變?nèi)f化，就線形而言，也是由直線段、盤旋曲線段、圓曲線段組成。但是，組成立交的匝道涉與線形的曲率變化特點(diǎn)，利用復(fù)化辛普森公式導(dǎo)證了 計(jì)算公路匝道點(diǎn)位坐標(biāo)的通用公式。并利用卡西歐FX-4500P計(jì)算器編程計(jì)算公路匝道點(diǎn)位坐標(biāo)。二、公路匝道點(diǎn)位坐標(biāo)計(jì)算1. 公路匝道中線形式公路匝道中線是由直線一盤旋曲線一圓曲線R1盤旋曲線一圓曲線R2盤旋曲線一直線的順序組成的，其中R1 F2o2. 盤旋曲線上點(diǎn)位坐

2、標(biāo)方位角的計(jì)算如圖1,設(shè)盤旋曲線起點(diǎn) A的曲率為5,其里程為DKA;盤旋曲線終點(diǎn) B的曲率為，其 里程為DKB, AxC y C為以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 A點(diǎn)切線為x C軸的局部坐標(biāo)系；AXY為線路坐 標(biāo)系。由此盤旋曲線上各點(diǎn)曲率半徑為R和該點(diǎn)離曲線起點(diǎn)的距離 ？ i成反比，故此任意點(diǎn)的曲率為廣=R o為常數(shù)1由式1可知，盤旋曲線任意點(diǎn)的曲率按線性變化，由此盤旋曲線上里程為DK點(diǎn)的曲率為j ' '-'j - r : S S : 'i：( 2)當(dāng)曲線右偏時(shí)，取正；當(dāng)曲線左偏時(shí) V.1 取負(fù)。在圖1中有將式2代入式3得flr=屮 p嚴(yán) 2駐-DK JxlSO Ijt假設(shè)

3、盤旋曲線起點(diǎn) A在線路坐標(biāo)系下切線坐標(biāo)方位角a a,那么里程為Dk點(diǎn)切線坐標(biāo)方位角為將式4代入式5得蟲(chóng)空$ +金斗-x!80 fn(6)對(duì)于式，當(dāng)：亠一，丄一 時(shí)，一，那么' a =3a,式6變成計(jì)算直線段 上任意點(diǎn)切線坐標(biāo)方位角計(jì)算公式；當(dāng)：，.1，:時(shí)，- , ，那么式6代表圓曲線上任意點(diǎn)切線坐標(biāo)方位角計(jì)算公式?？梢?jiàn)，假設(shè)曲線段起點(diǎn)和終點(diǎn)的曲率與起點(diǎn)的切線坐標(biāo)方位角，式6便能計(jì)算任意線型點(diǎn)位切線坐標(biāo)方位角。3、盤旋曲線點(diǎn)位坐標(biāo)計(jì)算由圖1可得盤旋曲線上點(diǎn)位在坐標(biāo)系下坐標(biāo)計(jì)算公式：&& '=說(shuō)妙#j話廠=甬#1 7刃汰"述刃=陽(yáng)I 8設(shè)盤旋曲線起點(diǎn) A

4、在線路坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為將式6替代式8中的，便得盤旋曲線上任意點(diǎn)在線路坐標(biāo)系下的坐標(biāo)：7-1；win tx動(dòng)(9)對(duì)于式9的解算，由于后半局部是定積分，我們引入復(fù)化辛普森公式對(duì)其進(jìn)行解算。首先將積分區(qū)間DKa, DK劃分為n等份，步長(zhǎng)為H=( DK-DKA)/n，分點(diǎn)里程DXK=DK+KHK=0, 1, 2,xxx, n,記子區(qū)間DXk, DXK+i的里程為 DXK+i/2，貝U DXK+i/2= (DX+DXK+i) /2 ,K=0, 1, 2,xxx, n-1。由此式(9)用復(fù)化辛普森公式表示為n-1 n-1X=Xa+H/6 '(cosaA+4刀 cosa K+1/2 +2E cos

5、a k +cosa i)n-1 n-1Y=Ya+H/6 ' (sin a a+4 刀 sina K+1/2 +2刀sina k +sina i)(10)K=0 k=1式中：aA為盤旋曲線起點(diǎn) A的切線方位角；aK+2為里程DXK+i/2點(diǎn)切線方位角；aK為里程DXK點(diǎn)切線方位角；ai為里程DK點(diǎn)切方位角。對(duì)于式(10)，雖然是由盤旋曲線導(dǎo)出的，但該式也適用直線段和圓曲線段。日呼就7右36=4360.冋碼他XS/ NJT-721139M51 1 j2XMBLTmT=T211260IM3?<?T7T-72OCL176I：4LKJT=TI1JLI8三、復(fù)化辛普森公式的使用說(shuō)明為滿足點(diǎn)位

6、坐標(biāo)計(jì)算精度，經(jīng)驗(yàn)算取n=2。無(wú)論是直線段、圓曲線段、盤旋曲線段，只要將各曲線段中的起點(diǎn)、終點(diǎn)的曲率和里程以與解求點(diǎn)里程Dki和各分點(diǎn)里程代入式(2)、(6)、(10)便可獲得待求點(diǎn) Dki的坐標(biāo)。在計(jì)算時(shí)，要注意曲線的偏向。四、公路匝道坐標(biāo)計(jì)算源程序L1 Lbl0 : T “XT' U “Y1 C “AT' D “ PA' E “PB' A “CH0 B “CHN G “X0' 1“ Y0':M Lbl1 :N=0: P=0: 0=0: Q=0 S=0: J : J “CHI'L2 Lbl2 : N=N+1: H=2( J-A) /M:

7、 F=NH/2+A R=C+180/p'(D+( E-D) 12 (B-A)'(F-A)(F-A):Int ( N/2) =N/2=>O=O+cosR P=P+sinR： 1 >Q=Q+ cosR S=S+ sinRDL3 N=M=>Goto3: 1 >Goto2DLbl3 : X=G+H/6'(cosC+4Q+2O-cosR Y=l+H/6/(sinC+4S+2P-sinR ): X： “X="u Y: “ 丫仝。Pol ( X-T, Y-U: VuW<0=>W=W+3601 >WU DGotolX1-測(cè)站點(diǎn)X坐標(biāo)Y

8、1-測(cè)站點(diǎn)Y坐標(biāo)AT-曲線起點(diǎn)方位角PA-曲線起點(diǎn)曲率 當(dāng)曲線右偏時(shí)，P A取正；當(dāng)曲線左偏時(shí) p A取負(fù)。)PB-曲線終點(diǎn)曲率 當(dāng)曲線右偏時(shí)，P B取正；當(dāng)曲線左偏時(shí) p B取負(fù)。)CH0-曲線起點(diǎn)里程CHN-曲線終點(diǎn)里程X0-曲線起點(diǎn)X坐標(biāo)Y0-曲線起點(diǎn)Y坐標(biāo)M-求和累積次數(shù)n的2倍CH-曲線待測(cè)點(diǎn)里程X-曲線待測(cè)點(diǎn)X坐標(biāo)Y-曲線待測(cè)點(diǎn)Y坐標(biāo)V-測(cè)站至待測(cè)點(diǎn)間的距離W-測(cè)站至待測(cè)點(diǎn)間的方位角其中 R=C+180/p' ( D+(E-D) 12 (B-A) ' ( F-A)( F-A )為(2 )、( 6)式的合并 式，計(jì)算切線坐標(biāo)方位角；O=O+cosR P=P+sinR、

9、Q=Q+ cosR S=S+ sinR、X=G+H/6'(cosC+4Q+2O-cosR Y=I+H/6 ' (sinC+4S+2P-sinR )計(jì)算點(diǎn)位坐標(biāo)。由于累計(jì)時(shí) O=O+cosR P=P+sinR分別多累加了一個(gè) cosR、sinR ,所以在程序中(10)式最后一項(xiàng)前為負(fù)號(hào)。五、坐標(biāo)計(jì)算算例利用萬(wàn)家寨水利樞紐工程左岸上壩公路一段曲線驗(yàn)證復(fù)化辛普森公式坐標(biāo)計(jì)算程序的正確性。如圖 2: 0+488.80+552.74 為直線段，0+552.740+577.74 與 0+693.170+718.17 為 緩和曲線段，緩和曲線長(zhǎng) 為L(zhǎng)0=25M 0+577.740+693.1

10、7為圓曲線段，R=85M在計(jì)算器中找到該程序，先輸入直線段的起算數(shù)據(jù)，以里程0+488.8為起點(diǎn)，求得0+500.0點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別以里程 0+552.74、0+577.74為起點(diǎn)計(jì)算驗(yàn)證緩和曲線與圓曲 線上各點(diǎn)的坐標(biāo)。與分別運(yùn)用直線段、緩和曲線段、圓曲線段計(jì)算坐標(biāo)的計(jì)算公式所計(jì)算的結(jié)果完全相同。六、結(jié)論本文利用的式10是計(jì)算公路匝道點(diǎn)位坐標(biāo)的通用公式。當(dāng)曲線的設(shè)計(jì)半徑較小時(shí)，為保證點(diǎn)位計(jì)算精度，n 即程序中M的1/2倍的取值可適當(dāng)?shù)拇笮?。利用上例?yàn)算的計(jì)算結(jié)果可以說(shuō)明該程序?qū)τ诠返闹本€段、緩和曲線段、圓曲線段均實(shí)用。上例在計(jì)算圓曲線起點(diǎn) 0+577.74 參數(shù)時(shí)，可利用計(jì)算緩和曲線終點(diǎn) 0+577.74 坐標(biāo)后