幾何證明選講學(xué)案

1、幾何證明選講知識(shí)梳理C是直線AB1. 1幾個(gè)根本定理1假設(shè)點(diǎn)D在直線AB上，點(diǎn) 外任意一點(diǎn)，貝U S.竺=AD.SBC AB假設(shè)AX/BC,那么S ABC二Sxbc 反之，假設(shè)Sabc = S XBC ,并且A、X在直線BC同側(cè)， 那么 AX/BC .3平行截割定理兩直線分別與3條平行 線順次交于點(diǎn) A、B、C和X、Y、Z,那么AB XYBC _YZ4共邊定理假設(shè)直線PQ、AB交于M，那么 PM _ S擇ABQM S QAB共角定理假設(shè) ABC與.XYZ相等或互補(bǔ)，貝y sbc _ abJbcs 必yz _ xyUyz射影定理設(shè)CD是Rr ABC斜邊AB 上的高，那么有： cd? =adLBd

2、 ac? =adUab bc? =bd Ab .1. 2相似三角形1相似三角形的判定 判定定理a.兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.b 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角 形相似.c.三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似. 推論：平行于三角形一邊的直線和其他兩 邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似. 直角三角形相似的特殊判定斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角 三角形相似.2相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比，面積比等于相似比的平方.1. 3圓的切線1切線特征定理直線l是L o的切線 的充要條件，是它經(jīng)過(guò)o上一點(diǎn)d并且和理，勿做商業(yè)用途4球的切線長(zhǎng)定理從球外一點(diǎn)作球的 假設(shè)干條切線，其切

3、線長(zhǎng)相等；該點(diǎn)到求心的 連線和每條切線的夾角相等 資料個(gè)人收集整理， 勿做商業(yè)用途5球的切平面特征定理平面 p是球0 的切平面的充要條件，是它經(jīng)過(guò)球0上一點(diǎn) D并且和過(guò)點(diǎn) D的球半徑 0D垂直。資料個(gè) 人收集整理，勿做商業(yè)用途6 球的切線和切平面之間的關(guān)系 球的 切平面內(nèi)的每一條過(guò)切點(diǎn) A的直線，都是球 的切線；反過(guò)來(lái)，球的每一條過(guò)點(diǎn) A的切線， 都在與球相切于點(diǎn) A的切平面內(nèi)資料個(gè)人收 集整理，勿做商業(yè)用途1 . 4圓周角定理1弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧 所對(duì)的圓心角的一半. 弦切角的度數(shù)，等于 所夾狐的度數(shù)的一半圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所 對(duì)弧度數(shù)的一半.3圓周角定理的推論 同

4、弧或等弧上的圓周角相等；同圓或等 圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等. 半圓或直徑所對(duì)的圓周角是 90; 90的 圓周角所對(duì)的弦是直徑.4 四邊形內(nèi)接于圓的充要條件是其對(duì)角 互補(bǔ)5四邊形內(nèi)接于圓的充要條件是其外角 都等于其內(nèi)對(duì)角1 . 5圓幕定理1圓幕定理過(guò)定點(diǎn)的直線與定圓交于兩 點(diǎn)。那么此定點(diǎn)到兩點(diǎn)距離的乘積等于它到此 定圓的幕的絕對(duì)值2相交弦定理圓的兩弦 AB CD相交于P,那么有 PA_PB 二 pcLpd 3切割線定理自圓外一點(diǎn)P作圓的切線 PC,又作圓的割線與圓交于 A、B,那么有 paLJpb pc2.割線定理從圓外一點(diǎn)P引圓的兩條 割線，分別與圓交于 A、B和C、D.那么 PAPB

5、= pcLpd 過(guò)點(diǎn)D的半徑0D垂直。2切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)作圓的兩條 切線，其切線長(zhǎng)相等；該點(diǎn)到圓心的連線， 平分這兩條的夾角3球的切線特征定理直線 L是球0的 切線的充要條件，是它經(jīng)過(guò)球 0上點(diǎn)D并 且和過(guò)點(diǎn)D的球半徑0D垂直資料個(gè)人收集整、平行截割定理與相似三角形考向一 平行截割定理的應(yīng)用【例1】在梯形ABCD中，AD / BC, AD = 2, BC = 5,點(diǎn)E、F分別在AB、CDAE 3上，且EF/ AD, 假設(shè)eb= 4,貝U EF的長(zhǎng)為.資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途【訓(xùn)練 1】在厶 ABC 中，DE / BC, EF / CD，假設(shè) BC = 3, DE = 2, DF =

6、1,那么AB的長(zhǎng)為 .資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途考向二相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用【例2】，在 ABC中，AB = AC, BD丄AC,點(diǎn)D是垂足.求證：BC2= 2CD AC.【訓(xùn)練 2】如圖，在 ABC 中，DE/ BC, DF / AC, AE : AC= 3 : 5, DE= 6,貝y bf=資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途考向三 直角三角形射影定理的應(yīng)用【例3】圓的直徑 AB= 13, C為圓上一點(diǎn)，過(guò)C作CD丄AB于D(AD BD),假設(shè)CD = 6,貝U AD=資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途【訓(xùn)練3】在厶ABC中，/ ACB= 90 CD丄AB于D, AD : BD = 2 :

7、 3.那么厶ACD與厶CBD的相似比為.資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途二、圓周角定理與圓的切線考向一圓周角的計(jì)算與證明【例1】如圖，AB為。O的直徑，弦AC、BD交于點(diǎn)P,假設(shè)AB= 3, CD = 1,那么sin/ APB=資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途【訓(xùn)練1】如圖，點(diǎn)A, B, C是圓0上的點(diǎn)，且 AB= 4,/ ACB= 30那么圓0 的面積等于.資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途考向二弦切角定理及推論的應(yīng)用【例2】如圖，梯形ABCD內(nèi)接于。O, AD / BC,過(guò)B引。0的切線分別交DA、CA的延長(zhǎng)線于 E、F.BC= 8, CD= 5, AF= 6,貝U EF的長(zhǎng)為.資料個(gè)人收集整理，

8、勿做商業(yè)用途IfA【訓(xùn)練2】如圖，圓上的弧 AC = BD，過(guò)C點(diǎn)的圓的切 線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，證明： 資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途21/ACE=/BCD; 2BC = BEX CD.三、圓幕定理與圓內(nèi)接四邊形考向一相交弦定理的應(yīng)用【例1】如圖，半徑為2的。O中，/ AOB= 90 D為0B的中點(diǎn)，AD的延長(zhǎng)線交。O于點(diǎn)E,那么線段DE的長(zhǎng)為.資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途2aP，PDp，/ OAP= 30 貝U CP =.資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途【訓(xùn)練1】如圖，AB、CD是半徑為a的圓O的兩條弦，它們相交于 AB的中點(diǎn)考向二切割線定理的應(yīng)用【例2】如下圖，F(xiàn)A為。O的切線，A為

9、切點(diǎn)，PBC是過(guò)點(diǎn) O的割線，PA= 10，PB= 5, / BAC的平分線與BC和。O分別 交于點(diǎn) D和E，貝U AD AE=.資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途【訓(xùn)練2】如圖O與。O外切于P,兩圓公切線AC，分別切。O、OO 于A、C兩點(diǎn)，AB是。O的直徑，BE是。O的切線，E為切點(diǎn)，連AP、PC、BC.資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途求證：APBC= BE AC.考向三圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的應(yīng)用【例3】四邊形PQRS是圓內(nèi)接四邊形，/ PSR= 90過(guò)點(diǎn)Q作PR、PS的垂線，垂足分別為點(diǎn) H、K.資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途1求證：Q、H、K、P四點(diǎn)共圓； 求證：QT= TS【訓(xùn)練3】如下圖，A

10、B是。O的直徑，G為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，GCD是。O 的割線，過(guò)點(diǎn)G作AB的垂線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交AD的 延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)G作。O的切線，切點(diǎn)為 H.資料個(gè)人收集整理，勿做商 業(yè)用途求證：1C, D，F(xiàn)，E 四點(diǎn)共圓；2GH2 = CE GF.咼考題練習(xí)1. 2022廣東，15幾何證明選講選做題 PA是圓O的切線，切點(diǎn)為 A , PA=2 , AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點(diǎn)B, PB=1，那么圓O的半徑R=。資料個(gè)人收集整理，勿做商 業(yè)用途2. 2007廣東，15幾何證明選 講選做題如下圖，圓 O的直徑AB=6 , C為圓周上一點(diǎn)，BC=3。過(guò)C作圓的切線I，過(guò)A作I的垂線AD ,

11、 AD分別與直線I、圓交于點(diǎn)D、E,那么/ DAC=，線段 AE的長(zhǎng)為。資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途3. 2022年高考天津卷理科 14如圖，四邊形 ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng) AB和DCPR IpC1rc相交于點(diǎn)p。假設(shè)，貝y 的值為。資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途PA 2PD 3AD4. 2022年高考湖南卷理科 10如下圖，過(guò)|_ O外一點(diǎn)P作一條直線與L O交于A , R兩點(diǎn)，PA = 2,點(diǎn)P到L O的切線長(zhǎng)PT = 4，那么弦AR的長(zhǎng)為.資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途5. 2022年高考陜西卷理科 15幾何證明選做題Rt ARC的兩 條直角邊AC,RC的長(zhǎng)分別為3cm,4c

12、m,以AC為直徑的圓與 AR交于RD點(diǎn)D ,貝U =.資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途DA6. 2022年高考北京卷理科 12如圖，O的弦ED, CR的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) A。假設(shè)RD_ AE,AR= 4, RC = 2, AD = 3,貝U DE=; CE=。資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途7、 2022湖北卷如下圖，點(diǎn) D在O O的弦AR上移動(dòng)，AR = 4,連結(jié)OD，過(guò)點(diǎn)D作OD 的垂線交O O于點(diǎn)C，那么CD的最大值為 .資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途8、2022北京卷/ ACR = 90 CD丄AR于點(diǎn)D，以RD為直徑的圓與 RC交于點(diǎn)E，那么A . CE CR = AD DRR. CE CR

13、 = AD AR2C. AD AR = CD2D . CE ER = CD9、2022廣東卷圓O的半徑為1，A、R、C是圓周上的三點(diǎn)，滿足/ ARC = 30過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線與 OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) P，貝U PA =.資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途10、2022湖南卷如圖，過(guò)點(diǎn)P的直線與O O相交于A，R兩點(diǎn).假設(shè)PA = 1，AR= 2，PO =3，那么O O的半徑等于 .資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途11、2022陜西卷如圖，在圓O中，直徑AR與弦CD垂直，垂足為E, EF丄DR，垂足為F，假設(shè)AR = 6， AE= 1，貝U DF DR =.資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途12、 202

14、2天津卷如下圖， AR和AC是圓的兩條弦，過(guò)點(diǎn) R作圓的切線與 AC的延 長(zhǎng)線相交于點(diǎn) D.過(guò)點(diǎn)C作RD的平行線與圓相交于點(diǎn) E，與AR相交于點(diǎn)F，AF = 3，F(xiàn)R =31，EF = 2，那么線段 CD的長(zhǎng)為.資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途綜合訓(xùn)練一、選擇題1. 假設(shè)三角形三邊上的高為 a、b、c，這三邊長(zhǎng)分別為 6、4、3，那么a:b:c=A. 1:禪 R. 6: 4:3 C. 2:3:4 pD. 3: 4:62. 在U ARC中，DE/RC , DE將口 ARC分成面積相等的兩局部，那么DE : RC =A. 1:2R.1:3C. 1. 2d. 1:13. 圓內(nèi)接三角形 ARC角平分線C

15、E延長(zhǎng)后交外接圓于 F，假設(shè)FR=2,EF=1，那么CE A. 3 廠R. 2C. 4D. 14.在 ARC中， BAC =90；，D是RC邊的中點(diǎn)，AE AD，AE交CB的延長(zhǎng)線于E，那么下面結(jié)論 嚴(yán)正確的?？贏. LaED sJ ACRB. L AEB acdC.5.A.C.6.s DACCD _ AB垂足為D，那么以下說(shuō)法中不正確的選項(xiàng)是BA.C.7._ BAE ACED. H AEC在RtABC中，.C為直角，CD2 二 ADLDB B. AC?二 ADAC|_BC =AD_BD D. BC 是ACD外接圓的切線矩形ABCD，R、P分別在邊 CD、BC上，E、F分別為AP、 PR的中點(diǎn)

16、，當(dāng) P在BC上由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) R在CD上固 定不變，設(shè)BP =x, EF y，那么以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途 y是x的增函數(shù)B. y是x的減函數(shù)y隨x先增大后減小D.無(wú)論x怎樣變化，一圓錐側(cè)面展開圖為半圓，平面:-與圓錐的軸成 面與該圓錐側(cè)面相交的交線為y是常數(shù)45角，那么平PA.sin ： B.cos :-C.tan ： D.1=cot :-tan :、填空題9.平面:-/ r /，直線h與: -,-,依次交于A.圓B.拋物線C.雙曲線D.橢圓8.如圖，AB是半圓0的直徑，弦 AD、BC相交于點(diǎn)P，. BPD = :，那么CD二 AB _CA B C，直線12

17、與a，為Y依次交于D、E、F，那么AB: BCDE : EF 填=,10. 如圖，EF是L 0的直徑，MN是L 0的弦，EF =10cm, MN =8cm，那么E、F兩點(diǎn)到直線MN的距離之和等于 第10題圖第11題圖11. 如圖，L。1過(guò)L O的圓心o，與L O交于A b兩點(diǎn)，c在L O上, cb延長(zhǎng)線交L于點(diǎn)D，CO延長(zhǎng)線交。1于E，NEDC =108，那么/C= 12.相交兩圓L。1與L。2的公共弦長(zhǎng)AB=3，延長(zhǎng)AB到P作PC切L。1于c，PD切。2 于 D，假設(shè) PC = 2，貝U PD =13. 如圖，AB的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn) C，過(guò)C作圓的切線CD，切點(diǎn)為D， ACD的平分線交AD于

18、E,貝U NCED =資料個(gè)人收集整理，勿做商業(yè)用途第13題圖第14題圖14. 如圖，AB是L O的直徑，D是L O上一點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，L O的弦AD與BE的延長(zhǎng)線相交于 C，假設(shè)AB =18, BC =12,那么AD =BD、AC與EF分別交于M、N，貝U MN =_16.如圖，AD、CE分別是ABC的兩條高，那么1 A E、D、C四點(diǎn) 是否共圓 |_BDE_BAC s,也，為什么？17、AC =10, sinB5那么 DE =如圖，PC是L O的切線，C為切點(diǎn),PAB為割線,15.梯形ABCD中，底AD =2, BC=6, EF為中位線，對(duì)角線PC =4, PB =8, NB =30，貝U BC =假設(shè) AB =1, AD f 2,第 17題圖第18題圖18、如圖ABC的外接圓的切線AD交BC的延長(zhǎng)線于DA RPNADB =30，那么=.S ACDO的弦PN切L A19、如圖，PQ為半圓O的直徑，A為以O(shè)Q為直徑的半圓 A的圓心, 于點(diǎn)N , PN =8,那么L A的半徑為 第19題圖第20題圖20、如圖 L ABC 中，D 是 AB 的一