第四章習(xí)題及答案

1、第四章 根軌跡法習(xí)題及答案4-1 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試證明點在根軌跡上，并求出相應(yīng)的根軌跡增益和開環(huán)增益。解 若點在根軌跡上，則點應(yīng)滿足相角條件，如圖解4-1所示。對于，由相角條件滿足相角條件，因此在根軌跡上。將代入幅值條件：解出 ： ， 4-2 已知開環(huán)零、極點如圖4-22所示，試?yán)L制相應(yīng)的根軌跡。 （）（）（）（）（）（）（）（） 題4-22圖 開環(huán)零、極點分布圖解 根軌如圖解4-2所示：圖解4-2 根軌跡圖 4-3 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出系統(tǒng)根軌跡。 解 系統(tǒng)有三個開環(huán)極點：, 實軸上的根軌跡： , 漸近線： 分離點：解之得：，(舍去)。 與虛軸的交點：特征方程為

2、 令 解得與虛軸的交點（0，）。根軌跡如圖解4-3(a)所示。 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡：, 漸近線： 分離點： 用試探法可得 。根軌跡如圖解4-3(b)所示。 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡：, 分離點： 解之得：。根軌跡如圖解4-3(c)所示。4-4已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出相應(yīng)的根軌跡。 解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 分離點：解之得： 起始角： 由對稱性得另一起始角為 。根軌跡如圖解4-4(a)所示。 系統(tǒng)有三個開環(huán)極點和一個開環(huán)零點。 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 起始角：根軌跡如圖解4-4(b)所示。 4- 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出

3、相應(yīng)的根軌跡。 解 實軸上的根軌跡： 漸近線： 分離點： 解之得：。與虛軸交點： 把代入上方程，整理，令其實、虛部分別為零得：解得： 起始角：由相角條件 ，。根軌跡如圖解4-5(a)所示。 實軸上的根軌跡： 漸近線： 分離點： 解之得：(舍去)； 與虛軸交點： 令，帶入特征方程，令實部，虛部分別為零解得： 根軌跡如圖解4-5(b)所示。 系統(tǒng)有四個開環(huán)極點、一個開環(huán)零點。根軌跡繪制如下：實軸上的根軌跡： 漸近線： 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把代入上方程，令解得： 起始角根軌跡如圖解4-5(c)所示。 系統(tǒng)根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 漸近線： 分離點： 解得： (舍去) 與虛軸交點：閉環(huán)

4、特征方程為 把代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：解得： 起始角：由對稱性得，另一起始角為 ，根軌跡如圖解4-5(d)所示。4- 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，要求： （1）確定產(chǎn)生純虛根為的值和值； （2）概略繪出的閉環(huán)根軌跡圖（要求確定根軌跡的漸近線、分離點、與虛軸交點和起始角）。解（1）閉環(huán)特征方程有 令實虛部分別等于零即： 把代入得： ， 。（2）系統(tǒng)有五個開環(huán)極點：實軸上的根軌跡： 漸近線： 分離點： 解得： , (舍去) , (舍去)與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把代入上方程，整理，令實虛部分別為零得： 解得： ，（舍去） 起始角：根據(jù)法則七（相角條件），根軌跡的起始角為圖解4-6

5、 根軌跡圖由對稱性得，另一起始角為，根軌跡如圖解4-6所示。4- 已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 漸近線： 圖解4-7 根軌跡圖 分離點：解之得： (舍去)與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把代入上方程，令解得： 起始角： 解出 根軌跡如圖解4-7所示。4- 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用根軌跡法確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益值范圍。解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 起始角：漸近線： 圖解4-8 根軌跡圖與虛軸交點：閉環(huán)特征方程把代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：解得： 根軌跡如圖解4-8所示。從根軌跡圖可知，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍為，又，

6、故相應(yīng)的的范圍為。4- 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 漸近線： 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把代入上方程，令圖解4-9 根軌跡圖解得： ， 根軌跡如圖解4-9所示。由圖解4-9可知使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為 。4-10單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 分離點：由 解得： 。與虛軸交點：把s=j代入上方程，令圖解4-10 根軌跡圖解得： 根軌跡如圖解4-10所示。由圖解4-10可知系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為；又 ， 所以系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為。4-11 試

7、繪出下列多項式方程的根軌跡。； 解 作等效開環(huán)傳遞函數(shù) 。根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 漸近線： 起始角： 圖解4-11(a) 根軌跡圖根軌跡如圖解4-11(a)所示。(2) 作等效開環(huán)傳遞函數(shù) 。根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡：,； 漸近線： 分離點： 圖解4-11(b) 根軌跡圖解得 ,(舍),(舍) 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把s=j代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：試根可得： 根軌跡如圖解4-11(b)所示。4-12 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4-23所示，試概略繪制其根軌跡。解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為此系統(tǒng)為正反饋系統(tǒng)，應(yīng)繪零度根軌跡。 實軸上的根軌跡：, 分離點： 解得 起始角：根

8、據(jù)相角條件， 得 ，。圖解4-12 根軌跡圖根軌跡如圖解4-12所示。4-13 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制其根軌跡，并求出使系統(tǒng)產(chǎn)生重實根和純虛根的值。解 由開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式知需繪制根軌跡。 實軸上的根軌跡： ； 分離點： 解得： , 將, 代入幅值條件得, 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：圖解4-13 根軌跡圖解得： 根軌跡如圖解4-13所示，復(fù)平面上的根軌跡為以開環(huán)零點為圓心，開環(huán)零點到分離點的距離為半徑的圓 。系統(tǒng)產(chǎn)生重實根的為0.54，7.46，產(chǎn)生純虛根的為2。4-14 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制參數(shù)從零變化到無窮大時的根軌

9、跡，并寫出時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。（1）（2）解 （1）做等效開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)實軸上的根軌跡：圖解4-14(a) 根軌跡圖分離點：解得：(舍去)，如圖解4-14(a)所示，根軌跡為以開環(huán)零點為圓心，開環(huán)零點到開環(huán)極點的距離為半徑的圓。 當(dāng)時，兩個閉環(huán)特征根為。此時閉環(huán)傳遞函數(shù)為（2）做等效開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=實軸上的根軌跡： 圖解4-14(b) 根軌跡圖分離點： 解得：根軌跡如圖解4-14(b)所示， 當(dāng)時，兩個閉環(huán)特征根為，此時閉環(huán)傳遞函數(shù)為4-15 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4-24所示，試?yán)L制時間常數(shù)變化時系統(tǒng)的根軌跡，并分析參數(shù)的變化對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。解：作等效開環(huán)傳遞函數(shù)圖 4-24

10、 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡：, 分離點： 解得 。根據(jù)幅值條件，對應(yīng)的。 虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：解得： 圖解4-15 根軌跡圖 起始角：參數(shù)從零到無窮大變化時的根軌跡如圖解4-15所示。從根軌跡圖可以看出，當(dāng)時，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為單調(diào)收斂過程；時，階躍響應(yīng)為振蕩收斂過程；時，有兩支根軌跡在s右半平面，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。4-16 實系數(shù)特征方程 要使其根全為實數(shù)，試確定參數(shù)的范圍。解 作等效開環(huán)傳遞函數(shù) 當(dāng)時，需繪制根軌跡。 實軸上的根軌跡： ， 漸近線： 分離點： 解得 分離點處的根軌跡增益可由幅值條件求得： 根據(jù)以上計算，可繪制出系統(tǒng)根軌

11、跡如圖所示。由根軌跡圖解4-16(a)可以看出，當(dāng)時，多項式的根全為實數(shù)。當(dāng)時，需繪制根軌跡。實軸上的根軌跡區(qū)段為：， 。由根軌跡圖圖解4-16(b)可以看出，當(dāng)時，多項式的根全為實數(shù)。因此所求參數(shù)的范圍為或。4-17 某單位反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4-25所示，試分別繪出控制器傳遞函數(shù)為 圖4-25 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖時系統(tǒng)的根軌跡，并討論比例加微分控制器中，零點的取值對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。解 時系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 漸近線： 根軌跡如圖解4-17(a)所示。 ；系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，根軌跡繪制如下：圖解4-17(b) 根軌跡圖 實軸上的根軌跡： 漸近線： 根軌跡如圖解4-17

12、(b)所示。 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為。根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 圖解4-17(c) 根軌跡圖 漸近線： 根軌跡如圖解4-17(c)所示。從根軌跡圖中可以看出，比例加微分控制器的加入使根軌跡向左移動，且當(dāng)時系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，附加開環(huán)零點越靠近虛軸這種趨勢越強。4-18 某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試根據(jù)系統(tǒng)根軌跡分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，并估算時的值。解 根軌跡繪制如下：圖解4-18 根軌跡圖 實軸的根軌跡：實軸上的除點外沒有根軌跡區(qū)段。 漸近線： 與虛軸交點：令，解得根軌跡與虛軸交點為。根軌跡與虛軸交點對應(yīng)的根軌跡增益為 相應(yīng)開環(huán)增益為 根軌跡如圖解4-18所示。從根軌跡圖中可以看出，當(dāng)根軌跡增益，開環(huán)增益，根軌跡全在左半s平面，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)軌跡增益，開環(huán)增益，有兩條根軌跡落在右半s平面，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。 對二階系統(tǒng)來說，當(dāng)時，。系統(tǒng)阻尼角為 在s平面作等阻尼線OA，使之與實軸夾角為。OA與根軌跡交點為，其余3個交點為，和。而本系統(tǒng)為四階系統(tǒng)，其閉環(huán)極點分布滿足主導(dǎo)極點的分布要求，可以認為，、是主導(dǎo)極點，忽略、作用，將該系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)。不難計算，帶入幅值條件可得對應(yīng)根軌跡增益為： 4-19 單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 要求閉環(huán)系統(tǒng)的最大超調(diào)量，調(diào)節(jié)時間，試選擇值。解 根軌跡繪制如