用定義來計算定積分一般是很困難的,下面將要介紹的牛頓—

1、 用定義來計算定積分一般是很困難的，下面將要介紹的牛頓萊布尼茨公式不僅為定積分的計算提供了一個有效的方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系了起來。)(xf,ba)(xF)(xf,babaaFbFdxxf)()()(babaaFbFxFdxxf)()()()(定理9.1 若函數(shù) 在上連續(xù)，且存在原函數(shù)，則在上可積，且這即為牛頓萊布尼茨公式，也常記為。 證證 ,babxxxan10:給定任意一個分割：， nkkknkkkxfxFxFaFbF111)()()()()(這里 1kkkxxx,1kkkxx用了Lagrange 中值定理。 ,)(baCxf由Cantor 定理， f,ba在一致連續(xù)， 0

2、0所以， 只要 ,ba，就有 abff)()(于是，當 knkx1max時，對 ,1kkkxx，有 nkkkknkkkxffaFbFxf11)()()()()()(xF：在,ba上連續(xù)，在 ),(ba內(nèi)可導，且 ),(),()(baxxfxF.而 )( xf只要在,ba上可積即可. 注1：在實際應用中，定理的條件是可以適當減弱的，如 注2：本定理對)(xF的要求是多余的。)(xf,ba設(shè)在可積（不一定連續(xù)）， 又設(shè) )(xF在 ,ba上連續(xù)，并且在 ),(ba上， )()(xfxF，則 )()()()(aFbFxFdxxfbaba證證 任給 ,ba一分割 bxxxan10:由Lagrange中

3、值定理 nkkkxfaFbF1)()()(),(1kkkxx 因 f在 ,ba可積， 令 0max1knkx，則上式右邊 badxxf)(所以 badxxfaFbF)()()(. 例例1: 1: .sin baxdx計算計算 解解 : : xxsin)cos( 且且，bax連續(xù)連續(xù)在在因因,sinbabaxxdxcossin 所以所以.coscosba 例例2 2 求求 解解.112dxx 當當0 x時時，x1的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 解解 面積面積xyo 0sin xdxA 0cos x. 2 例例4: 4: 以及以及直線直

4、線計算由拋物線計算由拋物線3, 12 yxxy.S坐標軸所圍圖形的面積坐標軸所圍圖形的面積 解解 : : 如如右右圖圖由由于于拋拋物物線線oxy13與直線與直線)2 , 1(相交于點相交于點(1,2)故所圍曲邊梯形面積故所圍曲邊梯形面積.)(30 dxxfS . 31,3, 10, 1)(2xxxxxf其中其中解解: 原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i 12(cos0cos ).例例5 求極限求極限： nnnnnn)1(sin2sinsin1lim例例6 6解解.12111limnnnnn求nnnnnnnn11