第2章 2.3 圓錐曲線的參數(shù)方程

1、.2.3圓錐曲線的參數(shù)方程2.3.1橢圓的參數(shù)方程2.3.2拋物線的參數(shù)方程2.3.3雙曲線的參數(shù)方程1.理解雙曲線、拋物線的參數(shù)方程.2.理解橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用.重點(diǎn)3.可以利用圓錐曲線的參數(shù)方程解決最值、有關(guān)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題.難點(diǎn)根底初探1.橢圓的參數(shù)方程1橢圓1的參數(shù)方程為， 0t2.2假設(shè)橢圓的中心不在原點(diǎn)而在點(diǎn)M0x0，y0，相應(yīng)的橢圓的參數(shù)方程為， 0t2.2.雙曲線的參數(shù)方程雙曲線1的參數(shù)方程為.3.拋物線的參數(shù)方程拋物線y22px的參數(shù)方程是tR，t為參數(shù).考慮探究1.橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)是OM的旋轉(zhuǎn)角嗎？【提示】橢圓的參數(shù)方程為參數(shù)中的參數(shù)不是動(dòng)點(diǎn)Mx，y的旋轉(zhuǎn)角，它是點(diǎn)M

2、所對(duì)應(yīng)的圓的半徑OA或OB的旋轉(zhuǎn)角，稱為離心角，不是OM的旋轉(zhuǎn)角.2.雙曲線的參數(shù)方程中，參數(shù)的三角函數(shù)sec 的意義是什么？【提示】sec ，其中0,2且，.3.類比y22pxp0，你能得到x22pyp0的參數(shù)方程嗎？【提示】p0，t為參數(shù)，tR.自主測(cè)評(píng)1.參數(shù)方程為參數(shù)化為普通方程為A.x21B.x21C.y21D.y21【解析】易知sin x，cos ，x21.【答案】A2.方程為參數(shù)，ab0表示的曲線是A.圓B.橢圓C.雙曲線D.雙曲線的一部分【解析】由cos xa，cos ，代入ybcos ，得xyab，又由ybcos 知，y|b|，|b|，曲線應(yīng)為雙曲線的一部分.【答案】D3.點(diǎn)

3、M3，m在以F為焦點(diǎn)的拋物線t為參數(shù)上，那么|MF|等于A.1 B.2 C.3D.4【解析】由得，即y24x，p2.|MF|3314.【答案】D4.點(diǎn)Px，y在橢圓y21上，那么xy的最大值為_(kāi).【解析】由可得橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)，那么xy2cos sin sintan 2，xymax.【答案】質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問(wèn)1： 解惑： 疑問(wèn)2： 解惑： 疑問(wèn)3： 解惑： 類型一橢圓的參數(shù)方程及應(yīng)用將參數(shù)方程為參數(shù)化為普通方程，并判斷方程表示曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62790012】【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，消去參數(shù)，化為普通方程，進(jìn)而研究

4、曲線形狀和幾何性質(zhì).【嘗試解答】由得兩式平方相加，得1.a5，b3，c4.因此方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F14,0和F24,0.橢圓的參數(shù)方程(為參數(shù)，a，b為常數(shù)，且ab0)中，常數(shù)a、b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上.再練一題1.假設(shè)本例的參數(shù)方程為為參數(shù)，那么如何求橢圓的普通方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)？【解】將化為，兩式平方相加，得1.其中a5，b3，c4.所以方程的曲線表示焦點(diǎn)為F10，4與F20,4的橢圓.曲線C1：t為參數(shù)，曲線C2：1.1化C1為普通方程，C2為參數(shù)方程；并說(shuō)明它們分別表示什么曲線？2假設(shè)C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直

5、線C3：x2y70間隔 的最小值.【精彩點(diǎn)撥】1參數(shù)方程與普通方程互化；2由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，用參數(shù)表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的間隔 公式得到關(guān)于的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.【嘗試解答】1由，得，曲線C1：x42y321，C1表示圓心是4,3，半徑是1的圓.曲線C2：1表示中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓.其參數(shù)方程為為參數(shù).2依題設(shè)，當(dāng)t時(shí)，P4,4；且Q8cos ，3sin ，故M24cos ，2sin .又C3為直線x2y70，M到C3的間隔 d|4cos 3sin 13|5cos13|，從而當(dāng)cos ，sin 時(shí)，d獲得最小值.1.從第2問(wèn)可以看出橢圓的參

6、數(shù)方程在解題中的優(yōu)越性.此題易錯(cuò)點(diǎn)主要有：一是在第1問(wèn)中，不能將圓的參數(shù)方程化為普通方程；二是在第2問(wèn)中對(duì)絕對(duì)值的函數(shù)形式變形不對(duì)或認(rèn)為cos1時(shí)取最小值，從而得出錯(cuò)誤結(jié)論.2.第2問(wèn)設(shè)計(jì)非常新穎，題目的要求就是求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡上的點(diǎn)到直線C3間隔 的最小值，這個(gè)最小值歸結(jié)為求關(guān)于參數(shù)的函數(shù)的最小值.再練一題2.點(diǎn)P是橢圓y21上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l：x2y0的間隔 的最大值.【解】因?yàn)镻為橢圓y21上任意一點(diǎn)，故可設(shè)P2cos ，sin ，其中0,2.又直線l：x2y0.因此點(diǎn)P到直線l的間隔 d.所以，當(dāng)sin1，即時(shí)，d獲得最大值.類型二雙曲線參數(shù)方程的應(yīng)用求證：雙曲線1a0，b0上任

7、意一點(diǎn)到兩漸近線的間隔 的乘積是一個(gè)定值.【精彩點(diǎn)撥】設(shè)出雙曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)注意到三角函數(shù)有利于三角變換，可利用雙曲線的參數(shù)方程簡(jiǎn)化運(yùn)算.【嘗試解答】由雙曲線1，得兩條漸近線的方程是：bxay0，bxay0，設(shè)雙曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為asec ，btan ，它到兩漸近線的間隔 分別是d1和d2，那么d1d2定值.在研究有關(guān)圓錐曲線的最值和定值問(wèn)題時(shí)，使用曲線的參數(shù)方程非常簡(jiǎn)捷方便，其中點(diǎn)到直線的間隔 公式對(duì)參數(shù)形式的點(diǎn)的坐標(biāo)仍適用，另外此題要注意公式sec2 tan2 1的應(yīng)用.再練一題3.圓C：x2y221上一點(diǎn)P，與雙曲線x2y21上一點(diǎn)Q，求P，Q兩點(diǎn)間隔 的最小值.【解】雙曲線x

8、2y21的參數(shù)方程為那么Qsec ，tan ，又圓心C0,2，那么|CQ|2sec2 tan 22tan2 1tan 222tan 123，當(dāng)tan 1，即時(shí)，|CQ|2取最小值3，此時(shí)有|CQ|min.又因?yàn)閨PC|1，所以|PQ|min1.類型三拋物線的參數(shù)方程設(shè)拋物線y22px的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，P為拋物線上任一點(diǎn)，PQl于Q，求QF與OP的交點(diǎn)M的軌跡方程.【精彩點(diǎn)撥】解答此題只要解兩條直線方程組成的方程組得到交點(diǎn)的參數(shù)方程，然后化為普通方程即可.【嘗試解答】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為2pt2,2ptt為參數(shù)，當(dāng)t0時(shí)，直線OP的方程為yx，QF的方程為y2tx，它們的交點(diǎn)Mx，y由方

9、程組確定，兩式相乘，消去t，得y22xx，點(diǎn)M的軌跡方程為2x2pxy20x0.當(dāng)t0時(shí)，M0,0滿足題意，且合適方程2x2pxy20.故所求的軌跡方程為2x2pxy20.1.拋物線y22pxp0的參數(shù)方程為t為參數(shù)，參數(shù)t為任意實(shí)數(shù)，它表示拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù).2.用參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其根本思想是選取適當(dāng)?shù)膮?shù)作為中間變量，使動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別與參數(shù)有關(guān)，從而得到動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)方程，然后再消去參數(shù)，化為普通方程.再練一題4.拋物線y22px過(guò)頂點(diǎn)兩弦OAOB，求以O(shè)A、OB為直徑的兩圓的另一交點(diǎn)Q的軌跡.【解】設(shè)A2pt，2pt1，B2pt，2pt2，那么以O(shè)A為直徑的圓的方程為x2y22ptx2pt1y0，以O(shè)B為直徑的圓方程為x2y22ptx2pt2y0，t1，t2為方程2pxt22ptyx2y20的兩根.t1t2.又OAOB，t1t21，x2y22px0.另一交點(diǎn)Q的軌跡是以p,0為圓心，p為半徑的圓.真題鏈接賞析教材P46習(xí)題23T1設(shè)直線的參數(shù)方程為它與橢圓1的交點(diǎn)為A和B，求線段AB的長(zhǎng).在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為t為參數(shù)，橢圓C的參數(shù)方程為為參數(shù).設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng).【命題立意】知識(shí)：考察直線與橢圓的參數(shù)方程、參數(shù)方程與普