單粒子軌道理論

1、單粒子軌道理論單粒子軌道理論是指將等離子體中的帶電粒子獨(dú)立的處理，忽略它們之間的相互作用, 只考慮電磁場(chǎng)對(duì)單個(gè)帶電粒子的作用，不考慮帶電粒子運(yùn)動(dòng)引起的電磁場(chǎng)變化。1.均勻磁場(chǎng)中的帶電粒子的盤(pán)旋運(yùn)動(dòng)在處于恒定磁場(chǎng)的空間中，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程是dvm qv B(1.1)dt取B為z方向，寫(xiě)成分量形式：VxT Vy(1.2)Vy - -門(mén) Vx(1.3)這里Bqm(1.4)(1.5)稱(chēng)為盤(pán)旋頻率。記 v =vx ivy，將(1.3)式乘以i與(1.2)式相加，得到其解為V -'Vv = ce"(1.6)(1.7)(1.8)(1.9)其中，積分常數(shù)C=V_e_L是復(fù)數(shù)，可寫(xiě)為模V_和

2、輻角的形式。對(duì)(1.7)式分別取實(shí)部和虛 部，得到Vx =V_COSt 匕)"C均為積分常數(shù)，因此，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)是圍繞磁場(chǎng)作以 為L(zhǎng)armor盤(pán)旋運(yùn)動(dòng)。其角速度為：Q -G盤(pán)旋的半徑(也稱(chēng)為 Larmor半徑)為：V而在平行于磁場(chǎng)的方向，從 (1.4)解得：門(mén)為角頻率的盤(pán)旋運(yùn)動(dòng)，也稱(chēng)(1.10)(1.11)vy 二-v_sin(H 工)積分常數(shù)V .為平行方向速度的初值，帶電粒子速度保持不變。值得注意的是，盤(pán)旋頻率只與磁場(chǎng)的大小有關(guān)，而與盤(pán)旋粒子的垂直速度或盤(pán)旋半徑無(wú)關(guān)。但如果相對(duì)論效應(yīng)不能忽略，那么帶電粒子的質(zhì)量會(huì)發(fā)生變化，盤(pán)旋頻率會(huì)隨著垂直方向的速度改變。此時(shí)，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方

3、程為mdt=qv B(1.13)其中相對(duì)論因子(1.14)它只與帶電粒子速度的大小有關(guān)，與速度的方向無(wú)關(guān)。而事實(shí)上，只要用V點(diǎn)乘1.13式即可看出：dv 1 dvv0dt 2 dt(1.15)即帶電粒子速度的大小是常數(shù)。因此在解帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，可以將視為常數(shù)。解的結(jié)果與非相對(duì)論情況的不同點(diǎn)僅僅在于盤(pán)旋頻率的差異：(1.16)帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)可以看作是垂直于磁場(chǎng)的盤(pán)旋運(yùn)動(dòng)和盤(pán)旋引導(dǎo)中心的運(yùn)動(dòng)即平行于磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)加上漂移運(yùn)動(dòng)組成。2.盤(pán)旋引導(dǎo)中心的運(yùn)動(dòng)首先，我們考慮帶電粒子在穩(wěn)恒、但空間上不一定均勻的磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。從上一節(jié)的討論可知，如果磁場(chǎng)不隨空間和時(shí)間變化，或者在帶電粒子所在的區(qū)

4、域內(nèi)可以將磁場(chǎng)近似的看成是不變的，帶電粒子將沿著磁力線(xiàn)作盤(pán)旋運(yùn)動(dòng)。為了更好理解和處理在空間不均勻磁場(chǎng)中的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)， 我們將其分解為圍繞引導(dǎo)中心 的盤(pán)旋運(yùn)動(dòng)和引導(dǎo)中心自身運(yùn)動(dòng)兩局部。對(duì)于角頻率為 Q的盤(pán)旋運(yùn)動(dòng)，其速度 v為:v = QXp(1.17)這里pt是盤(pán)旋的矢量半徑，它與v_, Q構(gòu)成相互垂直的右手體系。因而(1.18)在磁場(chǎng)中帶電粒子盤(pán)旋運(yùn)動(dòng)角頻率矢量Q為:Q - -q - - b(1.19)(1.19)B這里b是磁場(chǎng)方向的單位向量。 帶電粒子除了沿著磁場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)外，在垂直于磁場(chǎng)的方向上， 帶電粒子做盤(pán)旋運(yùn)動(dòng)及漂移運(yùn)動(dòng)。由于漂移運(yùn)動(dòng)速度一般遠(yuǎn)小于盤(pán)旋運(yùn)動(dòng)速度，帶電粒子運(yùn)動(dòng)速度V的

5、垂直分量可以用盤(pán)旋運(yùn)動(dòng)速度V g替代，在這種近似下，(1.18)式可以改寫(xiě)為b vp(1.20)Q實(shí)際應(yīng)用中，卻是先用此式定義盤(pán)旋半徑p,因?yàn)榧僭O(shè)還用(1.18)式，將會(huì)與(1.17)式一并陷入循環(huán)定義。我們也可以理解(1.20)式定義的盤(pán)旋半徑p為帶電粒子運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)的盤(pán)旋半徑，在盤(pán)旋一周的過(guò)程中，假設(shè)同時(shí)有漂移運(yùn)動(dòng)，帶電粒子的盤(pán)旋速度和半徑是隨時(shí)改變的。了解引導(dǎo)中心的運(yùn)動(dòng)比了解帶電粒子的具體的運(yùn)動(dòng)更有意義。引導(dǎo)中心的位置R(t)可以簡(jiǎn)單求得：R=r(t)_ p(t)(1.21)這里r(t)是帶電粒子的瞬時(shí)位置。這實(shí)際上也可以看作是引導(dǎo)中心的定義。引導(dǎo)中心的運(yùn)動(dòng) 速度vc可以求得:(1.22)

6、b v d / b、()v Q dt Q(1.22)式中出現(xiàn)的帶電粒子加速度可分為兩局部，其一是由磁場(chǎng)引起的旋轉(zhuǎn)，另一局部由其 他外力的總和f引起的加速度f(wàn)+ qv匯Bf 丄(1.23)vv：; bm m在穩(wěn)恒近似的條件下，沒(méi)有快速變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)可以忽略，只保存空間 位置改變引起的變化。因而(1.22)式中對(duì)時(shí)間t的隨體導(dǎo)數(shù)近似為(1.24)- v v dt 撫用(1.23)和(1.24)，化簡(jiǎn)(1.22)式，得到引導(dǎo)中心運(yùn)動(dòng)速度的三局部：(1.25)vc = v | v f v m其中v滬vb= (v b)b是帶電粒子沿平行磁場(chǎng)方向的運(yùn)動(dòng)速度。平行速度是引導(dǎo)中心運(yùn)動(dòng)速度的主

7、要局部。另外，(1.25)式中的第二項(xiàng)f b v fm Q是外力引起的垂直磁場(chǎng)方向的漂移，如電場(chǎng)漂移、重力漂移等。而vm 二 v (v 人)嚴(yán)它與磁場(chǎng)的大小(Qh B )和方向(b )在空間上的變化有關(guān)，是由空間磁場(chǎng)的不均勻性 引起的漂移，如磁場(chǎng)梯度漂移、曲率漂移等?，F(xiàn)在，我們得到的帶電粒子運(yùn)動(dòng)大致圖像：首先，它主要是沿著磁力線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)還繞著磁力線(xiàn)旋轉(zhuǎn)。其次，引導(dǎo)中心會(huì)在外力作用下漂移偏離磁力線(xiàn)，其漂移方向與磁力線(xiàn)垂直，也與力的方向垂直。此外，磁場(chǎng)的不均勻性也能引起漂移運(yùn)動(dòng)。(1.25)式的第三項(xiàng)(1.26)(1.27)F面我們?cè)敿?xì)分析一下帶電粒子的各種漂移運(yùn)動(dòng)。1) 電場(chǎng)力對(duì)于恒定的電場(chǎng)，

8、帶電粒子受力f二qE，電場(chǎng)引起的漂移速度EEx Bv e b 2(1.28)BB值得注意的是，電場(chǎng)漂移速度與帶電粒子的電荷的正負(fù)符號(hào)無(wú)關(guān)，也與帶電粒子的質(zhì)量無(wú)關(guān)。在等離子體中，離子和電子以相同的方向和速度漂移，不會(huì)造成的電荷別離。 事實(shí)上，我們?nèi)绻∫粋€(gè)以相對(duì)速度 vE運(yùn)動(dòng)的新參考系(稱(chēng)為 deHoffman-Teller參考系)，通過(guò)洛侖 茲變換可以發(fā)現(xiàn)，在新的參考系中電場(chǎng)為0，帶電粒子只是簡(jiǎn)單地圍繞磁力線(xiàn)旋轉(zhuǎn)。而在我們?cè)鹊膮⒖枷抵杏^(guān)察，所有的電子和離子除了盤(pán)旋之外，均以一個(gè)相同的速度vE做漂移運(yùn)動(dòng)。2)重力或其他恒定外力普通情況下，力總是引起與其方向一致的加速度。而在有磁場(chǎng)的情況下，力引

9、起的是個(gè)垂直方向的漂移速度，與日常經(jīng)驗(yàn)有很大的不同。漂移速度的表達(dá)式為：qB2(1.29)這個(gè)速度與帶電粒子的質(zhì)量也沒(méi)有關(guān)系，但與其電荷有關(guān)。尤其對(duì)于電荷符號(hào)相反的帶電粒子，其漂移方向也相反。在等離子體中，電子和離子漂移方向不同，會(huì)引起電荷別離，從而 產(chǎn)生一些特殊的物理現(xiàn)象(如等離子體-磁場(chǎng)分界面上產(chǎn)生的瑞利-泰勒不穩(wěn)定性)。在討論磁場(chǎng)空間不均勻性引起的漂移問(wèn)題之前，有必要先處理一下公式(1.26)的第三項(xiàng)，我們用vm代表這項(xiàng)磁場(chǎng)引起的漂移。相比其他兩項(xiàng)來(lái)說(shuō)，這一項(xiàng)相對(duì)復(fù)雜。由于其中含有 運(yùn)動(dòng)速度v，因而有盤(pán)旋運(yùn)動(dòng)引起的隨時(shí)間快速變化的項(xiàng)。這些快速變化的項(xiàng)不是我們想要的，通過(guò)在一個(gè)盤(pán)旋周期中做

10、平均的方法可以消除掉。我們簡(jiǎn)化v為只有平行運(yùn)動(dòng)和盤(pán)旋運(yùn)動(dòng)兩項(xiàng)，忽略所有的漂移運(yùn)動(dòng)：(tjvb+v丄(1.30)盤(pán)旋運(yùn)動(dòng)速度可以表示為：v_(t) : v_Xcos(*t) y?sin(-氏)(1.31)這里X, ?是兩個(gè)垂直于磁場(chǎng)的方向上的單位矢量，與b方向構(gòu)成右手系。由(1.30)，(1.31)，將公式(1.27)經(jīng)過(guò)一個(gè)盤(pán)旋周期的平均之后，磁場(chǎng)不均勻性引起的漂移平均速度為(vmUvfZ (b '燈)丄(1.32)其中、 =x yx 鋼二 b (b '、)='、 b( b )(1.33)是在垂直方向上的空間微分算符。在公式 磁力線(xiàn)方向b的變化，另一個(gè)是磁場(chǎng)強(qiáng)度 可計(jì)算

11、磁力線(xiàn)的曲率(1.32)中，磁場(chǎng)在空間的變化包括兩個(gè)局部，一是 B的變化。沿著磁力線(xiàn)方向看磁場(chǎng)方向的變化，(1.34)k-(b i)b(1.32)式可寫(xiě)為2mv i2q -BB2(1.35)注意到(1.33)式，進(jìn)一步化簡(jiǎn) B -B2BB2b(Z) 丁j BB2 B3(1.36)利用矢量微分公式 (p q) = p Cq)q C p)(p '、)q(q ' )p(1.37)及b是單位向量的特性，曲率也可以表達(dá)為(1.38)1k = (b I)b-(b b) = -b Cb)2在垂直方向上磁場(chǎng)強(qiáng)度的梯度為(1.39)' _B 二 b (b i B)二b CB)-Bb Cb

12、)二 b %j Bk利用(1.33), (1.34)及(1.39)式，化簡(jiǎn)(1.35)式：mv%(j)b_j 丄)2qB2(1.40)(1.41)在空間沒(méi)有電流時(shí)，由(1.39)可知由磁場(chǎng)引起的漂移速度為/、b 灼 BVm'(23 巧丁(1.42)其中，w.,w_分別是帶電粒子在平行方向和垂直方向的動(dòng)能。磁場(chǎng)的空間不均勻性引起的漂 移運(yùn)動(dòng)又可以分為兩局部，其中一局部漂移速度是離心力引起的，為mvpe BRqB2(1.43)尺方向相反。另一局部漂移速度是式中R為曲率半徑，eR是曲率半徑的方向單位矢量，與磁場(chǎng)梯度引起的，為BVgrad -'N- B2qB(1.44)這里(1.45)

13、是粒子的磁矩。而 _ B表達(dá)了磁場(chǎng)的梯度對(duì)帶電粒子所施加的等效作用力。在考慮空間有電流的情況下，引導(dǎo)中心的運(yùn)動(dòng)速度為f BB %(1.46)vc =vb -qB -(2ww_)b看(如_ wa假設(shè)把漂移速度寫(xiě)為與磁場(chǎng)相關(guān)的量，那么(1.35)為2土 b2亠b2bb K m I -b(b I) bk - b B bb k2"B2K丄(1.47)2b(b Cb)-£ b注意到(1.38)式，代換k,得K b (b Cb) -空 b2B(1.48)最后(1.49)2心 b V b) b +f x B * 噴 h 可 B * v|b 匯 k qB221B門(mén)3.帶電粒子在變化電場(chǎng)中的

14、漂移討論在有恒定磁場(chǎng) B = B0ez和垂直于磁場(chǎng)的變化電場(chǎng)E = E°cos( t)ex(1.50)情況下帶電粒子的漂移運(yùn)動(dòng)。可解運(yùn)動(dòng)方程v 二亞 ex 1、ez m(1.51)得到:V = _j'v qEo cos tm(1.52)qEo Je"Ccos(<ot)dt m可得其中,qE。2 (i0cost) 們 sin (cot) )+v ©山。姒 m( )-、q dE 1Vx =v cos(t ： )22m dtq "E -v sin(t覚)22m Q -©Vyx方向的漂移為極化漂移,而在y方向的漂移類(lèi)似于普通的電場(chǎng)漂移。(

15、1.53)(1.54)(1.55)(1.56)兩者漂移速度之比為上的量級(jí)。Q在-J '1的緩變電場(chǎng)情況下，極化漂移速度遠(yuǎn)小于普通的電場(chǎng)漂移速度，相比之下可 以忽略。在- J 1的高頻變化的電場(chǎng)情況下，極化漂移速度比普通的電場(chǎng)漂移速度更大, 顯得非常重要。4.守恒量和絕熱不變量對(duì)于在沒(méi)有電場(chǎng)和重力場(chǎng)等力場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的帶電粒子，其動(dòng)能守恒。帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程(1.1)兩端同時(shí)點(diǎn)乘速度 V,可以得到(1.15)式，從而證明了在這種情況下，帶電粒子動(dòng)能 守恒。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于廣義坐標(biāo)q , p是q對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量。如果運(yùn)動(dòng)對(duì)于 q是周期的，那么對(duì) 于積分：I 八 pdq(1.57)是絕熱不變量，也即在系統(tǒng)變化的特征時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)長(zhǎng)于運(yùn)動(dòng)的周期的條件下,該物理量保持不變。這里積分在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期上進(jìn)行，積分過(guò)程中保持系統(tǒng)的能量不變。假設(shè)系統(tǒng)是隨參量緩慢變化的，為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，假設(shè)系統(tǒng)只有一對(duì)廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量，即:H(p,q,(t)HE(t)(1.58)這里H是系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)。對(duì)于(1.57)的積分，被積函數(shù)p可以從(1.58)式反解為p =p(q