單粒子軌道理論

1、單粒子軌道理論單粒子軌道理論是指將等離子體中的帶電粒子獨(dú)立的處理，忽略它們之間的相互作用, 只考慮電磁場對單個帶電粒子的作用，不考慮帶電粒子運(yùn)動引起的電磁場變化。1.均勻磁場中的帶電粒子的盤旋運(yùn)動在處于恒定磁場的空間中，帶電粒子的運(yùn)動方程是dvm qv B(1.1)dt取B為z方向，寫成分量形式：VxT Vy(1.2)Vy - -門 Vx(1.3)這里Bqm(1.4)(1.5)稱為盤旋頻率。記 v =vx ivy，將(1.3)式乘以i與(1.2)式相加，得到其解為V -'Vv = ce"(1.6)(1.7)(1.8)(1.9)其中，積分常數(shù)C=V_e_L是復(fù)數(shù)，可寫為模V_和

2、輻角的形式。對(1.7)式分別取實(shí)部和虛 部，得到Vx =V_COSt 匕)"C均為積分常數(shù)，因此，帶電粒子的運(yùn)動是圍繞磁場作以 為Larmor盤旋運(yùn)動。其角速度為：Q -G盤旋的半徑(也稱為 Larmor半徑)為：V而在平行于磁場的方向，從 (1.4)解得：門為角頻率的盤旋運(yùn)動，也稱(1.10)(1.11)vy 二-v_sin(H 工)積分常數(shù)V .為平行方向速度的初值，帶電粒子速度保持不變。值得注意的是，盤旋頻率只與磁場的大小有關(guān)，而與盤旋粒子的垂直速度或盤旋半徑無關(guān)。但如果相對論效應(yīng)不能忽略，那么帶電粒子的質(zhì)量會發(fā)生變化，盤旋頻率會隨著垂直方向的速度改變。此時，帶電粒子的運(yùn)動方

3、程為mdt=qv B(1.13)其中相對論因子(1.14)它只與帶電粒子速度的大小有關(guān)，與速度的方向無關(guān)。而事實(shí)上，只要用V點(diǎn)乘1.13式即可看出：dv 1 dvv0dt 2 dt(1.15)即帶電粒子速度的大小是常數(shù)。因此在解帶電粒子的運(yùn)動方程時，可以將視為常數(shù)。解的結(jié)果與非相對論情況的不同點(diǎn)僅僅在于盤旋頻率的差異：(1.16)帶電粒子在磁場中的運(yùn)動可以看作是垂直于磁場的盤旋運(yùn)動和盤旋引導(dǎo)中心的運(yùn)動即平行于磁場的運(yùn)動加上漂移運(yùn)動組成。2.盤旋引導(dǎo)中心的運(yùn)動首先，我們考慮帶電粒子在穩(wěn)恒、但空間上不一定均勻的磁場中的運(yùn)動過程。從上一節(jié)的討論可知，如果磁場不隨空間和時間變化，或者在帶電粒子所在的區(qū)

4、域內(nèi)可以將磁場近似的看成是不變的，帶電粒子將沿著磁力線作盤旋運(yùn)動。為了更好理解和處理在空間不均勻磁場中的帶電粒子的運(yùn)動， 我們將其分解為圍繞引導(dǎo)中心 的盤旋運(yùn)動和引導(dǎo)中心自身運(yùn)動兩局部。對于角頻率為 Q的盤旋運(yùn)動，其速度 v為:v = QXp(1.17)這里pt是盤旋的矢量半徑，它與v_, Q構(gòu)成相互垂直的右手體系。因而(1.18)在磁場中帶電粒子盤旋運(yùn)動角頻率矢量Q為:Q - -q - - b(1.19)(1.19)B這里b是磁場方向的單位向量。 帶電粒子除了沿著磁場方向運(yùn)動外，在垂直于磁場的方向上， 帶電粒子做盤旋運(yùn)動及漂移運(yùn)動。由于漂移運(yùn)動速度一般遠(yuǎn)小于盤旋運(yùn)動速度，帶電粒子運(yùn)動速度V的

5、垂直分量可以用盤旋運(yùn)動速度V g替代，在這種近似下，(1.18)式可以改寫為b vp(1.20)Q實(shí)際應(yīng)用中，卻是先用此式定義盤旋半徑p,因為假設(shè)還用(1.18)式，將會與(1.17)式一并陷入循環(huán)定義。我們也可以理解(1.20)式定義的盤旋半徑p為帶電粒子運(yùn)動的瞬時的盤旋半徑，在盤旋一周的過程中，假設(shè)同時有漂移運(yùn)動，帶電粒子的盤旋速度和半徑是隨時改變的。了解引導(dǎo)中心的運(yùn)動比了解帶電粒子的具體的運(yùn)動更有意義。引導(dǎo)中心的位置R(t)可以簡單求得：R=r(t)_ p(t)(1.21)這里r(t)是帶電粒子的瞬時位置。這實(shí)際上也可以看作是引導(dǎo)中心的定義。引導(dǎo)中心的運(yùn)動 速度vc可以求得:(1.22)

6、b v d / b、()v Q dt Q(1.22)式中出現(xiàn)的帶電粒子加速度可分為兩局部，其一是由磁場引起的旋轉(zhuǎn)，另一局部由其 他外力的總和f引起的加速度f+ qv匯Bf 丄(1.23)vv：; bm m在穩(wěn)恒近似的條件下，沒有快速變化的電場和磁場，對時間的偏導(dǎo)數(shù)可以忽略，只保存空間 位置改變引起的變化。因而(1.22)式中對時間t的隨體導(dǎo)數(shù)近似為(1.24)- v v dt 撫用(1.23)和(1.24)，化簡(1.22)式，得到引導(dǎo)中心運(yùn)動速度的三局部：(1.25)vc = v | v f v m其中v滬vb= (v b)b是帶電粒子沿平行磁場方向的運(yùn)動速度。平行速度是引導(dǎo)中心運(yùn)動速度的主

7、要局部。另外，(1.25)式中的第二項f b v fm Q是外力引起的垂直磁場方向的漂移，如電場漂移、重力漂移等。而vm 二 v (v 人)嚴(yán)它與磁場的大小(Qh B )和方向(b )在空間上的變化有關(guān)，是由空間磁場的不均勻性 引起的漂移，如磁場梯度漂移、曲率漂移等?，F(xiàn)在，我們得到的帶電粒子運(yùn)動大致圖像：首先，它主要是沿著磁力線運(yùn)動，同時還繞著磁力線旋轉(zhuǎn)。其次，引導(dǎo)中心會在外力作用下漂移偏離磁力線，其漂移方向與磁力線垂直，也與力的方向垂直。此外，磁場的不均勻性也能引起漂移運(yùn)動。(1.25)式的第三項(1.26)(1.27)F面我們詳細(xì)分析一下帶電粒子的各種漂移運(yùn)動。1) 電場力對于恒定的電場，

8、帶電粒子受力f二qE，電場引起的漂移速度EEx Bv e b 2(1.28)BB值得注意的是，電場漂移速度與帶電粒子的電荷的正負(fù)符號無關(guān)，也與帶電粒子的質(zhì)量無關(guān)。在等離子體中，離子和電子以相同的方向和速度漂移，不會造成的電荷別離。 事實(shí)上，我們?nèi)绻∫粋€以相對速度 vE運(yùn)動的新參考系(稱為 deHoffman-Teller參考系)，通過洛侖 茲變換可以發(fā)現(xiàn)，在新的參考系中電場為0，帶電粒子只是簡單地圍繞磁力線旋轉(zhuǎn)。而在我們原先的參考系中觀察，所有的電子和離子除了盤旋之外，均以一個相同的速度vE做漂移運(yùn)動。2)重力或其他恒定外力普通情況下，力總是引起與其方向一致的加速度。而在有磁場的情況下，力引

9、起的是個垂直方向的漂移速度，與日常經(jīng)驗有很大的不同。漂移速度的表達(dá)式為：qB2(1.29)這個速度與帶電粒子的質(zhì)量也沒有關(guān)系，但與其電荷有關(guān)。尤其對于電荷符號相反的帶電粒子，其漂移方向也相反。在等離子體中，電子和離子漂移方向不同，會引起電荷別離，從而 產(chǎn)生一些特殊的物理現(xiàn)象(如等離子體-磁場分界面上產(chǎn)生的瑞利-泰勒不穩(wěn)定性)。在討論磁場空間不均勻性引起的漂移問題之前，有必要先處理一下公式(1.26)的第三項，我們用vm代表這項磁場引起的漂移。相比其他兩項來說，這一項相對復(fù)雜。由于其中含有 運(yùn)動速度v，因而有盤旋運(yùn)動引起的隨時間快速變化的項。這些快速變化的項不是我們想要的，通過在一個盤旋周期中做

10、平均的方法可以消除掉。我們簡化v為只有平行運(yùn)動和盤旋運(yùn)動兩項，忽略所有的漂移運(yùn)動：(tjvb+v丄(1.30)盤旋運(yùn)動速度可以表示為：v_(t) : v_Xcos(*t) y?sin(-氏)(1.31)這里X, ?是兩個垂直于磁場的方向上的單位矢量，與b方向構(gòu)成右手系。由(1.30)，(1.31)，將公式(1.27)經(jīng)過一個盤旋周期的平均之后，磁場不均勻性引起的漂移平均速度為(vmUvfZ (b '燈)丄(1.32)其中、 =x yx 鋼二 b (b '、)='、 b( b )(1.33)是在垂直方向上的空間微分算符。在公式 磁力線方向b的變化，另一個是磁場強(qiáng)度 可計算

11、磁力線的曲率(1.32)中，磁場在空間的變化包括兩個局部，一是 B的變化。沿著磁力線方向看磁場方向的變化，(1.34)k-(b i)b(1.32)式可寫為2mv i2q -BB2(1.35)注意到(1.33)式，進(jìn)一步化簡 B -B2BB2b(Z) 丁j BB2 B3(1.36)利用矢量微分公式 (p q) = p Cq)q C p)(p '、)q(q ' )p(1.37)及b是單位向量的特性，曲率也可以表達(dá)為(1.38)1k = (b I)b-(b b) = -b Cb)2在垂直方向上磁場強(qiáng)度的梯度為(1.39)' _B 二 b (b i B)二b CB)-Bb Cb

12、)二 b %j Bk利用(1.33), (1.34)及(1.39)式，化簡(1.35)式：mv%(j)b_j 丄)2qB2(1.40)(1.41)在空間沒有電流時，由(1.39)可知由磁場引起的漂移速度為/、b 灼 BVm'(23 巧丁(1.42)其中，w.,w_分別是帶電粒子在平行方向和垂直方向的動能。磁場的空間不均勻性引起的漂 移運(yùn)動又可以分為兩局部，其中一局部漂移速度是離心力引起的，為mvpe BRqB2(1.43)尺方向相反。另一局部漂移速度是式中R為曲率半徑，eR是曲率半徑的方向單位矢量，與磁場梯度引起的，為BVgrad -'N- B2qB(1.44)這里(1.45)

13、是粒子的磁矩。而 _ B表達(dá)了磁場的梯度對帶電粒子所施加的等效作用力。在考慮空間有電流的情況下，引導(dǎo)中心的運(yùn)動速度為f BB %(1.46)vc =vb -qB -(2ww_)b看(如_ wa假設(shè)把漂移速度寫為與磁場相關(guān)的量，那么(1.35)為2土 b2亠b2bb K m I -b(b I) bk - b B bb k2"B2K丄(1.47)2b(b Cb)-£ b注意到(1.38)式，代換k,得K b (b Cb) -空 b2B(1.48)最后(1.49)2心 b V b) b +f x B * 噴 h 可 B * v|b 匯 k qB221B門3.帶電粒子在變化電場中的

14、漂移討論在有恒定磁場 B = B0ez和垂直于磁場的變化電場E = E°cos( t)ex(1.50)情況下帶電粒子的漂移運(yùn)動?？山膺\(yùn)動方程v 二亞 ex 1、ez m(1.51)得到:V = _j'v qEo cos tm(1.52)qEo Je"Ccos(<ot)dt m可得其中,qE。2 (i0cost) 們 sin (cot) )+v ©山。姒 m( )-、q dE 1Vx =v cos(t ： )22m dtq "E -v sin(t覚)22m Q -©Vyx方向的漂移為極化漂移,而在y方向的漂移類似于普通的電場漂移。(

15、1.53)(1.54)(1.55)(1.56)兩者漂移速度之比為上的量級。Q在-J '1的緩變電場情況下，極化漂移速度遠(yuǎn)小于普通的電場漂移速度，相比之下可 以忽略。在- J 1的高頻變化的電場情況下，極化漂移速度比普通的電場漂移速度更大, 顯得非常重要。4.守恒量和絕熱不變量對于在沒有電場和重力場等力場區(qū)域運(yùn)動的帶電粒子，其動能守恒。帶電粒子的運(yùn)動方程(1.1)兩端同時點(diǎn)乘速度 V,可以得到(1.15)式，從而證明了在這種情況下，帶電粒子動能 守恒。一般來說，對于廣義坐標(biāo)q , p是q對應(yīng)的廣義動量。如果運(yùn)動對于 q是周期的，那么對 于積分：I 八 pdq(1.57)是絕熱不變量，也即在系統(tǒng)變化的特征時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)長于運(yùn)動的周期的條件下,該物理量保持不變。這里積分在一個運(yùn)動周期上進(jìn)行，積分過程中保持系統(tǒng)的能量不變。假設(shè)系統(tǒng)是隨參量緩慢變化的，為簡化起見，假設(shè)系統(tǒng)只有一對廣義坐標(biāo)和廣義動量，即:H(p,q,(t)HE(t)(1.58)這里H是系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)。對于(1.57)的積分，被積函數(shù)p可以從(1.58)式反解為p =p(q