電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀課件

1、電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀Uniqueness Theorem 電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)“唯一性定理唯一性定理”的重要性的重要性 靜電場的基本規(guī)律是建立在庫侖定律基礎(chǔ)之上的,原則上講,用庫侖定律可以求任意電荷分布的電場,但前提是要求空間所有的電荷分布必須已知. 現(xiàn)在的問題是現(xiàn)在的問題是, ,如果需要求解一個區(qū)域內(nèi)的電場如果需要求解一個區(qū)域內(nèi)的電場, ,區(qū)域區(qū)域內(nèi)的電荷分布已經(jīng)給定內(nèi)的電荷分布已經(jīng)給定, ,而區(qū)域邊界上的電荷分布卻是未而區(qū)域邊界上的電荷分布卻是未知的知的, , 此時就不能利用庫侖定律此時就不能利用庫侖定

2、律例如 半徑為R0的導(dǎo)體球置于均勻外電場E0中。 但具有一定的邊界條件但具有一定的邊界條件, , 利用給定的邊界條件去解靜利用給定的邊界條件去解靜電場的泊松方程電場的泊松方程, ,這叫做靜電場的邊值問題這叫做靜電場的邊值問題. . 電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀 邊值問題的解法有許多種,如分離變量法、鏡像法、格林函數(shù)法等等,問題是采用其中任何一種方法所得到的解是不是唯一的、正確的? 只有唯一性定理才能對此做出明確的回答,這就是我們必須要學(xué)好唯一性定理的原因. 對于許多實際問題，往往需要根據(jù)給定的條件作一定對于許多實際問題，往往需要根據(jù)給定的條件作一定的分析，提出嘗

3、試解。如果所提出的嘗試解滿足唯一性定的分析，提出嘗試解。如果所提出的嘗試解滿足唯一性定理所要求的條件，它就是該問題的唯一正確的解。理所要求的條件，它就是該問題的唯一正確的解。電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀靜電勢的微分方程靜電勢的微分方程2邊值關(guān)系邊值關(guān)系復(fù)習(xí)上一節(jié)課的內(nèi)容SS21SSnn1122導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系常數(shù)s|sn電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀唯一性定理指出了必須附加什么樣的邊界條件,泊松方程的解才會是唯一的、正確的,下面分兩種情況進行討論.1) 絕緣介質(zhì)靜電問題的唯一性定理及證明絕緣介質(zhì)靜電問題的唯一

4、性定理及證明 在有限的邊界區(qū)域V 內(nèi)有幾種均勻的絕緣介質(zhì)Vi 、i (i = 1、2、3 ) ，V 中的自由電荷分布(或) 為已知，那么，當(dāng)V 的邊界面S 上的電勢 給定(或電勢的法向?qū)?shù)邊界條件) ，則V 內(nèi)的電場有唯一確定的解。電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀數(shù)學(xué)表述如下:ii2(在每個小區(qū)Vi)(在整個區(qū)域V 的邊界面S上給定,按約定,邊界面法線 指向V 外)n(在兩種絕緣介質(zhì)的分界面上)j ijjiinn 分界面法向單位矢量 由 指向 )nijSSn或以上的表達式,包括泊松方程、邊值關(guān)系和邊界條件統(tǒng)稱為定解問題. 唯一性定理指出,滿足以上定解問題的電勢解就是

5、區(qū)域V 中靜電場分布的唯一解. 它在每一個均勻小區(qū)內(nèi)滿足泊松方程,在任意兩個均勻小區(qū)的分界面上滿足邊值關(guān)系,在整個區(qū)域V 的邊界面上滿足給定的邊界條件SSn或電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀下面是對唯一性定理的證明。為了說理清楚，將證明分解下面是對唯一性定理的證明。為了說理清楚，將證明分解成幾步，首先證明區(qū)域成幾步，首先證明區(qū)域V 中只有一種均勻介質(zhì)的情況，然中只有一種均勻介質(zhì)的情況，然后再把它推廣到多種介質(zhì)分區(qū)分布的情形。后再把它推廣到多種介質(zhì)分區(qū)分布的情形。a)區(qū)域V 中只有一種均勻介質(zhì)的情形利用反證法證明:假設(shè)區(qū)域V 中存在兩個不同的解 和它們都能滿足同一個泊

6、松方程和邊界條件,下面我們將證明它們只能是同一個解.引入標(biāo)量函數(shù) ,令 = - 222 , , 0ii 電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀在區(qū)域邊界面S 上 0SSS, 0SSSnnn(給定第一類邊界條件)(給定第二類邊界條件)或下面需要證明的是,滿足以上方程和邊界條件的和頂多只能差一個常數(shù).利用矢量的微分運算公式:222 等式兩端對V 作體積分22VVVdV dVdV 電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀22VVVdV dVdV 式中 20 VsdV dS 在邊界面S 上,無論0S0Sn還是 ，都使0ssdSdSn 20VdV電動力學(xué)uniq

7、uenesstheorem唯一性定理完全解讀20VdV注意到 為非負(fù)數(shù),欲使上式成立,只有 ,即= C ,或-=C，以上說明和頂多差一個常數(shù),而電勢的附加常數(shù)對電場沒有影響,這就證明了和在物理上是同一個解,于是,唯一性定理得證.20電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀b)區(qū)域V 中有兩種各自均勻的介質(zhì)1 和2 的情形令1 = 1- 12110 V則有，（在 區(qū)內(nèi)）分別對應(yīng)V1 區(qū)和V2 區(qū)下面將證明,每一個區(qū)域的解都是唯一的.對V1 區(qū),設(shè)有兩個解1、1 都滿足V1 區(qū)的場方程和邊界條件電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀在V1區(qū)的外邊界1上11

8、0外或1110n外給定第二類邊界條件給定第一類邊界條件約定, 為V1 區(qū)邊界的法向單位矢量,指向V1 外部;1n令2 = 2- 22220 V則有，（在區(qū)內(nèi)）同理對V2 區(qū),設(shè)有兩個解2、2 都滿足V2 區(qū)的場方程和邊界條件電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀在V2區(qū)的外邊界2上220外給定第一類邊界條件或2220n外給定第二類邊界條件約定, 為V2 區(qū)邊界的法向單位矢量,指向V2外部;2n而在V1 和V2 區(qū)的公共界面(即內(nèi)邊界) 上,由電勢的邊值關(guān)系兩式左右分別相減,得1 = 2 2121電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀21212121n

9、nnn 2121nn又 兩式左右相減，得： 為內(nèi)邊界上的法向單位矢,按約定由介質(zhì)1 指向介質(zhì)2n下面我們要證明, 1和1 , 2和2頂多都只能差一個常數(shù)電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀先看V1 區(qū),利用微分恒等式2211111111 等式兩端對V1 作體積分111221111111111VVVdV dVdV 210 112111111sVdSdV 1111111VsdV dS 由高斯公式電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀其中S1 為V1 的邊界面,它由外邊界1 和內(nèi)邊界兩部分組成,即112111111sVdSdV 1111111111sdS

10、dSdS 外邊界1 內(nèi)邊界由前所述,外邊界1 上的面積分為零同理,對區(qū)域V2 ,重復(fù)以上過程,可得到121111111VdSdVn內(nèi)邊界222222222VdSdVn 內(nèi)邊界電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀nnnn21 ,121111111VdSdVn 內(nèi)邊界222222222VdSdVn 內(nèi)邊界1111111dSdSnn內(nèi)邊界2222222dSdSnn 內(nèi)邊界兩式分別相加得1222121122111222VVdSdVdVnn 內(nèi)邊界電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀1222121122111222VVdSdVdVnn 內(nèi)邊界2121nn由

11、電勢的邊值關(guān)系,在內(nèi)邊界上2112221112220VVdVdV欲使上式成立,只有 , ,即1和1, 2和2頂多差一個常數(shù),這說明,在每一個均勻小區(qū)內(nèi)的電場分布都是唯一的.1020電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀c）以上證明自然推廣到含有兩種以上均勻介質(zhì)的情況此時12n222111222nnn0VVVdVdVdV其中nVVVV11用類似的方法可以證明: ,從而區(qū)域V 中各處的電場分布一定是唯一的. 這樣,關(guān)于絕緣介質(zhì)靜電問題的唯一性定理得到了證明.12n0,0,0電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀 以上所討論的是區(qū)域內(nèi)只有絕緣介質(zhì)的情形.

12、如果區(qū)域內(nèi)有導(dǎo)體存在,情況會有不同,因為導(dǎo)體表面的電荷分布與導(dǎo)體外的電場是相互制約的,因而無法預(yù)先得知. 在這種情況下,必須對導(dǎo)體附加一些條件,區(qū)域內(nèi)的電場分布才能唯一被確定,這正是我們下面要討論的.電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀2）有導(dǎo)體存在的情況）有導(dǎo)體存在的情況 設(shè)區(qū)域V 中有若干導(dǎo)體，其余部分都是一種均勻介質(zhì),將扣除導(dǎo)體后的區(qū)域稱為V，V的邊界應(yīng)包括兩部分:V 的表面S(或V的外邊界) ，每個導(dǎo)體的表面Si (或V的內(nèi)邊界) .此時，要唯一地確定V內(nèi)的電場，除了前面提到的關(guān)于絕緣介質(zhì)的邊界條件外，還須對導(dǎo)體附加一定的條件。 附加的條件有兩種類型,一種是給定

13、每個導(dǎo)體的電勢 i ,另一種是給定每個導(dǎo)體所帶的總電量Qi電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀兩種類型分別表述如下:a）區(qū)域V 內(nèi)有若干導(dǎo)體，設(shè)除導(dǎo)體外的區(qū)域V內(nèi)的自由電荷分布已知，V的外表面S 上有已知的值或 值，此外，若每個導(dǎo)體表面的電勢 i 也已知，則區(qū)域V內(nèi)的電場有唯一解。n 這種類型的唯一性定理和前面關(guān)于絕緣介質(zhì)的唯一性定理的證明過程完全相同(只不過這里只有一種介質(zhì)) ，區(qū)別僅在于這里V的邊界面有兩個(外表面S 和內(nèi)表面Si ) ，只要導(dǎo)體表面的電勢給定,則V的所有內(nèi)、外表面上都有一定的值或 值，應(yīng)用關(guān)于絕緣介質(zhì)的唯一性定理，則V內(nèi)的電場必有唯一解.n電動力學(xué)

14、uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀b）區(qū)域V 內(nèi)有若干導(dǎo)體,假設(shè)除導(dǎo)體以外的區(qū)域V內(nèi)的自由電荷分布已知，V的外表面S 上有已知的值或 值，此外，若每個導(dǎo)體所帶的總電量Qi 為已知，則區(qū)域V內(nèi)的電場有唯一解。n數(shù)學(xué)表示為:2i (在V 內(nèi))(已知)(已知),1,2,3iSQi （待定）SSn或,iS常數(shù)滿足以上定解問題的電場分布就是唯一解。電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀為了證明類型( ) ，我們把導(dǎo)體上電量已知的條件用電勢的法向?qū)?shù)來表示,即in上式中，約定每個導(dǎo)體表面的法向單位矢量 指向?qū)w外部。), (iQdSniSii321證明證明設(shè)區(qū)域V中

15、有兩個解和同時滿足以上方程和定解條件令 = - 222 +0 0iiiiiiiiSSSQQdSdSdS nnn 電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀222 +0 0iiiiiiiiSSSQQdSdSdS nnn 0SSS0SSSnnn或0iiiSSS 或常數(shù)(說明:導(dǎo)體電勢并未給定, 和可以不為零)令V的邊界面為S， S包括V的外表面S 和所有導(dǎo)體的表面Si電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀式中 20 VsdV dS 2sVdSdV 同樣利用矢量的微分運算公式同樣利用矢量的微分運算公式: :22 等式兩端對V 作體積分22VVVdV dVdV

16、考慮上式左端iiSSS iisssdSdSdS 電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀iisssdSdSdS 按約定,在S 面上, 為S 面上指向介質(zhì)外部的單位法向量, 在Si 面上, 為Si 面上指向介質(zhì)外的單位法向量(注意在這里 恰恰是指向?qū)w內(nèi)部）ndSnSd , iidSndS niniiisssdSdSdSnn 式中右端第一項0sdSn0iiiiiiisssdSdSdSnn 電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀20VdV即 , - =常數(shù), 和 頂多差一常數(shù)，說明V中電場有唯一解。這樣，有導(dǎo)體存在時靜電問題的唯一性定理也得到證明。0最后需

17、要強調(diào)一點最后需要強調(diào)一點,盡管唯一性定理并不給出求解泊松方程的具體方盡管唯一性定理并不給出求解泊松方程的具體方法與步驟法與步驟,但它對于解決實際的邊值問題有著重要的意義但它對于解決實際的邊值問題有著重要的意義. 首先首先,它明它明確了在哪些條件下可以唯一地確定一個靜電場確了在哪些條件下可以唯一地確定一個靜電場,即給出了求解靜電場即給出了求解靜電場的依據(jù)的依據(jù);其次其次,它使我們可以靈活地選用最簡單、最合適的解題方法它使我們可以靈活地選用最簡單、最合適的解題方法,甚至可以猜一個解甚至可以猜一個解(即提出嘗試解即提出嘗試解) . 只要這個解確實滿足了問題中只要這個解確實滿足了問題中的場方程和全部

18、定解條件的場方程和全部定解條件,那么那么,根據(jù)唯一性定理我們就可以肯根據(jù)唯一性定理我們就可以肯定地說定地說,它就是該問題中的唯一正確的解它就是該問題中的唯一正確的解.電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀例題1(P62），兩同心導(dǎo)體球殼之間充以兩種介質(zhì)，左半部電容率為1，右半部電容率為 2，設(shè)內(nèi)球殼半徑為a，帶總電荷Q，外球殼接地，半徑為b。求電場和球殼上的電荷分布。baS1S221rn2121212120 (1,2) 0iinnSQS在交界面上 在 面上 , 已知在 面上 , 已知解解:設(shè)兩介質(zhì)內(nèi)的電勢、電場強度和電位移分別為 和111,DE 222,DE 電動力學(xué)un

19、iquenesstheorem唯一性定理完全解讀(23, AErr右半部）13, AErr( 左半部）ttEE12 如果我們假設(shè)如果我們假設(shè)E仍保持球?qū)ΨQ性，即仍保持球?qū)ΨQ性，即此時邊值關(guān)系得到滿足。此時邊值關(guān)系得到滿足。21nnDD由于左右兩半是不同介質(zhì)，因此一般不同于只有一由于左右兩半是不同介質(zhì)，因此一般不同于只有一種均勻介質(zhì)時的球?qū)ΨQ解。在找嘗試解時，我們先種均勻介質(zhì)時的球?qū)ΨQ解。在找嘗試解時，我們先考慮兩介質(zhì)分界面上的邊值關(guān)系考慮兩介質(zhì)分界面上的邊值關(guān)系baS1S221rn內(nèi)導(dǎo)體球面S1上的積分121122dddLRSSDSESESQ將電場值代入得QA )(221 解出解出)(221 QA電動力學(xué)uniquenesstheorem唯一性定理完全解讀則則 (1312 (2312, 2 (), 2 ()QrErQrEr 左半部）右半部）此解滿足唯一性定理的所有條件，因此是唯一正確的解此解滿足唯一性定理的所有條件，因此是唯一正確的解2121212120 (1,2) 0iinnSQS在交界面上 在 面上 , 已知在 面上 , 已知1131222312, 2 (),2 ()QrDrQrDr baS1S221rn電動力學(xué)uniquenessthe