高等數學第五章無窮級數

1、機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束1無窮級數無窮級數第五章第五章習題課習題課四、函數的冪級數四、函數的冪級數機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束2常數項級數常數項級數函數項級數函數項級數為常數為常數nu)(xuunn為函數為函數 1nnu主要內容主要內容機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束3)(0 xunn 求和求和)(xs展開展開(在收斂域內進行在收斂域內進行)(0 xunn 【基本問題基本問題】 判別斂散；判別斂散；求和函數求和函數(收斂域收斂域)；級數展開級數展開.為傅立葉級數為傅立葉級數.xnbxnaxunnnsinc

2、os)( 當當為傅氏系數為傅氏系數) 時時,時為數項級數時為數項級數;0 xx 當當nnnxaxu )(當當時為冪級數時為冪級數;nnba ,(機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束4一、數項級數的審斂法一、數項級數的審斂法利用部分和數列的極限判別數項級數的斂散性利用部分和數列的極限判別數項級數的斂散性. . 以及收斂級數的以及收斂級數的5 5條基本性質（條基本性質（p205同濟同濟p256）2. 正項級數的比較審斂法正項級數的比較審斂法均為正項級數，均為正項級數，和和設設 11nnnnvunnvu ), 2, 1( n且且則則(1)(1)若若 收斂，必有收斂，必有 收斂收

3、斂. . 1nnv 1nnu(2)(2)若若 發(fā)散，必有發(fā)散，必有 發(fā)散發(fā)散. . 1nnu 1nnv【注意其極限形式注意其極限形式 哦！哦！P215同濟同濟p258】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束5一、數項級數的審斂法一、數項級數的審斂法3. 正項級數審斂法正項級數審斂法必要條件必要條件0lim nnu不滿足不滿足發(fā)發(fā) 散散滿足滿足比值審斂法比值審斂法 lim n1 nunu 根值審斂法根值審斂法 nnnulim1 收收 斂斂發(fā)發(fā) 散散1 不定不定 比較審斂法比較審斂法其它法判別其它法判別部分和有界部分和有界1 利用基本性質和正項級數利用基本性質和正項級數審斂法就

4、可以判定審斂法就可以判定負項級負項級數數的斂散的斂散哦！哦！機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束63. 任意項級數審斂法任意項級數審斂法為為收斂收斂級數級數 1nnuLeibnitz判別法判別法: 若若,01 nnuu且且,0lim nnu則交錯級數則交錯級數nnnu 11)1(收斂收斂 ,概念概念且且 ，余項，余項.1 nnur 1nnu若若收斂收斂 , 1nnu稱稱絕對收斂絕對收斂 1nnu若若發(fā)散發(fā)散 , 1nnu稱稱條件收斂條件收斂1us 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束7級數審斂法表格一覽級數審斂法表格一覽交錯級數交錯級數任意項級數任意

5、項級數1.2. .4. .絕對收斂絕對收斂p224p2244.Leibnitz.Leibnitz定理定理 p223p223同濟同濟2622623. .按基本性質按基本性質; ;,則則級級數數收收斂斂若若ssn;, 0,則則級級數數發(fā)發(fā)散散當當 nun正項級數正項級數4. .充要條件充要條件5. .比較法比較法p212p2126. .比值法比值法p216p2167. .根值法根值法p220p2205. .條件收斂條件收斂同濟同濟p263p263機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束8注：注：1.調和級數調和級數與與 p 級數級數是兩個常用的比較級數。是兩個常用的比較級數。若存

6、在,ZN對一切,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 注：注：2.幾何級數幾何級數（p205同濟同濟p250）也是常用的比較級數。也是常用的比較級數。11,1 ( 0)1,pnpppnp當時收斂級數常數當時發(fā)散例例1. 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束9【解】【解】時時如如果果1| q12 nnaqaqaqasqqan 1)1(,1時時當當 q0lim nnqqasnn 1lim,1時時當當 q nnqlim nnslim 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散時時如如果果1 q,1時時當當 q,1時時當

7、當 q nasn 級數級數發(fā)散發(fā)散 aaaa 級數變?yōu)榧墧底優(yōu)?02 nsaasn 12機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束10不不存存在在nns lim 級數級數發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)散發(fā)散時時當當收斂于收斂于時時當當,11,10qqaqaqnn要求熟記該結論要求熟記該結論【解】【解】nnnu 1232,343n 已知級數為等比級數，已知級數為等比級數，,34 q公比公比, 1| q.原級數發(fā)散原級數發(fā)散機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束11例例4. 判別下列級數的斂散性: .)1(1)2( ;1ln)1(11 nnnnnn【解】【解】 (1)

8、12ln ns nnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln )1ln( n） n(所以級數所以級數 (1) 發(fā)散發(fā)散 ;技巧技巧利用利用 “拆項相消拆項相消” 求求和和23ln 34ln nn1ln 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束12(2) )1(1431321211 nnsn 211111 n） n(1所以級數所以級數 (2) 收斂收斂, 其和為其和為 1 . 3121 4131 111nn技巧技巧 利用利用 “拆項相消拆項相消” 求求和和【小結】【小結】在用定義判別級數的斂散性時，必須設法求出在用定義判別級數的斂散性時，必須設法求出sn的具體的具體有限表

9、達式，即須有限表達式，即須將將sn中的省略號中的省略號“”消去消去，才能求，才能求極限極限nns lim，否則不能直接求出，否則不能直接求出. .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束13證明級數1) 1(1nnn發(fā)散 .證證: 因為2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而級數111nn21kk發(fā)散根據比較審斂法可知, 所給級數發(fā)散 .例例5 5.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,1 1 nnn設級數設級數nnnnnu1 n1 )(0 n故級數收斂故級數收斂. .例例6.6.（根值審斂法）機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束14的斂散性

10、. nnn1lim例例7. 判別級數判別級數11sinnn的斂散性 .解解: nlim sin1nn11根據比較判別法的極限形式知.1sin1發(fā)散nn例例8. 判別級數1211lnnn解解:nlim221limnnn1根據比較判別法的極限形式知.11ln12收斂nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束15 limn例例9. 討論級數討論級數)0(11xxnnn的斂散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根據定理4可知:,10時當 x級數收斂 ;,1時當 x級數發(fā)散 ;

11、.1發(fā)散級數nn,1時當 x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 【練習】【練習】 P264(同濟同濟p254;p268)【根值法也可以哦！根值法也可以哦！】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束16例例10. 設正項級數設正項級數 1nnu和和 1nnv 12)(nnnvu也收斂也收斂 .提示提示 因因,0limlim nnnnvu存在存在 N 0,nnnnvvuu 22,又因又因)(222nnvu )()(2Nnvunn 利用收斂級數的性質及比較判斂法易知結論正確利用收斂級數的性質及比較判斂法易知結論正確.都收斂都收斂, 證明級數證明級數當當n N 時時2)(nnvu 【

12、練習】【練習】 設正項級數設正項級數 1nnu和和 1nnv都收斂都收斂, 證明級數證明級數. ,11也也都都收收斂斂 nnnnnnuvu【另用比較法的極限形式處理也可以另用比較法的極限形式處理也可以!】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束17;1ln)1()3(1 nnnn例例11.討論下列級數的絕對收斂性與條件收斂性討論下列級數的絕對收斂性與條件收斂性:;1)1()1(1 npnn;1sin)1()2(111 nnnn .! )1()1()4(11 nnnnn提示提示 (1) p 1 時時, 絕對收斂絕對收斂 ;0 p 1 時時, 條件收斂條件收斂 ;p0 時時, 發(fā)

13、散發(fā)散 .(2) 因各項取絕對值后所得因各項取絕對值后所得大大級數級數 原級數絕對收斂原級數絕對收斂 .故故 ,111收斂收斂 nn 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束18 11ln)1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun 因因單調遞減單調遞減, 且且所以原級數僅所以原級數僅條件收斂條件收斂 .由由Leibnitz判別法知級數判別法知級數收斂收斂 ;0lim nnu但但由于由于 1 )11ln(nn 與調和級數比較與調和級數比較,知知 1|nnu發(fā)散發(fā)散機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束19 11! )1()1()4(nnnnn因因 nn

14、uu12)1(! )2( nnn1)111(12 nnnn1! )1( nnn n11 e所以原級數絕對收斂所以原級數絕對收斂 .【練習】【練習】 P266(同濟同濟p254;p268)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束20二、求冪級數收斂域的方法二、求冪級數收斂域的方法 標準形式冪級數標準形式冪級數: 先求收斂半徑先求收斂半徑 R , 再討論再討論Rx 非標準形式冪級數非標準形式冪級數通過換元轉化為標準形式通過換元轉化為標準形式 p234例例4直接用比值法或根值法直接用比值法或根值法p234例例5處的斂散性處的斂散性 .p231 同濟同濟p272例例1.求下列級數的收

15、斂域求下列級數的收斂域:1(1);2nnnxn21(2).2nnnnx（同濟（同濟P274例例4例例5）機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束21【解解】11lim2nnnaa當當2x 因此級數因此級數 2, 2 ).時時,1(1)2nnnxn2,R22x即時原級數收斂時原級數收斂 .收斂域為收斂域為原級數為原級數為11nn11( 1)nnn為調和級數，故發(fā)散。為調和級數，故發(fā)散。當當時，時，原級數為原級數為 收斂。收斂。2x機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束2221(2)2nnnnx)()(lim1xuxunnn 【解解】 因因)1(2121 nn

16、xn22x nnxn22,122 x當當時，時，即即22 x,2時時當當 x故收斂域為故收斂域為. )2,2( 級數收斂級數收斂;一般項一般項nun 不趨于不趨于0, nlim級數發(fā)散級數發(fā)散; , 1212 x當當,2時時即即 x級數發(fā)散級數發(fā)散, ,機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束23【解】【解】 3523222xxx級數為級數為缺少偶次冪的項缺少偶次冪的項)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 級數收斂級數收斂, , 1212 x當當,2時時即即 x不能直接應用定理不能直接應用定理2, 故直接由比值審斂法求收斂半徑故直接由

17、比值審斂法求收斂半徑., 1212 x當當,2時時即即 x級數發(fā)散級數發(fā)散, ,.2 R機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束24,2時時當當 x,211 n級數為級數為,2時時當當 x,211 n級數為級數為級數發(fā)散級數發(fā)散, ,級數發(fā)散級數發(fā)散, ,原級數的收斂域為原級數的收斂域為).2, 2( 【注意】【注意】當冪級數缺少偶次項（或奇次項）時，當冪級數缺少偶次項（或奇次項）時， 不能應用定理不能應用定理2 求求R，此時應利用達朗，此時應利用達朗 貝爾貝爾比值法比值法來確定來確定R. .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束25例例3.12) 1(n

18、nnnx求冪級數的收斂域.解解: 令 ,1 xt級數變?yōu)閚nntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12當 t = 2 時, 級數為,11nn此級數發(fā)散;當 t = 2 時, 級數為,) 1(1nnn此級數條件收斂;因此級數的收斂域為,22t故原級數的收斂域為,212x即.31x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束26例例4.求下列冪級數的收斂域求下列冪級數的收斂域: :【解】【解】)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1時時當當 x,1時時當當 x,)1(1 nnn

19、級級數數為為,11 nn級級數數為為該級數收斂該級數收斂該級數發(fā)散該級數發(fā)散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束27nnna lim nn lim, , Rnnnaa1lim 11lim nn, 0 , 0 R;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.0處處收收斂斂級級數數只只在在 x機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束28nnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收斂收斂即即 x,)1 , 0(收收斂斂 x.)

20、21(2)1()4(1nnnnxn ,0時時當當 x,11 nn級數為級數為,1時時當當 x,)1(1 nnn級數為級數為發(fā)散發(fā)散收斂收斂故收斂域為故收斂域為(0,1.練習練習 p266. p266. 同濟同濟p277p277！機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束29 求部分和式極限求部分和式極限三、冪級數和函數的求法三、冪級數和函數的求法 求和求和 （p246 同同濟濟p281公式。公式。) 熟記熟記 公式哦公式哦! 映射變換法映射變換法 逐項求導或求積分逐項求導或求積分nnnxa 0)(*xS對和式積分或求導對和式積分或求導)(xS難難 初等變換法初等變換法: 分解、

21、套用公式分解、套用公式（在收斂區(qū)間內）（在收斂區(qū)間內）nnnxa 0運算性質運算性質:P235-236同濟同濟p275-276機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束30例例1. 1nnxn求冪級數的和函數解解: 易求出冪級數的收斂半徑為 1 , x1 時級數發(fā),)1,1(時故當x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束31例例2. 求級數求級數01nnnx的和函數. )(xS解解: 易求出冪級數的收斂半徑為 1 , 時級數且1x

22、01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx收斂 , 有時則當,0 x0111nnnxxxnnxxx00d1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ) 10( x1x及x0機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束32) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函數的連續(xù)性得:)(xS而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 x0機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束33 例例3. 1(2).(1)nnxn n;212)1(

23、)1(21 nnnxn【解解】 (1) )(21121 nnnx原式原式)120(2 x 12)2(1nnxx 222211xxx 22xx222)2(2xx 顯然顯然 x = 0 時上式也正確時上式也正確,. )2,2( x故和函數為故和函數為而在而在2 xx0,)2(2)(222xxxS 求下列冪級數的和函數：求下列冪級數的和函數：級數發(fā)散級數發(fā)散,機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束34(2)nnxnn 1111原原式式 xnntt011d xnnttx01d1ttxd110 tttxxd110 0 x)1ln(x )1(ln11xx )1(ln)11(1xx )10( x ttnnxd110 ttxnnxd110 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束35 1)1(nnnnx, )1(ln)11(1xx 顯然顯然 x = 0 時時, 和為和為 0 ; 根據和函數的連續(xù)性根據和函數的連續(xù)性 , 有有 )(xS110, )1(ln)11(1 xxxx及及0 0 x，1 1 x，10 xx = 1 時時, 級數也收斂級數也收斂 . 即得即得機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束36 例