高等數(shù)學(xué)第五章無窮級數(shù)

1、機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束1無窮級數(shù)無窮級數(shù)第五章第五章習(xí)題課習(xí)題課四、函數(shù)的冪級數(shù)四、函數(shù)的冪級數(shù)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束2常數(shù)項(xiàng)級數(shù)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)為常數(shù)為常數(shù)nu)(xuunn為函數(shù)為函數(shù) 1nnu主要內(nèi)容主要內(nèi)容機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束3)(0 xunn 求和求和)(xs展開展開(在收斂域內(nèi)進(jìn)行在收斂域內(nèi)進(jìn)行)(0 xunn 【基本問題基本問題】 判別斂散；判別斂散；求和函數(shù)求和函數(shù)(收斂域收斂域)；級數(shù)展開級數(shù)展開.為傅立葉級數(shù)為傅立葉級數(shù).xnbxnaxunnnsinc

2、os)( 當(dāng)當(dāng)為傅氏系數(shù)為傅氏系數(shù)) 時(shí)時(shí),時(shí)為數(shù)項(xiàng)級數(shù)時(shí)為數(shù)項(xiàng)級數(shù);0 xx 當(dāng)當(dāng)nnnxaxu )(當(dāng)當(dāng)時(shí)為冪級數(shù)時(shí)為冪級數(shù);nnba ,(機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束4一、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法一、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法利用部分和數(shù)列的極限判別數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性利用部分和數(shù)列的極限判別數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性. . 以及收斂級數(shù)的以及收斂級數(shù)的5 5條基本性質(zhì)（條基本性質(zhì)（p205同濟(jì)同濟(jì)p256）2. 正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法均為正項(xiàng)級數(shù)，均為正項(xiàng)級數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11nnnnvunnvu ), 2, 1( n且且則則(1)(1)若若 收斂，必有收斂，必有 收斂收

3、斂. . 1nnv 1nnu(2)(2)若若 發(fā)散，必有發(fā)散，必有 發(fā)散發(fā)散. . 1nnu 1nnv【注意其極限形式注意其極限形式 哦！哦！P215同濟(jì)同濟(jì)p258】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束5一、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法一、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法3. 正項(xiàng)級數(shù)審斂法正項(xiàng)級數(shù)審斂法必要條件必要條件0lim nnu不滿足不滿足發(fā)發(fā) 散散滿足滿足比值審斂法比值審斂法 lim n1 nunu 根值審斂法根值審斂法 nnnulim1 收收 斂斂發(fā)發(fā) 散散1 不定不定 比較審斂法比較審斂法其它法判別其它法判別部分和有界部分和有界1 利用基本性質(zhì)和正項(xiàng)級數(shù)利用基本性質(zhì)和正項(xiàng)級數(shù)審斂法就

4、可以判定審斂法就可以判定負(fù)項(xiàng)級負(fù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)的斂散的斂散哦！哦！機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束63. 任意項(xiàng)級數(shù)審斂法任意項(xiàng)級數(shù)審斂法為為收斂收斂級數(shù)級數(shù) 1nnuLeibnitz判別法判別法: 若若,01 nnuu且且,0lim nnu則交錯(cuò)級數(shù)則交錯(cuò)級數(shù)nnnu 11)1(收斂收斂 ,概念概念且且 ，余項(xiàng)，余項(xiàng).1 nnur 1nnu若若收斂收斂 , 1nnu稱稱絕對收斂絕對收斂 1nnu若若發(fā)散發(fā)散 , 1nnu稱稱條件收斂條件收斂1us 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束7級數(shù)審斂法表格一覽級數(shù)審斂法表格一覽交錯(cuò)級數(shù)交錯(cuò)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)任意

5、項(xiàng)級數(shù)1.2. .4. .絕對收斂絕對收斂p224p2244.Leibnitz.Leibnitz定理定理 p223p223同濟(jì)同濟(jì)2622623. .按基本性質(zhì)按基本性質(zhì); ;,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂若若ssn;, 0,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng) nun正項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)4. .充要條件充要條件5. .比較法比較法p212p2126. .比值法比值法p216p2167. .根值法根值法p220p2205. .條件收斂條件收斂同濟(jì)同濟(jì)p263p263機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束8注：注：1.調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)與與 p 級數(shù)級數(shù)是兩個(gè)常用的比較級數(shù)。是兩個(gè)常用的比較級數(shù)。若存

6、在,ZN對一切,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注：注：2.幾何級數(shù)幾何級數(shù)（p205同濟(jì)同濟(jì)p250）也是常用的比較級數(shù)。也是常用的比較級數(shù)。11,1 ( 0)1,pnpppnp當(dāng)時(shí)收斂級數(shù)常數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散例例1. 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束9【解】【解】時(shí)時(shí)如如果果1| q12 nnaqaqaqasqqan 1)1(,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q0lim nnqqasnn 1lim,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nnqlim nnslim 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)如如果果1 q,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q,1時(shí)時(shí)當(dāng)

7、當(dāng) q nasn 級數(shù)級數(shù)發(fā)散發(fā)散 aaaa 級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)?02 nsaasn 12機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束10不不存存在在nns lim 級數(shù)級數(shù)發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂于收斂于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),11,10qqaqaqnn要求熟記該結(jié)論要求熟記該結(jié)論【解】【解】nnnu 1232,343n 已知級數(shù)為等比級數(shù)，已知級數(shù)為等比級數(shù)，,34 q公比公比, 1| q.原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束11例例4. 判別下列級數(shù)的斂散性: .)1(1)2( ;1ln)1(11 nnnnnn【解】【解】 (1)

8、12ln ns nnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln )1ln( n） n(所以級數(shù)所以級數(shù) (1) 發(fā)散發(fā)散 ;技巧技巧利用利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 求求和和23ln 34ln nn1ln 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束12(2) )1(1431321211 nnsn 211111 n） n(1所以級數(shù)所以級數(shù) (2) 收斂收斂, 其和為其和為 1 . 3121 4131 111nn技巧技巧 利用利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 求求和和【小結(jié)】【小結(jié)】在用定義判別級數(shù)的斂散性時(shí)，必須設(shè)法求出在用定義判別級數(shù)的斂散性時(shí)，必須設(shè)法求出sn的具體的具體有限表

9、達(dá)式，即須有限表達(dá)式，即須將將sn中的省略號中的省略號“”消去消去，才能求，才能求極限極限nns lim，否則不能直接求出，否則不能直接求出. .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束13證明級數(shù)1) 1(1nnn發(fā)散 .證證: 因?yàn)?) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而級數(shù)111nn21kk發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知, 所給級數(shù)發(fā)散 .例例5 5.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,1 1 nnn設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù)nnnnnu1 n1 )(0 n故級數(shù)收斂故級數(shù)收斂. .例例6.6.（根值審斂法）機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束14的斂散性

10、. nnn1lim例例7. 判別級數(shù)判別級數(shù)11sinnn的斂散性 .解解: nlim sin1nn11根據(jù)比較判別法的極限形式知.1sin1發(fā)散nn例例8. 判別級數(shù)1211lnnn解解:nlim221limnnn1根據(jù)比較判別法的極限形式知.11ln12收斂nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束15 limn例例9. 討論級數(shù)討論級數(shù))0(11xxnnn的斂散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根據(jù)定理4可知:,10時(shí)當(dāng) x級數(shù)收斂 ;,1時(shí)當(dāng) x級數(shù)發(fā)散 ;

11、.1發(fā)散級數(shù)nn,1時(shí)當(dāng) x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 【練習(xí)】【練習(xí)】 P264(同濟(jì)同濟(jì)p254;p268)【根值法也可以哦！根值法也可以哦！】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束16例例10. 設(shè)正項(xiàng)級數(shù)設(shè)正項(xiàng)級數(shù) 1nnu和和 1nnv 12)(nnnvu也收斂也收斂 .提示提示 因因,0limlim nnnnvu存在存在 N 0,nnnnvvuu 22,又因又因)(222nnvu )()(2Nnvunn 利用收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確利用收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.都收斂都收斂, 證明級數(shù)證明級數(shù)當(dāng)當(dāng)n N 時(shí)時(shí)2)(nnvu 【

12、練習(xí)】【練習(xí)】 設(shè)正項(xiàng)級數(shù)設(shè)正項(xiàng)級數(shù) 1nnu和和 1nnv都收斂都收斂, 證明級數(shù)證明級數(shù). ,11也也都都收收斂斂 nnnnnnuvu【另用比較法的極限形式處理也可以另用比較法的極限形式處理也可以!】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束17;1ln)1()3(1 nnnn例例11.討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:;1)1()1(1 npnn;1sin)1()2(111 nnnn .! )1()1()4(11 nnnnn提示提示 (1) p 1 時(shí)時(shí), 絕對收斂絕對收斂 ;0 p 1 時(shí)時(shí), 條件收斂條件收斂 ;p0 時(shí)時(shí), 發(fā)

13、散發(fā)散 .(2) 因各項(xiàng)取絕對值后所得因各項(xiàng)取絕對值后所得大大級數(shù)級數(shù) 原級數(shù)絕對收斂原級數(shù)絕對收斂 .故故 ,111收斂收斂 nn 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束18 11ln)1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun 因因單調(diào)遞減單調(diào)遞減, 且且所以原級數(shù)僅所以原級數(shù)僅條件收斂條件收斂 .由由Leibnitz判別法知級數(shù)判別法知級數(shù)收斂收斂 ;0lim nnu但但由于由于 1 )11ln(nn 與調(diào)和級數(shù)比較與調(diào)和級數(shù)比較,知知 1|nnu發(fā)散發(fā)散機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束19 11! )1()1()4(nnnnn因因 nn

14、uu12)1(! )2( nnn1)111(12 nnnn1! )1( nnn n11 e所以原級數(shù)絕對收斂所以原級數(shù)絕對收斂 .【練習(xí)】【練習(xí)】 P266(同濟(jì)同濟(jì)p254;p268)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束20二、求冪級數(shù)收斂域的方法二、求冪級數(shù)收斂域的方法 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù): 先求收斂半徑先求收斂半徑 R , 再討論再討論Rx 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù)非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式 p234例例4直接用比值法或根值法直接用比值法或根值法p234例例5處的斂散性處的斂散性 .p231 同濟(jì)同濟(jì)p272例例1.求下列級數(shù)的收

15、斂域求下列級數(shù)的收斂域:1(1);2nnnxn21(2).2nnnnx（同濟(jì)（同濟(jì)P274例例4例例5）機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束21【解解】11lim2nnnaa當(dāng)當(dāng)2x 因此級數(shù)因此級數(shù) 2, 2 ).時(shí)時(shí),1(1)2nnnxn2,R22x即時(shí)原級數(shù)收斂時(shí)原級數(shù)收斂 .收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)樵墧?shù)為原級數(shù)為11nn11( 1)nnn為調(diào)和級數(shù)，故發(fā)散。為調(diào)和級數(shù)，故發(fā)散。當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，原級數(shù)為原級數(shù)為 收斂。收斂。2x機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束2221(2)2nnnnx)()(lim1xuxunnn 【解解】 因因)1(2121 nn

16、xn22x nnxn22,122 x當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，即即22 x,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x故收斂域?yàn)楣适諗坑驗(yàn)? )2,2( 級數(shù)收斂級數(shù)收斂;一般項(xiàng)一般項(xiàng)nun 不趨于不趨于0, nlim級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散; , 1212 x當(dāng)當(dāng),2時(shí)時(shí)即即 x級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散, ,機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束23【解】【解】 3523222xxx級數(shù)為級數(shù)為缺少偶次冪的項(xiàng)缺少偶次冪的項(xiàng))()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 級數(shù)收斂級數(shù)收斂, , 1212 x當(dāng)當(dāng),2時(shí)時(shí)即即 x不能直接應(yīng)用定理不能直接應(yīng)用定理2, 故直接由比值審斂法求收斂半徑故直接由

17、比值審斂法求收斂半徑., 1212 x當(dāng)當(dāng),2時(shí)時(shí)即即 x級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散, ,.2 R機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束24,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散, ,級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散, ,原級數(shù)的收斂域?yàn)樵墧?shù)的收斂域?yàn)?.2, 2( 【注意】【注意】當(dāng)冪級數(shù)缺少偶次項(xiàng)（或奇次項(xiàng)）時(shí)，當(dāng)冪級數(shù)缺少偶次項(xiàng)（或奇次項(xiàng)）時(shí)， 不能應(yīng)用定理不能應(yīng)用定理2 求求R，此時(shí)應(yīng)利用達(dá)朗，此時(shí)應(yīng)利用達(dá)朗 貝爾貝爾比值法比值法來確定來確定R. .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束25例例3.12) 1(n

18、nnnx求冪級數(shù)的收斂域.解解: 令 ,1 xt級數(shù)變?yōu)閚nntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12當(dāng) t = 2 時(shí), 級數(shù)為,11nn此級數(shù)發(fā)散;當(dāng) t = 2 時(shí), 級數(shù)為,) 1(1nnn此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域?yàn)?22t故原級數(shù)的收斂域?yàn)?212x即.31x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束26例例4.求下列冪級數(shù)的收斂域求下列冪級數(shù)的收斂域: :【解】【解】)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn

19、級級數(shù)數(shù)為為,11 nn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束27nnna lim nn lim, , Rnnnaa1lim 11lim nn, 0 , 0 R;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.0處處收收斂斂級級數(shù)數(shù)只只在在 x機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束28nnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收斂收斂即即 x,)1 , 0(收收斂斂 x.)

20、21(2)1()4(1nnnnxn ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,11 nn級數(shù)為級數(shù)為,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散收斂收斂故收斂域?yàn)楣适諗坑驗(yàn)?0,1.練習(xí)練習(xí) p266. p266. 同濟(jì)同濟(jì)p277p277！機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束29 求部分和式極限求部分和式極限三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法 求和求和 （p246 同同濟(jì)濟(jì)p281公式。公式。) 熟記熟記 公式哦公式哦! 映射變換法映射變換法 逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分nnnxa 0)(*xS對和式積分或求導(dǎo)對和式積分或求導(dǎo))(xS難難 初等變換法初等變換法: 分解、

21、套用公式分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)）（在收斂區(qū)間內(nèi)）nnnxa 0運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì):P235-236同濟(jì)同濟(jì)p275-276機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束30例例1. 1nnxn求冪級數(shù)的和函數(shù)解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , x1 時(shí)級數(shù)發(fā),)1,1(時(shí)故當(dāng)x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束31例例2. 求級數(shù)求級數(shù)01nnnx的和函數(shù). )(xS解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , 時(shí)級數(shù)且1x

22、01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx收斂 , 有時(shí)則當(dāng),0 x0111nnnxxxnnxxx00d1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 10( x1x及x0機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束32) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:)(xS而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x0機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束33 例例3. 1(2).(1)nnxn n;212)1(

23、)1(21 nnnxn【解解】 (1) )(21121 nnnx原式原式)120(2 x 12)2(1nnxx 222211xxx 22xx222)2(2xx 顯然顯然 x = 0 時(shí)上式也正確時(shí)上式也正確,. )2,2( x故和函數(shù)為故和函數(shù)為而在而在2 xx0,)2(2)(222xxxS 求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束34(2)nnxnn 1111原原式式 xnntt011d xnnttx01d1ttxd110 tttxxd110 0 x)1ln(x )1(ln11xx )1(ln)11(1xx )10( x ttnnxd110 ttxnnxd110 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束35 1)1(nnnnx, )1(ln)11(1xx 顯然顯然 x = 0 時(shí)時(shí), 和為和為 0 ; 根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性 , 有有 )(xS110, )1(ln)11(1 xxxx及及0 0 x，1 1 x，10 xx = 1 時(shí)時(shí), 級數(shù)也收斂級數(shù)也收斂 . 即得即得機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束36 例