解析法在幾何中的應(yīng)用 -

1、解析法在幾何中的應(yīng)用姓 名：周瑞勇學(xué) 號：專 業(yè)：物理學(xué)指導(dǎo)教師：何巍巍解析法在幾何的應(yīng)用周瑞勇大慶師范學(xué)院物理與電氣信息工程學(xué)院摘 要：通過分析幾何問題中的各要素之間的關(guān)系，用最簡練的語言或形式化的符號來表達(dá)他們的關(guān)系，得出解決問題所需的表達(dá)式，然后設(shè)計(jì)程序求解問題的方法稱為解析法。關(guān)鍵詞：幾何問題，表達(dá)關(guān)系，表達(dá)式，求解問題一 前 言幾何學(xué)的歷史深遠(yuǎn)悠久，歐幾里得總結(jié)前人的成果，所著的幾何原本。一直是幾何學(xué)的堅(jiān)固基石，至今我國中學(xué)教學(xué)的幾何課本仍未脫離他的衣缽。長期的教學(xué)實(shí)踐證明，采用歐式體系學(xué)習(xí)幾何是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的行之有效的方法。但是，事物都有兩重性。實(shí)踐同樣證明，過多強(qiáng)調(diào)它的作

2、為也是不適當(dāng)?shù)摹３醯葞缀蔚臉?gòu)思之難，使人們?yōu)榇瞬恢馁M(fèi)了多少精力，往往為尋求一條神奇、奧秘的輔助線而冥思苦索。開辟新的途徑，已是勢在必行。近些年來，用解析法、向量法、復(fù)數(shù)法、三角法證明幾何問題，受到越來越多的數(shù)學(xué)工作者的重視。由于平面幾何的內(nèi)容，只研究直線和園的問題，所以我們完全可以用解析法來研究幾何問題。解析法不僅具有幾何的直觀性，而且也還有證明方法的一般性。綜合幾何敘述較簡，但構(gòu)思困難，而解析法思路清晰，過程簡捷，可以作為證明幾何問題中一種輔助方法，兩者課去唱補(bǔ)短，想得益彰。二 解析法概述幾何數(shù)學(xué)主要是從幾何圖形這個側(cè)面去研究客觀事物的，其基本元素是點(diǎn)，代數(shù)學(xué)則主要是從數(shù)量關(guān)系這個側(cè)面來研

3、究客觀事物，其基本元素是數(shù)。笛卡爾綜合了前人的成果，創(chuàng)立了坐標(biāo)概念，把代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)結(jié)合起來，于是產(chǎn)生了以研究點(diǎn)的位置和一對有序?qū)崝?shù)的關(guān)系、方程和曲線以及有研究連續(xù)運(yùn)動而產(chǎn)生的一般的變量概念為主要內(nèi)容的新的數(shù)學(xué)分支解析幾何學(xué)。平面幾何是研究平面圖形性質(zhì)的科學(xué)。組成平面圖形的元素是點(diǎn)、線（包括曲線）。平面解析幾何采用了坐標(biāo)系，用代數(shù)方法來研究平面幾何圖形。所以。平面幾何和平面解析幾何是緊密聯(lián)系的。我們通過坐標(biāo)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為用代數(shù)的方法來論證。這種方法稱為解析法。三 用解析法的幾何證明證線段的相等：用解析法證線段相等，首先求出有觀點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式。此外還可以利用點(diǎn)到直線的距離公式

4、，直線內(nèi)分線段比公式（證其比值為1），以及利用中心對稱或軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)來證明。證角的相等：利用直線斜率的定義，分別求出夾這兩個角的邊的斜率，利用兩條直線夾角公式得到這兩個角的正切值相等，在判定這個角是在某一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)則它們相等。證兩直線平行或垂直：先求出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，證這兩條直線的斜率相等；若斜率不存在時，證這兩直線于y抽平行；若有一條直線重合于坐標(biāo)軸，證另一條直線有兩點(diǎn)縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)相等。證不等問題：用兩點(diǎn)間距離公式，兩條直線夾角公式把它轉(zhuǎn)化為證明不等式問題，從而運(yùn)用不等式的性質(zhì)來證明。證點(diǎn)共線或線共點(diǎn)：建立經(jīng)過任意兩點(diǎn)的直線方程，然后驗(yàn)證其余點(diǎn)都適合這個方程；或運(yùn)用兩點(diǎn)之間距離公式或直

5、線內(nèi)外分段成比例公式證其滿足梅氏定理的逆定理。證點(diǎn)共圓或園共點(diǎn)：求出有關(guān)各點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式證諸點(diǎn)到某一點(diǎn)的距離相等；或先建立經(jīng)過三點(diǎn)的園的方程，然后證其余點(diǎn)適合圓的方程。證比例式或等積式：運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式求出線段的長度，再證它們的比相等或求出它們的乘積加以比較。證定值問題：先寫出固定點(diǎn)的坐標(biāo)系建立有關(guān)的固定直線（或圓）的方程，并運(yùn)用兩點(diǎn)距離公式和兩直線夾角公式，求出欲證的線段（定長）或直線（定向、定位）與固定圖形的元素加以比較，從而說明是定值。四 解析法的幾何計(jì)算長度計(jì)算：適當(dāng)建立坐標(biāo)系求出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)以后，常運(yùn)用兩點(diǎn)間公式、點(diǎn)到直線的距離、切線長公式；在求兩線段的比時常運(yùn)用直線內(nèi)外分線段比公式。角度的計(jì)算：求出用有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率定義、兩條直線夾角公式得到欲求角度的正切值，再利用正切函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性求出角的度數(shù)。面積的計(jì)算：運(yùn)用有三點(diǎn)坐標(biāo)做確定的上三角形的面積公式及四點(diǎn)坐標(biāo)所確定的四邊形面積公式。五 結(jié)論我們可以運(yùn)用解析法，同時要善于使用平面直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、斜坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系中的有關(guān)公式和方程來解決解決問題。參考文獻(xiàn)：1陳德華.例談解析法誘導(dǎo)綜合法解初等幾何題.蒙自師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào).編輯部郵箱 2002年 04期.2 孟利忠.強(qiáng)化解析法在立體幾何中的應(yīng)用 數(shù)