高等數(shù)學(xué)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)

1、1北京工業(yè)大學(xué)北京工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教程高等數(shù)學(xué)教程2為什么要研究無窮級數(shù)為什么要研究無窮級數(shù)是進(jìn)行數(shù)值計算的有效工具是進(jìn)行數(shù)值計算的有效工具( (如計算函數(shù)值、如計算函數(shù)值、出它的威力出它的威力. . 在自然科學(xué)和工程技術(shù)中在自然科學(xué)和工程技術(shù)中, ,也常用無窮也常用無窮無窮級數(shù)是數(shù)和函數(shù)的一種表現(xiàn)形式無窮級數(shù)是數(shù)和函數(shù)的一種表現(xiàn)形式. .因無窮級數(shù)中包含有許多非初等函數(shù)因無窮級數(shù)中包含有許多非初等函數(shù), ,故它在積分運(yùn)算和微分方程求解時故它在積分運(yùn)算和微分方程求解時, ,也呈現(xiàn)也呈現(xiàn)如諧波分析等如諧波分析等. .造函數(shù)值表）造函數(shù)值表）. .級數(shù)來分析問題級數(shù)來分析問題, ,3引例 一人騎車

2、從距家一人騎車從距家a公里處以每小時公里處以每小時b公里的公里的速度回家速度回家. 一只蒼蠅以每小時一只蒼蠅以每小時2b公里的速度在公里的速度在車的前輪和家門之間往返飛行車的前輪和家門之間往返飛行. 問：騎車人到問：騎車人到家時，蒼蠅飛行了多少公里家時，蒼蠅飛行了多少公里. 第一個往返，人與蒼蠅通過的路程之和是第一個往返，人與蒼蠅通過的路程之和是2a公里公里. 蒼蠅速度是人的蒼蠅速度是人的2倍倍. 所以蒼蠅飛行了所以蒼蠅飛行了34a公里公里, 人走了人走了32a公里公里, 距家距家3a公里公里.4a34a132a次數(shù)次數(shù) 距家距家 人人 蒼蠅蒼蠅3a23494aa 292a9a334274aa

3、 3272a13 nana34nna325.23111343434343432aaaaaan 騎車人走了騎車人走了a公里公里, 蒼蠅速度是人的蒼蠅速度是人的2倍倍, 飛了飛了2a公里公里.67.1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)7.1.1 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念給給定定一個一個常數(shù)列常數(shù)列稱為稱為(常數(shù)項常數(shù)項)無窮級數(shù)無窮級數(shù), 簡稱簡稱級數(shù)級數(shù). ,321nuuuu nuuuu321 nnnuuuuu3211記為記為,1 nnu即即其中第其中第 n項項 稱為級數(shù)的稱為級數(shù)的一般項一般項, 或或通項通項.nu則表達(dá)式則表達(dá)式7 nnnuu

4、uuu3211(常數(shù)項常數(shù)項)無窮級數(shù)無窮級數(shù)一般項一般項如如 ;1031003103 n;1)1(41312111 nn.)1(11111 n以上均為以上均為(常常)數(shù)項數(shù)項級數(shù)級數(shù).(1)8這樣這樣, 級數(shù)級數(shù)(1)對應(yīng)一個部分和數(shù)列對應(yīng)一個部分和數(shù)列: nnuuus21稱無窮級數(shù)稱無窮級數(shù)(1)的的,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 按通常的加法運(yùn)算一項一項的加下去按通常的加法運(yùn)算一項一項的加下去,為級數(shù)為級數(shù)(1)的的,無窮級數(shù)定義式無窮級數(shù)定義式(1)的含義是什么的含義是什么?也算不完也算不完,永遠(yuǎn)永遠(yuǎn)那么如何計算那么如何計算?前前n項之和項之和第第n

5、部分和部分和. niiu1部分和數(shù)列可能存在極限部分和數(shù)列可能存在極限,也可能不存在極限也可能不存在極限.9nnuuus 21定義定義7.1 級數(shù)級數(shù) 的前的前n 項和項和 1nnu稱為級數(shù)的稱為級數(shù)的部分和部分和. 1nnus,ssn有有極極限限如如果果數(shù)數(shù)列列記為記為,limssnn 即即則稱級數(shù)則稱級數(shù) 收斂收斂, 1nnu極限極限s 稱為級數(shù)的稱為級數(shù)的和和,則稱級數(shù)則稱級數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散.注注: 如果級數(shù)發(fā)散如果級數(shù)發(fā)散, 只是形式上的和只是形式上的和, 無數(shù)值無數(shù)值 1nnu意義意義.如果部分和數(shù)列如果部分和數(shù)列 的極限不存在的極限不存在,ns nuuu2110 21nnnnu

6、ussr, 0lim nnr稱為級數(shù)稱為級數(shù)的的余項余項.顯然有顯然有當(dāng)當(dāng)n充分大時充分大時,當(dāng)級數(shù)收斂時當(dāng)級數(shù)收斂時, 其部分和其部分和 是級數(shù)和是級數(shù)和s的近似值的近似值.nss 誤差為誤差為ns注注常數(shù)項級數(shù)收斂常數(shù)項級數(shù)收斂(發(fā)散發(fā)散).nns lim(不存在不存在)存在存在11解解, 1 q如果如果12 nnaqaqaqasqaqan 1例例 討論討論等比級數(shù)等比級數(shù)(又稱又稱幾何級數(shù)幾何級數(shù))的收斂性的收斂性, 其中其中q 叫做級數(shù)的叫做級數(shù)的公比公比.)0(20 aaqaqaqaaqnnn,1時時當(dāng)當(dāng) q, 0lim nnqqasnn 1lim收斂收斂;,1時時當(dāng)當(dāng) q,lim

7、nnq nnslim 發(fā)散發(fā)散;12，如果如果1 q,1時時當(dāng)當(dāng) q,1時時當(dāng)當(dāng) q nasn發(fā)散發(fā)散; aaaa,lim不不存存在在nns 發(fā)散發(fā)散. 發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)收斂收斂時時當(dāng)當(dāng),1,10qqaqnn級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)?綜上所述綜上所述重要結(jié)論重要結(jié)論:. 1,1 q公比公比首項首項例例._) 1(_,11121 nnnnnqqq時時當(dāng)當(dāng)231qq qq 1公比為公比為q的幾何級數(shù)的和的幾何級數(shù)的和13討論級數(shù)討論級數(shù)的斂散性的斂散性.)0(ln31 aann解解例例因為因為 1ln3nna為公比的等比級數(shù)為公比的等比級數(shù),是以是以aln故故,1時時當(dāng)當(dāng)eae , 1|ln| a級數(shù)級數(shù)

8、收斂收斂.發(fā)散發(fā)散.ea10 當(dāng)當(dāng), 1|ln| a 發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng)收收斂斂時時當(dāng)當(dāng),1,10qqaqnn,時時或或ea 14證證 因因,2)1(dnnnasn 證明等差級數(shù)是發(fā)散的證明等差級數(shù)是發(fā)散的. nnslim所以所以, 該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散. 0, dda且且為為常常數(shù)數(shù)例例 形如形如 的級數(shù)稱為等差級數(shù)的級數(shù)稱為等差級數(shù), 其中其中 1)(nnda15解解)1(1321211 nnsn 1113121211nn例例 判定級數(shù)判定級數(shù) 的斂散性的斂散性.所以所以, 該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂, 且其和為且其和為1.,111 n1lim nns )1(1321211nn16的部分和分別為的

9、部分和分別為 .nns 及及則則nks 于是于是nnnnks limlim 證證性質(zhì)性質(zhì)1k是一常數(shù)是一常數(shù), 11nnnnkuu 與與令令nnkukuku 21 所以所以, 11nnnnukku7.1.2 收斂級數(shù)的基本性質(zhì)收斂級數(shù)的基本性質(zhì)如果級數(shù)如果級數(shù) 收斂于收斂于s, 1nnu并且其和為并且其和為ks.則則級數(shù)級數(shù) 也收斂也收斂, 1nnkunnsk lim,ks 結(jié)論結(jié)論: : 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), , 斂散性不變斂散性不變. .ks 17性質(zhì)性質(zhì)2,1sunn 且且,1 nnv.)(1 svunnn則則 1nnu若若 1nnv)(1n

10、nnvu 則則發(fā)散發(fā)散.,1 nnu若若收斂收斂,發(fā)散發(fā)散, 1nnv均均發(fā)散發(fā)散,)(1nnnvu 則則斂散性斂散性不確定不確定.證證 niiivu1)(極限的性質(zhì)極限的性質(zhì) niiinvu1)(lim niinniinvu11limlim即證即證.級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和 niiniivu11如果級數(shù)如果級數(shù) 都收斂都收斂, 11nnnnvu 與與結(jié)論結(jié)論: : 收斂收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減級數(shù)可以逐項相加與逐項相減. .18 例例 11131,21nnnn 1121nn 1121nn都收斂都收斂. 131nn 2111 113131nn無窮遞減等比級數(shù)的和無窮遞減等比級數(shù)的和qaS

11、 11 發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng)收收斂斂時時當(dāng)當(dāng),1,10qqaqnn 113121nnn311131 25 19性質(zhì)性質(zhì)3 添加或去掉添加或去掉有限項有限項不影響一個級數(shù)的斂散性不影響一個級數(shù)的斂散性.性質(zhì)性質(zhì)4 1nnu設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù)收斂收斂, 則對其各項任意加括號則對其各項任意加括號所得新級數(shù)所得新級數(shù)仍收斂仍收斂于原級數(shù)的和于原級數(shù)的和.證證 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm ,52s 93s ,nms 則則20四個相關(guān)命題四個相關(guān)命題:(1)(1)收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂. .(3)(3)收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收

12、斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂. .(2)(2)加括弧后發(fā)散的級數(shù)加括弧后發(fā)散的級數(shù), ,去括弧后仍發(fā)散去括弧后仍發(fā)散. .(4)(4)發(fā)散的級數(shù)加括弧后不一定發(fā)散發(fā)散的級數(shù)加括弧后不一定發(fā)散. .例如例如 1111 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散 )11()11(21證證 1nnus,1 nnnssu則則1limlimlim nnnnnnssu0 ss性質(zhì)性質(zhì)5 (級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件)若級數(shù)若級數(shù) 收斂收斂, 1nnulim0.nnu 則則所以所以0lim nnu必要條件必要條件不充分！不充分！收斂收斂 1 nnu22(1) 級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件, 常用判別級數(shù)

13、發(fā)散常用判別級數(shù)發(fā)散;(3) 必要條件不是充分條件必要條件不是充分條件., 0lim nnu有有 n131211如如調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)(2) 也可用于驗證數(shù)列的極限為也可用于驗證數(shù)列的極限為“0”;但級數(shù)是否收斂但級數(shù)是否收斂? 1)1(4332211nnn 發(fā)散發(fā)散注意注意:例如例如,23nnnssnn2121112 212 nn)lim(2nnnss , 0 ss nnn13121111發(fā)散發(fā)散重要結(jié)論重要結(jié)論:所以所以, 級數(shù)級數(shù)發(fā)散發(fā)散.這是不可能的這是不可能的, ),(210 n假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂, 其和為其和為 s.于是于是因因有有24兩個相關(guān)命題兩個相關(guān)命題:收斂收斂

14、 1 )1(nnu例如：例如：. 0lim nnu發(fā)散發(fā)散 1 )2(nnu. 0lim nnu. 01lim nn但但,11發(fā)散發(fā)散調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) nn25例例 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性)1( 13)32)(12)(12(52nnnnnn)2( 1)1(3nnnnn 133ln31nnnn)3(級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件常用判別級數(shù)發(fā)散常用判別級數(shù)發(fā)散. ., 0lim nnu解題思路解題思路26)1( 13)32)(12)(12(52nnnnnn解解 由于由于 nnulim81 發(fā)散發(fā)散0 )32)(12)(12(52lim3 nnnnnn)2( 1)1(3nnnnn解解 由于由于 nnulim nnn111lim30 發(fā)散發(fā)散e327 133ln31nnnn)3( 解解 11nn 131nn而級數(shù)而級數(shù)33ln r33ln| r所以這個等比級數(shù)所以這個等比級數(shù) 133ln31nnnn發(fā)散發(fā)散.由由性質(zhì)性質(zhì)2知知,由由性質(zhì)性質(zhì)1知知,發(fā)散發(fā)散.因調(diào)和級數(shù)因調(diào)和級數(shù)發(fā)散發(fā)散,為公比的等比級數(shù)為公比的等比級數(shù)