高等數(shù)學(xué)-曲面及其方程

1、曲面及其方程曲面及其方程水桶的表面、臺燈的罩子面等水桶的表面、臺燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都滿滿足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都不不滿滿足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形曲面的實(shí)例：曲面的實(shí)例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念以下給

2、出幾例常見的曲面以下給出幾例常見的曲面.例例 1 1 建建立立球球心心在在點(diǎn)點(diǎn)),(0000zyxM、半半徑徑為為R的的球球面面方方程程. 解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是球球面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時方程為2222Rzyx 例例 2 2 求求與與原原點(diǎn)點(diǎn)O及及)4 , 3 , 2(0M的的距距離離之之比比為為2:1的的點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體所所組組成成的的曲曲面面方方程程. 解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，,21|0 MMMO根據(jù)

3、題意有根據(jù)題意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程為所求方程為例例 3 3 已已知知)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求求線線段段AB的的垂垂直直平平分分面面的的方方程程.設(shè)設(shè)),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程. 07262 zyx解解zxyo例例4 4 方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？1)2()1(22 yxz根據(jù)題意有根據(jù)題意有1 z用用平平面面cz 去去截截圖圖形形得得圓圓：)1(1)2

4、()1(22 ccyx 當(dāng)當(dāng)平平面面cz 上上下下移移動動時時，得得到到一一系系列列圓圓圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1半徑隨半徑隨c的增大而增大的增大而增大.圖形上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底解解c以上幾例表明研究空間曲面有以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題兩個基本問題：（2 2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（討論柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時，求曲面方程）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時，求曲面方程二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其

5、平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸播放播放xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM設(shè)設(shè)1)1(zz （2）點(diǎn)點(diǎn)M到到z軸軸的的距距離離|122yyxd 旋轉(zhuǎn)過程中的特征：旋轉(zhuǎn)過程中的特征：如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxfyoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程.得方程得

6、方程同同理理：yoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyf 平面曲線繞某軸旋轉(zhuǎn)，軸坐標(biāo)變量不變，平面曲線繞某軸旋轉(zhuǎn)，軸坐標(biāo)變量不變，而將曲線方程中的另一變量改寫成該變量與而將曲線方程中的另一變量改寫成該變量與第三個變量的平方和的正負(fù)平方根。第三個變量的平方和的正負(fù)平方根。例例5 5 直直線線L繞繞另另一一條條與與L相相交交的的直直線線旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周，所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面叫叫圓圓錐錐面面兩兩直直線線的的交交點(diǎn)點(diǎn)叫叫圓圓錐錐面面的的頂頂點(diǎn)點(diǎn)，兩兩直直線線的的夾夾角角 20叫叫圓圓錐錐面面的的半半頂

7、頂角角試試建建立立頂頂點(diǎn)點(diǎn)在在坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸為為z軸軸，半半頂頂角角為為 的的圓圓錐錐面面方方程程 xozy解解 yoz面上直線方程為面上直線方程為 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz oxzy 例例6 6 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程（1）雙曲線）雙曲線12222 czax分別繞分別繞x軸和軸和z軸；軸；繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czyax122222 czayx旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面（2）橢橢圓圓 012222xczay

8、繞繞y軸軸和和z軸軸；繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面（3）拋拋物物線線 022xpzy繞繞z軸軸；pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面播放播放定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的

9、特征特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中表表示示母母線線平平行行于于z軸軸的的柱柱面面，其其準(zhǔn)準(zhǔn)線線為為xoy面面上上曲曲線線C.（其他類推）（其他類推）實(shí)實(shí) 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y曲面方程的概念曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母線、準(zhǔn)線母線、準(zhǔn)線). 0),( zyxF四、小結(jié)四、小結(jié)思考題思考題 指出下列方程在平面解析幾何中和空指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？間解析幾何中分別表示什么圖形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy思考題解答思考題解答平面解析幾何