高數第十二章(2)常數項級數的審斂法

1、二、交錯級數及其審斂法二、交錯級數及其審斂法 三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂 第二節(jié)第二節(jié)一、正項級數及其審斂法一、正項級數及其審斂法常數項級數的審斂法常數項級數的審斂法 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第十二章 一、正項級數及其審斂法一、正項級數及其審斂法若,0nu1nnu定理定理 1. 正項級數1nnu收斂部分和序列nS),2, 1(n有界 .若1nnu收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數列nSnS有界, 故nS1nnu從而又已知故有界.則稱為正項級數 .單調遞增, 收斂 , 也收斂.證證: “ ”“ ”機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,Zn,nnvku 都有定理定

2、理2 (比較審斂法比較審斂法)設,1nnu1nnv且存在,ZN對一切,Nn 有(1) 若強級數1nnv則弱級數1nnu(2) 若弱級數1nnu則強級數1nnv證證:設對一切和令nSn則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .分別表示弱級數和強級數的部分和, 則有nnvku 是兩個正項級數, (常數 k 0 ),因在級數前加、減有限項不改變其斂散性, 故不妨機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (1) 若強級數1nnv則有nn lim因此對一切,Zn有nS由定理 1 可知,1nnu則有(2) 若弱級數1nnu,limnnS因此,limnn這說明強級數1nnv也發(fā)散 .knSnk也收斂 .發(fā)散,收斂,

3、弱級數機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 討論 p 級數pppn131211(常數 p 0)的斂散性. 解解: 1) 若, 1p因為對一切,Zn而調和級數11nn由比較審斂法可知 p 級數11npnn1發(fā)散 .發(fā)散 ,pn1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 , 1p因為當nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考慮強級數1121) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn故強級數收斂 , 由比較審斂法知 p 級數收斂 .時,1) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn12) 若機動 目錄

4、上頁 下頁 返回 結束 調和級數與 p 級數是兩個常用的比較級數.若存在,ZN對一切,Nn ,) 1(nkun, ) 1()2(pnkupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 , 0k證明級數1) 1(1nnn發(fā)散 .證證: 因為2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而級數111nn21kk發(fā)散根據比較審斂法可知, 所給級數發(fā)散 .例例2.2.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理3. (比較審斂法的極限形式),1nnu1nnv,limlvunnn則有兩個級數同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當 l = 0 ,1收斂時且nnv;1也收斂nnu(3) 當

5、 l = ,1發(fā)散時且nnv.1也發(fā)散nnu證證: 據極限定義, 0對,ZN存在lnnvu)(l設兩正項級數滿足(1) 當 0 l 時,時當Nn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 nnnvluvl)()(, l取由定理 2 可知與1nnu1nnv同時收斂或同時發(fā)散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn利用(3) 當l = 時,ZN存在,時當Nn ,1nnvu即nnvu 由定理2可知, 若1nnv發(fā)散 , ;1也收斂則nnu(1) 當0 l 3時,1) 1ln() 1(ln)(nnnfnnnf又因為, 0lnlimnnn由Leibniz 判別法,知1ln) 1(nnnn收斂 .例例12. 判別

6、級數121)1() 1(21nnnne的斂散性 .解解: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 先考察函數xexfx1)(在 x=0 的某個右鄰域的單調性 ., 1)(xexf)(xf在0 x時單調遞增.故, 01)(212121nenfn且隨 n 的增大而遞減.又因為, 0)(lim21nfn由Leibniz 判別法,知121)1() 1(21nnnne收斂 .三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂 定義定義: 對任意項級數,1nnu若若原級數收斂, 但取絕對值以后的級數發(fā)散, 則稱原級111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收斂 ,1nnu

7、數1nnu為條件收斂 .均為絕對收斂.例如例如 ：絕對收斂 ；則稱原級數條件收斂 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理7. 絕對收斂的級數一定收斂 .證證: 設1nnunv),2,1(n根據比較審斂法顯然,0nv1nnv收斂,收斂12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收斂)(21nnuu 且nv,nu收斂 , 令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例13. 證明下列級數絕對收斂 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn證證: (1),1sin44nnn而141nn收斂 ,14sinnnn收斂因此14sinnnn絕對收斂 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結

8、束 (2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收斂,絕對收斂.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例14. 判別級數121)1() 1(21nnnne是條件收斂，機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 還是絕對收斂？解解: 由例12知此級數收斂.下面說明它不是絕對收斂.,2111lim2121nnenn此級數不是絕對收斂。因此,它是條件收斂。其和分別為 絕對收斂級數與條件收斂級數具有完全不同的性質.*定理定理8. 絕對收斂級數不因改變項的位置而改變其和. ( P265 定理9 )說明說

9、明: 證明參考 P265P268, 這里從略.*定理定理9. ( 絕對收斂級數的乘法 ).S則對所有乘積 jivu1nnw按任意順序排列得到的級數也絕對收斂,設級數1nnv1nnu與都絕對收斂,S其和為但需注意條件收斂級數不具有這兩條性質. (P267 定理10) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 利用部分和數列的極限判別級數的斂散性2. 利用正項級數審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 任意項級數審斂法為

10、收斂級數1nnu設Leibniz判別法:01nnuu0limnnu則交錯級數nnnu1) 1(收斂概念:,1收斂若nnu1nnu稱絕對收斂,1發(fā)散若nnu條件收斂1nnu稱機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習設正項級數1nnu收斂, 能否推出12nnu收斂 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比較判斂法可知12nnu收斂 .注意注意: 反之不成立. 例如,121nn收斂 ,11nn發(fā)散 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業(yè)作業(yè) P268 1 -5第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題;) 1ln(1) 1 (1nn1. 判別級數的斂散性:.1)2(1nnnn解解: (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(111nn發(fā)散 , 故原級數發(fā)散 .11npnp:級數不是 p級數(2)nlimnnn1lim111nn發(fā)散 , 故原級數發(fā)散 .nnn1n1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. ),3,2, 1(0nun設, 1limnunn且則級數).() 1(11111nnuunn(A) 發(fā)散 ; (B) 絕對收斂;(C) 條件收斂 ; (D) 收斂性根據條件不能確定.分析分析:, 1limnunn由,11nun知 (B) 錯 ;)(2111uunS又)(3211uuC)(4311uu)(5411uu)