高等數(shù)學(xué)下冊(cè)7-5(14)

1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一一般般項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)收收斂斂半半徑徑R R泰勒展開(kāi)式泰勒展開(kāi)式數(shù)或函數(shù)數(shù)或函數(shù)函函 數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)任任意意項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)傅氏展開(kāi)式傅氏展開(kāi)式傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)0)(xR為常數(shù)為常數(shù)nu)(xuunn為為函函數(shù)數(shù)滿足狄滿足狄 氏條件氏條件0 xx 取取在收斂在收斂 級(jí)數(shù)與數(shù)級(jí)數(shù)與數(shù)條件下條件下 相互轉(zhuǎn)化相互轉(zhuǎn)化 1nnu一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容 nnnuuuuu32111 1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) ). . nii

2、nnuuuus121級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和定義定義級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散性質(zhì)性質(zhì)1 1: : 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .性質(zhì)性質(zhì)2 2: :收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. .性質(zhì)性質(zhì)3 3: :在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性散性.性質(zhì)性質(zhì)4 4: :收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來(lái)的和于原來(lái)的和. . 0lim nnu級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件:收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)

3、數(shù)審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正正 項(xiàng)項(xiàng) 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂若若SSn;, 0,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng) nun一般項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂定義定義0,1 nnnuu.有有界界部部分分和和所所成成的的數(shù)數(shù)列列正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂ns2 2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法審斂法審斂法(1) (1) 比較審斂法比較審斂法若若 1nnu收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) )且且)(nnnnv

4、uuv , ,則則 1nnv收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ). .(2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果如果lvunnn lim,則則(1) 當(dāng)當(dāng) l0時(shí)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性二級(jí)數(shù)有相同的斂散性; (2) 當(dāng)當(dāng)0 l時(shí)，若時(shí)，若 1nnv收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂; (3) 當(dāng)當(dāng) l時(shí)時(shí), 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散,則則 1nnu發(fā)散發(fā)散;設(shè)設(shè) 1nnu為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),如如果果0lim lnunn (或或 nnnulim),則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu發(fā)發(fā)散散;如如果果有有1 p, 使使得得npnun lim存存在

5、在,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂.( (3 3) ) 極極限限審審斂斂法法( (4 4) ) 比比值值審審斂斂法法( (達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) )設(shè)設(shè) 1nnu是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果如果)(lim1 數(shù)或數(shù)或nnnuu則則1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂;1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; 1 時(shí)時(shí)失失效效.(5) (5) 根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) )設(shè)設(shè) 1nnu是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), ,如果如果 nnnulim)( 為數(shù)或?yàn)閿?shù)或 , ,則則1 時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)收斂; ; 1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; ;1 時(shí)失

6、效時(shí)失效. .定義定義 正正 、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或萊萊布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)滿滿足足條條件件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn; ;( () )0lim nnu, ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂, ,且且其其和和1us , ,其其余余 項(xiàng)項(xiàng)nr的的絕絕對(duì)對(duì)值值1 nnur. .)0( nu其中其中3 3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義定義 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).定定理理 若若 1nnu收收斂斂,則則 1nn

7、u收收斂斂.定定義義: :若若 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 0nnu為為絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .4 4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法5 5、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1) (1) 定義定義設(shè)設(shè)),(,),(),(21xuxuxun是是定定義義在在RI 上上的的函函數(shù)數(shù), ,則則 )()()(211xuxuxunn稱稱為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間I上上的的( (函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)) )無(wú)無(wú)窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). .(2) (2) 收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域如如果果Ix 0,數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 10

8、)(nnxu收收斂斂,則則稱稱0 x為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))(1xunn 的的收收斂斂點(diǎn)點(diǎn), ,否則稱為否則稱為發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn). .所所有有發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為發(fā)發(fā)散散域域. .函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))(1xunn 的的所所有有收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為收收斂斂域域, ,(3) (3) 和函數(shù)和函數(shù)在收斂域上在收斂域上, ,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)的函數(shù))(xs, ,稱稱)(xs為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)和函數(shù). .(1) (1) 定義定義形形如如nnnxxa)(00 的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)稱稱為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x其其中中na為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).6 6、

9、冪級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)nnnxa 0如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處發(fā)發(fā)散散. .定定理理 1 1 ( (A Ab be el l 定定理理) )如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 0nnnxa在在)0(00 xxx處收斂處收斂, ,則則它在滿足不等式它在滿足不等式0 xx 的一切的一切x處絕對(duì)收斂處絕對(duì)收斂; ;(2) (2) 收斂性收斂性如如果果冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個(gè)個(gè)完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)R存存在在,

10、 ,它它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí), ,冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí),冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散;當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時(shí)時(shí), ,冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)可可能能收收斂斂也也可可能能發(fā)發(fā)散散. .推論推論定義定義: : 正數(shù)正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑收斂半徑.冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.定理定理 2 2 如果冪級(jí)數(shù)如果冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的所有系數(shù)的所有系數(shù)0 na,設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), 1R;(3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 R.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), R;a.a.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

11、代數(shù)運(yùn)算性質(zhì): : 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的的收收斂斂半半徑徑各各為為和和設(shè)設(shè) (3)(3)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收收斂斂域域內(nèi)內(nèi)b.b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): : 冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間),(RR 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù),在在

12、端端點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂,則則在在端端點(diǎn)點(diǎn)單單側(cè)側(cè)連連續(xù)續(xù). 冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間),(RR 內(nèi)內(nèi)可可積積,且且對(duì)對(duì)),(RRx 可可逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分. 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次.7 7、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 如如果果)(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處任任意意階階可可導(dǎo)導(dǎo),則則冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱稱為為)(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).nnnxnf 0)(!)0(稱稱為為)(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x的的麥麥克克

13、勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).(1) 定義定義定定理理 )(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于)(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)0)(lim xRnn. .(2) 充要條件充要條件(3) 唯一性唯一性定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)能能展展開(kāi)開(kāi)成成)(0 xx 的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,則則其其系系數(shù)數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且且展展開(kāi)開(kāi)式式是是唯唯一一的的. .(3) 展開(kāi)方法展開(kāi)方法a.a.直接法直接法( (泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(n

14、xfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討討論論).(xf斂斂于于則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)收收b.b.間接法間接法 根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見(jiàn)展開(kāi)式利用常見(jiàn)展開(kāi)式, 通過(guò)通過(guò)變量代換變量代換, 四則運(yùn)算四則運(yùn)算, 恒等變形恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積逐項(xiàng)積分分等方法等方法,求展開(kāi)式求展開(kāi)式.),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x(4) 常見(jiàn)函數(shù)展開(kāi)式常見(jiàn)函數(shù)展開(kāi)式)1 , 1( x nxnnxxx!)1

15、()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x(5) 應(yīng)用應(yīng)用a.a.近似計(jì)算近似計(jì)算b.b.歐拉公式歐拉公式,sincosxixeix ,2cosititeet ,2sinieetitit (1) (1) 三角函數(shù)系三角函數(shù)系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,上上的的積積分分等等于于零零任任意意兩兩個(gè)個(gè)不不同同函函數(shù)數(shù)在在正正交交性性 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函數(shù)系三角函數(shù)系8 8、傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù) nmnmnxdxmx, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0c

16、oscos0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其中其中(2) (2) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa定義定義三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)其中其中 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann稱為傅里葉級(jí)數(shù)稱為傅里葉級(jí)數(shù). 10)sincos(2nnnnxbnxaa(3) (3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分條件充分條件( (收斂定理收斂定理) ) 設(shè)設(shè))(xf是是以以 2為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù).如如果果它它滿滿足足條條件件:在在一一個(gè)個(gè)周周期期內(nèi)

17、內(nèi)連連續(xù)續(xù)或或只只有有有有限限個(gè)個(gè)第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn),并并且且至至多多只只有有有有限限個(gè)個(gè)極極值值點(diǎn)點(diǎn),則則)(xf的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂,并并且且(1) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的連續(xù)點(diǎn)時(shí)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于級(jí)數(shù)收斂于)(xf;(2) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的間斷點(diǎn)時(shí)的間斷點(diǎn)時(shí), 收斂于收斂于2)0()0( xfxf;(3) 當(dāng)當(dāng)x為為端端點(diǎn)點(diǎn) x時(shí)時(shí),收收斂斂于于2)0()0( ff. 如如果果)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù), 傅傅氏氏級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nxbnnsin1 稱稱為為正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).(4) (4) 正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù) 當(dāng)當(dāng)周周期期為為 2的的奇奇函函數(shù)數(shù))(xf展

18、展開(kāi)開(kāi)成成傅傅里里葉葉 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí),它它的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)為為 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann 當(dāng)當(dāng)周周期期為為 2的的偶偶函函數(shù)數(shù))(xf展展開(kāi)開(kāi)成成傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí),它它的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)為為), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann 如如果果)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù), 傅傅氏氏級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nxaanncos210 稱稱為為余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).奇延拓奇延拓: 0)(000)()(xxfxxxfxF令令的傅氏正弦級(jí)數(shù)的傅氏正弦級(jí)數(shù))(xf.sin)(1 nnnxbxf)0( x

19、(5) (5) 周期的延拓周期的延拓偶延拓偶延拓: 0)(0)()(xxfxxfxF令令的傅氏余弦級(jí)數(shù)的傅氏余弦級(jí)數(shù))(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( x式為式為則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的條件的條件滿足收斂定理滿足收斂定理的周期函數(shù)的周期函數(shù)設(shè)周期為設(shè)周期為,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 式式的的周周期期函函數(shù)數(shù)的的傅傅氏氏展展開(kāi)開(kāi)周周期期為為 l 2)6(), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln二、典型例題二、典型例題;)1()1(:1

20、1 nnnnnnn判斷級(jí)數(shù)斂散性判斷級(jí)數(shù)斂散性例例1 1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂;23cos)2(12 nnnn解解,223cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim11 nnn21lim , 121 ,21收收斂斂 nnn根據(jù)比較判別法，根據(jù)比較判別法，原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂 1).0(

21、)1()2ln()3(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 時(shí)時(shí)從而有從而有,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由由于于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1100時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) aa原級(jí)數(shù)收斂；原級(jí)數(shù)收斂；,1110時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) aa原級(jí)數(shù)發(fā)散；原級(jí)數(shù)發(fā)散；,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a,)11()2ln(1 nnnn原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為,)11()2ln(lim nnnn原級(jí)數(shù)也發(fā)散原級(jí)數(shù)也發(fā)散斂斂？是是條條件件收收斂斂還還是是絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂？如如果果收收散散，是是否否收收判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1ln)1(nnnn

22、例例解解,1ln1nnn ,11發(fā)散發(fā)散而而 nn,ln1ln)1(11發(fā)發(fā)散散 nnnnnnn即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂,ln)1(1級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是交交錯(cuò)錯(cuò) nnnn由萊布尼茨定理：由萊布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf,), 1(上上單單增增在在 ,ln1單減單減即即xx ,1ln1時(shí)時(shí)單單減減當(dāng)當(dāng)故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂故原級(jí)數(shù)是條件收斂.)1)(

23、1(0斂斂域域及及和和函函數(shù)數(shù)收收求求級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnxn例例解解, 1)1)(1(0 Rxnnn斂斂半半徑徑為為的的收收, 111 x收收斂斂域域?yàn)闉? 20 x即即則則有有設(shè)設(shè)此此級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)為為),(xs.)1)(1()(0 nnxnxs兩邊逐項(xiàng)積分兩邊逐項(xiàng)積分 011)1(nxnx 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 01)1(nnx)1(11 xx,21xx 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得兩邊再對(duì)兩邊再對(duì) x)21()( xxxs.)2(12x .1lnarctan)(2克勞林級(jí)數(shù)克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)成麥展開(kāi)成麥將將xxxxf 例例4 4解解,32)1ln(32 xxxx,)1(3

24、2)1ln(216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(1 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(2112)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022 nnnnnx)11( x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)成成的的和和函函數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)將將級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))1()!12(2)1(12111 xnxnnnn例例5 5解解設(shè)設(shè)法法用用已已知知展展開(kāi)開(kāi)式式來(lái)來(lái)解解的的展展開(kāi)開(kāi)式式，是是分分析析xnxnnnsin)!12(

25、)1(1121 112111211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx2sin2x 211sin2 x21sin21cos221cos21sin2 xx 012021)21()!12()1(21cos2)21()!2()1(21sin2nnnnnnxnxn 01202)1()!12(2)1(21cos)1()!2(2)1(21sin2nnnnnnnnxnxn),( 形形函函數(shù)數(shù)，同同時(shí)時(shí)畫畫出出它它的的圖圖寫寫出出該該級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和的的正正弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)并并在在為為周周期期內(nèi)內(nèi)展展開(kāi)開(kāi)成成以以在在將將 2220cos xxx例例6 6解解,cos),(,sincos

26、2), 0(cos)(1進(jìn)行奇開(kāi)拓進(jìn)行奇開(kāi)拓內(nèi)對(duì)內(nèi)對(duì)必須在必須在周期的正弦級(jí)數(shù)周期的正弦級(jí)數(shù)為為內(nèi)展開(kāi)成以內(nèi)展開(kāi)成以在在要將要將xnxbxxxfnn ),0 ,(cos, 00), 0(cos)(xxxxxxF令令 0sincos2nxdxxbn 0)1sin()1sin(1dxxnxn1)1(11)1(1111 nnnn mnnnmno2,)1(412,2)1( n, 0 na 012sin1xdxb, 0 12)0(.2sin)14(8cosmxmxmmx上級(jí)數(shù)的和函數(shù)為上級(jí)數(shù)的和函數(shù)為在在 22x ),2 ,()0 ,(cos2, 00),2(), 0(,cos)(xxxxxxs和函數(shù)的

27、圖形為和函數(shù)的圖形為xyo 2 2的的和和由由此此求求級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為周周期期的的付付氏氏級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，并并以以內(nèi)內(nèi)展展開(kāi)開(kāi)成成將將函函數(shù)數(shù) 1212)11(2)(nnxxxf例例7 7解解,)11(2)(是是偶偶函函數(shù)數(shù) xxxf 100)2(12dxxa, 5 101cos)2(12dxxnxan 10cos2xdxnx 10sin2xnxdn1)1(222 nn 12,42, 022knnkn), 2 , 1( k, 0 nb 122)12cos()12(4252kxkkx故故 122.)12()12cos(425kkxk)11( x, 0 x取取由上式得由上式得 122,)12(14252kk

28、 122,8)12(1kk 121212)2(1)12(11kknkkn而而,141)12(11212 kkkk3481212 nn.62 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)證證明明：624cos2212 xxnnxn例例8 8解解,24)(2xxxf 設(shè)設(shè)上展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)：上展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)：在在將將, 0)( xf 020)24(2dxxxa)412(233 ,33 02cos)24(2dxnxxansin)22(sin)24(2002nxdxxnxxxn nxdxncos)22(202 222 n.12n )0(cos6241222 xnnxxn故故624cos2212 xxnnn一一、 選選擇擇題題: :1 1

29、、下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)中中, ,收收斂斂的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 11nn； ( (B B) ) 11nnn； ( (C C) ) 1321nn； ( (D D) ) 1)1(nn. .2 2、下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)中中, ,收收斂斂的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 11)45( nn； ( (B B) )11)54( nn； ( (C C) )111)45()1( nnn； ( (D D) ) 11)5445(nn. .測(cè)測(cè) 驗(yàn)驗(yàn) 題題3 3、下列級(jí)數(shù)中、下列級(jí)數(shù)中, ,收斂的是收斂的是( )( ) (A) (A) 1222) !(nnn； (B) (B) 1!

30、3nnnnn； (C) (C) 22sin1nn； (D) (D) 1)2(1nnnn. .4 4、部分和數(shù)列、部分和數(shù)列 ns有界是正項(xiàng)級(jí)數(shù)有界是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nnu收斂的收斂的 ( ( ) ) (A)(A)充分條件；充分條件； (B) (B)必要條件；必要條件； (C)(C)充要條件；充要條件； (D) (D)既非充分又非必要條件既非充分又非必要條件 . .5 5、設(shè)、設(shè)a為非零常數(shù)為非零常數(shù), ,則當(dāng)則當(dāng)( )( )時(shí)時(shí), ,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1nnra收斂收斂 . . (A) (A)1 r； (B) (B)1 r； (C) (C)ar ； (D) (D)1 r. .6 6、冪級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù) 11)

31、1()1(nnnnx的收斂區(qū)間是的收斂區(qū)間是( ).( ). (A) (A) )2 , 0(； (B) (B) )2 , 0； (C) (C) 2 , 0(； (D) (D) 2 , 0. .7 7、若冪級(jí)、若冪級(jí) 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為:1R 10R; ; 0nnnxb的收斂半徑為的收斂半徑為:2R 20R, ,則冪級(jí)數(shù)則冪級(jí)數(shù) 0)(nnnnxba的收斂半徑至少為的收斂半徑至少為( )( ) (A)(A)21RR ； (B) (B)21RR ； (C)(C) 21,maxRR； (D) (D) 21,minRR . .8 8、當(dāng)、當(dāng)0 R時(shí)時(shí), ,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)21)1(nnknn 是是( )( ) (A) (A)條件收斂；條件收斂； (B) (B)絕對(duì)收斂；絕對(duì)收斂； (C) (C)發(fā)散；發(fā)散； (D) (D)斂散性與斂散性與值值無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)k. .9 9、0lim nnu是是級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂的的( ( ) ) ( (A A) )充充分分條條件件； ( (B B) )必必要要條條件件； ( (C C) )充充要要條條件件； ( (D D) )既既非非充充分分又又非非必必要要條條件件 . .1 10 0、冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1)1(nnxnn的的收收斂斂區(qū)區(qū)間間是是( ( )