應力狀態(tài)分析強度理論

1、應力狀態(tài)分析強度理論第十章第十章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析 強度理論強度理論10-1 10-1 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念PP應力狀態(tài)分析強度理論mm應力狀態(tài)分析強度理論PABCDEABCDE應力狀態(tài)分析強度理論主平面主平面 ：剪應力為零的平面：剪應力為零的平面 主應力主應力：主平面上的正應力：主平面上的正應力 主方向主方向：主平面的法線方向：主平面的法線方向 可以證明：通過受力構件內的任一點，一定可以證明：通過受力構件內的任一點，一定存在三個互相垂直的主平面。存在三個互相垂直的主平面。 三個主應力用三個主應力用1、 2 、 3 表示，按代數(shù)值表示，按代數(shù)值大小順序排列，即大小順序排列，即

2、1 2 3 應力狀態(tài)分析強度理論應力狀態(tài)的分類：應力狀態(tài)的分類：單向應力狀態(tài)：三個主應力中只有一個不等單向應力狀態(tài)：三個主應力中只有一個不等 于零于零二向應力狀態(tài)（平面應力狀態(tài)）：兩個主應二向應力狀態(tài)（平面應力狀態(tài)）：兩個主應 力不等于零力不等于零三向應力狀態(tài)（空間應力狀態(tài)）：三個主應三向應力狀態(tài)（空間應力狀態(tài)）：三個主應力皆不等于零力皆不等于零單向應力狀態(tài)也稱為簡單應力狀態(tài)單向應力狀態(tài)也稱為簡單應力狀態(tài)二向和三向應力狀態(tài)統(tǒng)稱為復雜應力狀態(tài)二向和三向應力狀態(tài)統(tǒng)稱為復雜應力狀態(tài)應力狀態(tài)分析強度理論圓筒形薄壁壓力容器，內徑為圓筒形薄壁壓力容器，內徑為 D、壁厚為、壁厚為 t，承受內力承受內力p作用

3、作用pDt2pDt4123240pDtpDtpp應力狀態(tài)分析強度理論圓球形薄壁容器，壁厚為圓球形薄壁容器，壁厚為 t，內徑為，內徑為D，承受內壓，承受內壓p作用。作用。12340pDtNApDDt24pDt4p應力狀態(tài)分析強度理論圓桿受扭轉和拉伸共同作用圓桿受扭轉和拉伸共同作用NAPd42TWmdt163PPmm應力狀態(tài)分析強度理論10-2 10-2 平面應力狀態(tài)下的應力分析平面應力狀態(tài)下的應力分析xyxyyxxxyyyyxx應力狀態(tài)分析強度理論一、解析法一、解析法yyyxxxxyyxn應力狀態(tài)分析強度理論yyxx：拉應力為正：拉應力為正：順時針轉動為正：順時針轉動為正：逆時針轉動為正：逆時針

4、轉動為正nAAsinAcos應力狀態(tài)分析強度理論二、圖解法二、圖解法xyxyx22221cossin( )xyx2222sincos( )( )( ) ,1222得xyxyx222222xyxyx22221cossin( )()()xxyyR02022應力狀態(tài)分析強度理論圓心坐標為，半徑為xyxyx20222應力圓應力圓莫爾莫爾(Mohr)圓圓xyxyx222222應力狀態(tài)分析強度理論yyyxxxxyyx下面根據(jù)已知單元體上的應力下面根據(jù)已知單元體上的應力 x、 y 、x畫應畫應力圓力圓(,)xx(,)yy應力狀態(tài)分析強度理論下面利用應力圓求任意斜截面上的應力下面利用應力圓求任意斜截面上的應力

5、(,)2yyyxxxxyyxn(,)yy(,)xx應力狀態(tài)分析強度理論(,)xx(,)yy10-3 平面應力狀態(tài)主應力及最大剪應力平面應力狀態(tài)主應力及最大剪應力應力狀態(tài)分析強度理論例：分別用解析法和圖解法求圖示單元體的例：分別用解析法和圖解法求圖示單元體的(1)指定斜截面上的正應力和剪應力指定斜截面上的正應力和剪應力;(2)主應力值及主方向，并畫在單元體上；主應力值及主方向，并畫在單元體上；(3)最大剪應力值。最大剪應力值。單位：單位：MPa應力狀態(tài)分析強度理論xyxxyxyxxyx 8040602222102222220MPa, MPa MPa, = 30MPaMPacossinsincos

6、.解：解：(一一)使用解析法求解使用解析法求解xyxxyxyxxyx 8040602222102222220MPa, MPa MPa, = 30MPaMPacossinsincos.應力狀態(tài)分析強度理論maxmintan. xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或min 65maxmintan. xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或maxmintan. xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或maxm

7、intan. xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或max 1050225.應力狀態(tài)分析強度理論(二二)使用圖解法求解使用圖解法求解 作應力圓，從應力圓上可量出：作應力圓，從應力圓上可量出： 102221056522585MPaMPaMPaMPaMPa0maxminmax.應力狀態(tài)分析強度理論低碳鋼低碳鋼鑄鐵鑄鐵 例：討論圓軸扭轉時的應力狀態(tài)，并分析例：討論圓軸扭轉時的應力狀態(tài)，并分析低碳鋼、鑄鐵試件受扭時的破壞現(xiàn)象。低碳鋼、鑄鐵試件受扭時的破壞現(xiàn)象。解：解：應力狀態(tài)分析強度理論maxmin0123max, ,450maxmin

8、( , )0( ,)0 應力狀態(tài)分析強度理論10-4 三向應力狀態(tài)簡介三向應力狀態(tài)簡介主單元體：六個平面都是主平面主單元體：六個平面都是主平面123若三個主應力已知，求任意斜截面上的應力若三個主應力已知，求任意斜截面上的應力:應力狀態(tài)分析強度理論 首先分析平行于主應力之一（例如首先分析平行于主應力之一（例如3）的各斜）的各斜截面上的應力。截面上的應力。112233332 3 對斜截面上的應力沒有影響。這些斜截對斜截面上的應力沒有影響。這些斜截面上的應力對應于由主應力面上的應力對應于由主應力 1 和和 2 所畫的應所畫的應力圓圓周上各點的坐標。力圓圓周上各點的坐標。1應力狀態(tài)分析強度理論123應

9、力狀態(tài)分析強度理論 同理，在平行于同理，在平行于 2 的各個斜截面上，其應的各個斜截面上，其應力對應于由主應力力對應于由主應力 1 和和 3 所畫的應力圓圓周上各所畫的應力圓圓周上各點的坐標。點的坐標。112233應力狀態(tài)分析強度理論123應力狀態(tài)分析強度理論 在平行于在平行于 1 的各個斜截面上，其應力對應于的各個斜截面上，其應力對應于由主應力由主應力 2 和和 3 所畫的應力圓圓周上各點的坐標。所畫的應力圓圓周上各點的坐標。112233應力狀態(tài)分析強度理論123應力狀態(tài)分析強度理論123 這樣，單元體上與主應力之一平行的各個斜這樣，單元體上與主應力之一平行的各個斜截面上的正應力和剪應力，可

10、由三個應力圓圓周上截面上的正應力和剪應力，可由三個應力圓圓周上各點的坐標來表示。各點的坐標來表示。應力狀態(tài)分析強度理論123 至于與三個主方向都不平行的任意斜截面，彈至于與三個主方向都不平行的任意斜截面，彈性力學中已證明，其應力性力學中已證明，其應力n和和n可由圖中陰影面內某可由圖中陰影面內某點的坐標來表示。點的坐標來表示。應力狀態(tài)分析強度理論在三向應力狀態(tài)情況下：在三向應力狀態(tài)情況下：max1123 max 作用在與作用在與2平行且與平行且與1和和3的方向成的方向成45角的平面上，以角的平面上，以1，3表示表示min3max132應力狀態(tài)分析強度理論例：求圖示應力狀態(tài)的主應力和最大剪應力例：

11、求圖示應力狀態(tài)的主應力和最大剪應力（應力單位為（應力單位為MPa）。）。應力狀態(tài)分析強度理論30202302024052242222.MPa解：解： 50MPamax.132472MPa1322302023020240522422.MPa2MPa 50應力狀態(tài)分析強度理論例：求圖示應力狀態(tài)的主應力和最大剪應力例：求圖示應力狀態(tài)的主應力和最大剪應力（應（應力單位為力單位為MPa）。）。123MPaMPaMPaMPa 50505025013maxCL10TU33解：解：應力狀態(tài)分析強度理論例：求圖示應力狀態(tài)的主應力和最大剪應力例：求圖示應力狀態(tài)的主應力和最大剪應力（應力單位為（應力單位為MPa）。

12、）。應力狀態(tài)分析強度理論120402120402301303022MPa解：解：max13280MPa 30MPa12221204021204023013030MPa3MPa 30應力狀態(tài)分析強度理論10-5 廣義胡克定律廣義胡克定律縱向應變：E橫向應變： E應力狀態(tài)分析強度理論123下面計算沿方向的應變：11引起的應變?yōu)?3、引起的應變?yōu)?2 E13 E當三個主應力同時作用時：11231E（）11E應力狀態(tài)分析強度理論廣義胡克定律：廣義胡克定律： 112322313312111EEE（）（）（）應力狀態(tài)分析強度理論1211222131211 EEE()()()對于二向應力狀態(tài)：對于二向應力狀

13、態(tài)： 應力狀態(tài)分析強度理論123下面考慮體積變化：abcVa b c0 Vabc1123111()()()abc()1123單位體積的體積改變?yōu)?VVV100也稱為。體體積積應應變變123應力狀態(tài)分析強度理論10-6 復雜應力狀態(tài)下的變形比能復雜應力狀態(tài)下的變形比能PllP拉壓變形能：UPlPPlEAP lEA121222變形比能：uUVP lEA AlE222212 應力狀態(tài)分析強度理論123變形比能：u 12 u 121212112233 應力狀態(tài)分析強度理論123mmm1m2m3m變形比能變形比能=體積改變比能體積改變比能+形狀改變比能形狀改變比能 u=uv+ufm1233 3 1231

14、23()EKm應力狀態(tài)分析強度理論uE122122232122331 ()uv3 1222()Em1261232E()uuufv16122232312E()()()123mmm1m3m應力狀態(tài)分析強度理論10-7 強度理論的概念強度理論的概念材料破壞的形式主要有兩類：材料破壞的形式主要有兩類：maxmax 流動破壞流動破壞斷裂破壞斷裂破壞應力狀態(tài)分析強度理論10-8 常用的四種強度理論常用的四種強度理論材料破壞的基本形式有兩種：流動、斷裂材料破壞的基本形式有兩種：流動、斷裂相應地，強度理論也可分為兩類：相應地，強度理論也可分為兩類：一類是關于脆性斷裂的強度理論；一類是關于脆性斷裂的強度理論；另

15、一類是關于塑性屈服的強度理論。另一類是關于塑性屈服的強度理論。一、關于脆斷的強度理論關于脆斷的強度理論應力狀態(tài)分析強度理論1.最大拉應力理論（第一強度理論）最大拉應力理論（第一強度理論）它假定：無論材料內各點的應力狀態(tài)如何，只要有它假定：無論材料內各點的應力狀態(tài)如何，只要有一點的主應力一點的主應力1 達到單向拉伸斷裂時的極限應力達到單向拉伸斷裂時的極限應力u，材料即破壞。，材料即破壞。在單向拉伸時，極限應力在單向拉伸時，極限應力 u =b失效條件可寫為失效條件可寫為 1 b1 bn 第一強度強度條件：第一強度強度條件：應力狀態(tài)分析強度理論 試驗證明，這一理論與鑄鐵、巖石、砼、陶瓷、試驗證明，這

16、一理論與鑄鐵、巖石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉斷試驗結果相符，這些材料在軸玻璃等脆性材料的拉斷試驗結果相符，這些材料在軸向拉伸時的斷裂破壞發(fā)生于拉應力最大的橫截面上。向拉伸時的斷裂破壞發(fā)生于拉應力最大的橫截面上。脆性材料的扭轉破壞，也是沿拉應力最大的斜面發(fā)生脆性材料的扭轉破壞，也是沿拉應力最大的斜面發(fā)生斷裂，這些都與最大拉應力理論相符，但這個理論沒斷裂，這些都與最大拉應力理論相符，但這個理論沒有考慮其它兩個主應力的影響。有考慮其它兩個主應力的影響。應力狀態(tài)分析強度理論2.最大伸長線應變理論（第二強度理論）最大伸長線應變理論（第二強度理論）它假定，無論材料內各點的應變狀態(tài)如何，只要有它假定，無

17、論材料內各點的應變狀態(tài)如何，只要有一點的最大伸長線應變一點的最大伸長線應變1達到單向拉伸斷裂時應變達到單向拉伸斷裂時應變的極限值的極限值 u，材料即破壞。，材料即破壞。所以發(fā)生脆性斷裂的條件是所以發(fā)生脆性斷裂的條件是 1 u若材料直到脆性斷裂都是在線彈性范圍內工作，則若材料直到脆性斷裂都是在線彈性范圍內工作，則11231EEEuub（）,應力狀態(tài)分析強度理論由此導出失效條件的應力表達式為：由此導出失效條件的應力表達式為： 123()b bn 123() 第二強度條件：第二強度條件：應力狀態(tài)分析強度理論 煤、石料或砼等材料在軸向壓縮試驗時，如端部煤、石料或砼等材料在軸向壓縮試驗時，如端部無摩擦，

18、試件將沿垂直于壓力的方向發(fā)生斷裂，這一無摩擦，試件將沿垂直于壓力的方向發(fā)生斷裂，這一方向就是最大伸長線應變的方向，這與第二強度理論方向就是最大伸長線應變的方向，這與第二強度理論的結果相近。的結果相近。應力狀態(tài)分析強度理論二、關于屈服的強度理論二、關于屈服的強度理論1.最大剪應力理論（第三強度理論）最大剪應力理論（第三強度理論）它假定，無論材料內各點的應力狀態(tài)如何，只要有它假定，無論材料內各點的應力狀態(tài)如何，只要有一點的最大剪應力一點的最大剪應力max達到單向拉伸屈服剪應力達到單向拉伸屈服剪應力S時，材料就在該處出現(xiàn)明顯塑性變形或屈服。時，材料就在該處出現(xiàn)明顯塑性變形或屈服。屈服破壞條件是：屈服

19、破壞條件是：maxs應力狀態(tài)分析強度理論用應力表示的屈服破壞條件：用應力表示的屈服破壞條件：max,1322ss13s sn13 第三強度條件：第三強度條件：應力狀態(tài)分析強度理論 第三強度理論曾被許多塑性材料的試驗結果所第三強度理論曾被許多塑性材料的試驗結果所證實，且稍偏于安全。這個理論所提供的計算式比較證實，且稍偏于安全。這個理論所提供的計算式比較簡單，故它在工程設計中得到了廣泛的應用。該理論簡單，故它在工程設計中得到了廣泛的應用。該理論沒有考慮中間主應力沒有考慮中間主應力2的影響，其帶來的最大誤差不的影響，其帶來的最大誤差不超過超過15，而在大多數(shù)情況下遠比此為小。，而在大多數(shù)情況下遠比此

20、為小。應力狀態(tài)分析強度理論2.形狀改變比能理論形狀改變比能理論(第四強度理論第四強度理論)它假定，復雜應力狀態(tài)下材料的形狀改變比能達到它假定，復雜應力狀態(tài)下材料的形狀改變比能達到單向拉伸時使材料屈服的形狀改變比能時，材料即單向拉伸時使材料屈服的形狀改變比能時，材料即會發(fā)生屈服。會發(fā)生屈服。屈服破壞條件是：屈服破壞條件是：uufuuEf16122232312()()()應力狀態(tài)分析強度理論簡單拉伸時：簡單拉伸時：uEus16221230s,12122232312()()()s12122232312()()() 屈服破壞條件是：屈服破壞條件是： 第四強度條件：第四強度條件：應力狀態(tài)分析強度理論 這

21、個理論和許多塑性材料的試驗結果相符，用這這個理論和許多塑性材料的試驗結果相符，用這個理論判斷碳素鋼的屈服失效是相當準確的。個理論判斷碳素鋼的屈服失效是相當準確的。應力狀態(tài)分析強度理論四個強度理論的強度條件可寫成統(tǒng)一形式：四個強度理論的強度條件可寫成統(tǒng)一形式：r r rrrr112123313412223231212()()()()稱為相當應力稱為相當應力應力狀態(tài)分析強度理論一般說來，在常溫和靜載的條件下，脆性材料多發(fā)一般說來，在常溫和靜載的條件下，脆性材料多發(fā)生脆性斷裂，故通常采用第一、第二強度理論；塑生脆性斷裂，故通常采用第一、第二強度理論；塑性材料多發(fā)生塑性屈服，故應采用第三、第四強度性材

22、料多發(fā)生塑性屈服，故應采用第三、第四強度理論。理論。 影響材料的脆性和塑性的因素很多，例如：影響材料的脆性和塑性的因素很多，例如：低溫能提高脆性，高溫一般能提高塑性；低溫能提高脆性，高溫一般能提高塑性；在高速動載荷作用下脆性提高，在低速靜載在高速動載荷作用下脆性提高，在低速靜載荷作用下保持塑性。荷作用下保持塑性。應力狀態(tài)分析強度理論無論是塑性材料或脆性材料：無論是塑性材料或脆性材料： 在三向拉應力接近相等的情況下，都以斷在三向拉應力接近相等的情況下，都以斷裂的形式破壞，所以應采用最大拉應力理論；裂的形式破壞，所以應采用最大拉應力理論； 在三向壓應力接近相等的情況下，都可以在三向壓應力接近相等的

23、情況下，都可以引起塑性變形，所以應該采用第三或第四強度引起塑性變形，所以應該采用第三或第四強度理論。理論。應力狀態(tài)分析強度理論10-9 莫爾強度理論莫爾強度理論13tctr Mtc13應力狀態(tài)分析強度理論例：填空題。例：填空題。 冬天自來水管凍裂而管內冰并未破裂，其冬天自來水管凍裂而管內冰并未破裂，其原因是冰處于原因是冰處于 應力狀態(tài)，而水管處應力狀態(tài)，而水管處于于 應力狀態(tài)。應力狀態(tài)。三向壓三向壓二向拉二向拉應力狀態(tài)分析強度理論在純剪切應力狀態(tài)下：在純剪切應力狀態(tài)下：用第三強度理論可得出：塑性材料的許用剪應力與用第三強度理論可得出：塑性材料的許用剪應力與許用拉應力之比許用拉應力之比用第四強度

24、理論可得出：塑性材料的許用剪應力與用第四強度理論可得出：塑性材料的許用剪應力與許用拉應力之比許用拉應力之比 例：填空題。例：填空題。 應力狀態(tài)分析強度理論解：在純剪切應力狀態(tài)下，三個主應力分別為解：在純剪切應力狀態(tài)下，三個主應力分別為1230 ,第三強度理論的強度條件為：第三強度理論的強度條件為：132 () 由此得：由此得： 2剪切強度條件為：剪切強度條件為： 按第三強度理論可求得：按第三強度理論可求得： 2應力狀態(tài)分析強度理論第四強度理論的強度條件為：第四強度理論的強度條件為：123122232312()()() 由此得：由此得： 3剪切強度條件為：剪切強度條件為： 按第三強度理論可求得：

25、按第三強度理論可求得： 3應力狀態(tài)分析強度理論在純剪切應力狀態(tài)下：在純剪切應力狀態(tài)下：用第三強度理論可得出：塑性材料的許用剪應力與用第三強度理論可得出：塑性材料的許用剪應力與許用拉應力之比許用拉應力之比用第四強度理論可得出：塑性材料的許用剪應力與用第四強度理論可得出：塑性材料的許用剪應力與許用拉應力之比許用拉應力之比 例：填空題。例：填空題。 0.50.577應力狀態(tài)分析強度理論 石料在單向壓縮時會沿壓力作用方向的縱截石料在單向壓縮時會沿壓力作用方向的縱截面裂開，這與第面裂開，這與第 強度理論的論述基本一致。強度理論的論述基本一致。例：填空題。例：填空題。二二應力狀態(tài)分析強度理論 一球體在外表

26、面受均布壓力一球體在外表面受均布壓力p = 1 MPa作用，則在球心處的主應力作用，則在球心處的主應力 1 = MPa， 2 = MPa， 3 = MPa。例：填空題。例：填空題。111應力狀態(tài)分析強度理論 三向應力狀態(tài)中，若三個主應力都等于三向應力狀態(tài)中，若三個主應力都等于，材料的彈，材料的彈性模量和泊松比分別為性模量和泊松比分別為E和和 ，則三個，則三個 主應變主應變?yōu)闉?。例：填空題。例：填空題。112322313312111EEE（）（）（）應力狀態(tài)分析強度理論 第三強度理論和第四強度理論的相當應力分第三強度理論和第四強度理論的相當應力分別為別為r3及及r4，對于純剪應力狀態(tài)，恒有，對

27、于純剪應力狀態(tài)，恒有r3r4。例：填空題。例：填空題。1230 ,r3132 ()r4122232312123()()()應力狀態(tài)分析強度理論 危險點接近于三向均勻受拉的塑性材料，應危險點接近于三向均勻受拉的塑性材料，應選用選用 強度理論進行計算，因為此時材強度理論進行計算，因為此時材料的破壞形式為料的破壞形式為 。例：填空題。例：填空題。第一第一脆性斷裂脆性斷裂應力狀態(tài)分析強度理論例：選擇題。例：選擇題。 純剪切應力狀態(tài)下，各向同性材料單元體的體純剪切應力狀態(tài)下，各向同性材料單元體的體積改變有四種答案：積改變有四種答案：（A）變大）變大（B）變?。┳冃。–）不變）不變（D）不確定）不確定123mK應力狀態(tài)分析強度理論 例：例： 圓軸直徑為圓軸直徑為d，材料的彈性模量為，材料的彈性模量為E，泊，泊松比為松比為 ，為了測得軸端的力偶之值，但只有一，為了測得軸端的力偶之值，但只有一枚電阻片。枚電阻片。 (1) 試設計電阻片粘貼的位置和方向；試設計電阻片粘貼的位置和方向； (2) 若按照你所定的位置和方向，已測得線應若按照你所定的位置和方向，已測得線應 變?yōu)樽優(yōu)?0，則外力偶？，則外力偶？mm應力狀態(tài)分析強度理論解：解：(1)將應變片貼于與母線成