橢圓的幾何性質(zhì)第一課時(shí)

1、橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì)（共6課時(shí)）學(xué)習(xí)內(nèi)容 一、橢圓的七點(diǎn)三線及離心率，、橢圓的七點(diǎn)三線及離心率， 二、橢圓的第二定義，二、橢圓的第二定義， 三、通徑及焦點(diǎn)三角形，三、通徑及焦點(diǎn)三角形， 四、橢圓的最值，四、橢圓的最值， 五、直線與橢圓的位置關(guān)系五、直線與橢圓的位置關(guān)系 六、橢圓的參數(shù)方程六、橢圓的參數(shù)方程第一課時(shí) 七點(diǎn)兩線及離心率一、橢圓中的七點(diǎn)兩線一、橢圓中的七點(diǎn)兩線 1、七點(diǎn)坐標(biāo)：四個(gè)、七點(diǎn)坐標(biāo)：四個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)，頂點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)，一個(gè)中心一個(gè)中心 2、兩線：長(zhǎng)軸和短、兩線：長(zhǎng)軸和短軸（對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸）軸（對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸）一、橢圓中的七點(diǎn)兩線一、橢圓中的七點(diǎn)兩線 3、九個(gè)元素中任意兩、九個(gè)

2、元素中任意兩個(gè)元素之間的距離：個(gè)元素之間的距離： （1）同一條線上）同一條線上 如：如：|OA1|=_ |OB1|=_ |OF2|=_ 同一條線上的組合型同一條線上的組合型 |A1 A2 |=_（ 軸）軸） |B1 B2 |=_（ 軸）軸） |F1 F2 |=_ （ 距）距）一、橢圓中的七點(diǎn)兩線一、橢圓中的七點(diǎn)兩線 3、九個(gè)元素中任意兩、九個(gè)元素中任意兩個(gè)元素之間的距離：個(gè)元素之間的距離： （1）同一條線上）同一條線上 |A1 F2 |=_ |F1 A2 |=_ |A1 F1 |=_一、橢圓中的七點(diǎn)兩線一、橢圓中的七點(diǎn)兩線 3、九個(gè)元素中任意兩、九個(gè)元素中任意兩個(gè)元素之間的距離：個(gè)元素之間的距

3、離： （1）同一條線上）同一條線上 |A1 F2 |=_a+c_ |F1 A2 |=_a+c_ |A1 F1 |=_a-c_一、橢圓中的七點(diǎn)兩線一、橢圓中的七點(diǎn)兩線 3、九個(gè)元素中任意兩、九個(gè)元素中任意兩個(gè)元素之間的距離：個(gè)元素之間的距離： （1）同一條線上）同一條線上 注：橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)注：橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F1的最遠(yuǎn)距離為的最遠(yuǎn)距離為A2, 長(zhǎng)為長(zhǎng)為|F1 A2 |=a+c 最近距離為最近距離為A1， 長(zhǎng)為長(zhǎng)為|F1 A1 |=a-c一、橢圓中的七點(diǎn)兩線一、橢圓中的七點(diǎn)兩線 3、九個(gè)元素任意兩、九個(gè)元素任意兩個(gè)之間的距離個(gè)之間的距離 （2）直角三角形）直角三角形 橢圓的特征三角形橢圓的特征

4、三角形 由短軸頂點(diǎn)、中心由短軸頂點(diǎn)、中心和焦點(diǎn)構(gòu)成和焦點(diǎn)構(gòu)成 三個(gè)邊長(zhǎng)分別為三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c橢圓的特征三角形222abc11122122B FB FB FB FaO x F1 A2B1 B2 y A1(-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) a c b F2 -axa, -byb 知知 橢圓落在橢圓落在x=a,y= b組成的矩形中組成的矩形中, 122 ax得：得：122 by oyB2B1A1A2F1F2cab范圍：范圍：對(duì)稱性對(duì)稱性： oyB2B1A1A2F1F2cab從圖形上看，從圖形上看，橢圓關(guān)于橢圓關(guān)于x軸、軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱軸、原點(diǎn)對(duì)稱, 原點(diǎn)是橢圓的中心原點(diǎn)是橢

5、圓的中心.從方程上看：從方程上看：（1）把）把x換成換成-x方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；軸對(duì)稱；（2）把）把y換成換成-y方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；軸對(duì)稱；（3）把）把x換成換成-x，同時(shí)把，同時(shí)把y換成換成-y方程不變，圖方程不變，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。)0( 12222babyax例例1 、求橢圓求橢圓16x2+25y2=400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形.解：解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程：1452222 yx 因此，橢

6、圓的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)分別為因此，橢圓的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)分別為2a=10和和2b=8,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-3，0）和）和F2（3，0），四個(gè)頂點(diǎn)），四個(gè)頂點(diǎn)分別為分別為A1(-5，0)、A2(5，0)、B1(0，-4)、B2(0，4)。這里這里 a=5，b=4，.31625 cxyOx012345y43.93.73.22.40列表：列表：. .例例2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)）經(jīng)過點(diǎn)P(3，0)，Q(0，2)；（3）長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于）長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20，離心率等于，離心率等于 .5314922 yx解：解：（1）由橢圓的幾何性質(zhì)可知，點(diǎn)）由橢圓的

7、幾何性質(zhì)可知，點(diǎn)P、Q分別分別為橢圓長(zhǎng)軸和短軸的一個(gè)端點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸和短軸的一個(gè)端點(diǎn).23 ba，為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .3 5(,),( 3, 5);2 2AB （2）經(jīng)過點(diǎn)）經(jīng)過點(diǎn)解解：設(shè)橢圓方程為設(shè)橢圓方程為 221mxny 0,0,mnmn 則則 222235122351mnmn 11,.610mn故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 221.610 xy3 5(,),( 3, 5);2 2AB （2）經(jīng)過點(diǎn)）經(jīng)過點(diǎn)注：用橢圓的一般方程避免討論焦點(diǎn)位置（3）長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于）長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20，離心率等于，離心率等于 .53解：解：3(3)2205caea 由由已已知知

8、，.610 ca，.64222 cab16410022 yx.16410022 xy或或二、橢圓的離心率二、橢圓的離心率1.橢圓的離心率橢圓的離心率 (刻畫橢圓扁平程度的量刻畫橢圓扁平程度的量)橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比 叫做橢圓的叫做橢圓的離心率離心率。acace2211離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：22離心率對(duì)橢圓形狀的影響：離心率對(duì)橢圓形狀的影響：0e1思考：當(dāng)思考：當(dāng)e0時(shí)，曲線是什么？時(shí)，曲線是什么？1 1）e e越接近越接近1 1，c c就越接近就越接近a a，從而，從而b b 就越小，橢圓就越扁就越小，橢圓就越扁2 2）e e越接近越接近0 0，c c就越

9、接近就越接近0 0，從而，從而b b 就越大，橢圓就越圓就越大，橢圓就越圓22ac22ac圓圓越扁小，越圓, 1,00, 1,eabbeabab如圖，在如圖，在RtBOF2中，中， 也能刻畫橢圓的扁平程度也能刻畫橢圓的扁平程度. ,b ca bcea 用三角函數(shù)解釋：用三角函數(shù)解釋：cos (0)2 e 越大，越大， 即即 越大，越大，cos 則則 越小，越小，橢圓越扁；橢圓越扁； 反之，橢圓越圓反之，橢圓越圓.2.e2.e與與a,ba,b的關(guān)系的關(guān)系: :222221ababaace1、若橢圓的焦距長(zhǎng)等于它的短軸長(zhǎng)，則其離心率、若橢圓的焦距長(zhǎng)等于它的短軸長(zhǎng)，則其離心率 為為 。2、若橢圓的兩

10、個(gè)焦點(diǎn)及一個(gè)短軸端點(diǎn)構(gòu)成正三角、若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)及一個(gè)短軸端點(diǎn)構(gòu)成正三角形，則其離心率為形，則其離心率為 。3、若橢圓的、若橢圓的 的兩個(gè)焦點(diǎn)把長(zhǎng)軸分成三等分，則其的兩個(gè)焦點(diǎn)把長(zhǎng)軸分成三等分，則其離心率為離心率為 。4、若某個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距依次成等差數(shù)列，、若某個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距依次成等差數(shù)列， 則其離心率則其離心率e=_22213153 題型一題型一 求橢圓離心率的值求橢圓離心率的值 根據(jù)已知條件尋找含有根據(jù)已知條件尋找含有a、b、c的等式，求的等式，求出離心率出離心率。 例例1、以橢圓的焦距為直徑并過兩焦點(diǎn)的、以橢圓的焦距為直徑并過兩焦點(diǎn)的圓，交橢圓于四個(gè)不同的點(diǎn)，順次連接這

11、四個(gè)圓，交橢圓于四個(gè)不同的點(diǎn)，順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形，那么這點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形，那么這個(gè)橢圓的離心率個(gè)橢圓的離心率 。31XYOF1F2P02130FPFaccPFPF232113132ac例例2、如圖所示橢圓的中心在原點(diǎn)，焦、如圖所示橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)點(diǎn)F1、F2在在x軸上，軸上，A、B是橢圓的頂點(diǎn)，是橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，且是橢圓上的一點(diǎn)，且PF1x軸，軸，PF2AB，求此橢圓的離心率；，求此橢圓的離心率；ABPF1F2XYOABPF1F2XYOOAFFOBPF211acbab22cb2224cb 2224cca55e 題型二題型二 求橢圓

12、離心率的取值范圍求橢圓離心率的取值范圍 根據(jù)已知條件尋找含有根據(jù)已知條件尋找含有a、b、c的不等式，的不等式，求出離心率。求出離心率。例例3、設(shè)設(shè)M點(diǎn)是橢圓點(diǎn)是橢圓 上一上一 點(diǎn)，點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的左右焦點(diǎn)，如果為橢圓的左右焦點(diǎn)，如果 F1MF2=900，求此橢圓的，求此橢圓的 離心率的離心率的 范圍范圍22221xyabXYOMF1F2問題的關(guān)鍵是尋問題的關(guān)鍵是尋找找a、c的不等關(guān)的不等關(guān)系系)0( 12222babyax 題型一：定義法例1.已知橢圓方程為 + =1，求橢圓的離心率；162x82y1.1.直接算出直接算出a a、c c帶公式求帶公式求e eF2(c,0)xoyF1(-c,0)Pca 2. 2.幾何意義：幾何意義：e e為為OPFOPF2 2的正弦值的正弦值 題型二：方程法例2.依據(jù)a,b,c,e的關(guān)系