全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽集錦（力學(xué)）

1、全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽集錦（力學(xué)）第21屆預(yù)賽（2004.9.5）二、（15分）質(zhì)量分別為m1和m2的兩個(gè)小物塊用輕繩連結(jié)，繩跨過位于傾角a 30°的光滑斜面頂端的輕滑輪，滑輪與轉(zhuǎn)軸之間的磨擦不計(jì)，斜面固定在水平桌面上，如圖所示。第一次，m1懸空，m2放在斜面上，用t表示m2自斜面底端由靜止開始運(yùn)動(dòng)至斜面頂端所需的時(shí)間。第二次，將m1和m2位置互換，使m2懸空，m1放在斜面上，發(fā)現(xiàn)m1自斜面底端由靜止開始運(yùn)動(dòng)至斜面頂端所需的時(shí)間為t/3。求ml與m2之比。七、（15分）如圖所示，B是質(zhì)量為mB、半徑為R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A是質(zhì)為mA的細(xì)長(zhǎng)直桿，被固定的光滑套管C約束在

2、豎直方向，A可自由上下運(yùn)動(dòng)。碗和桿的質(zhì)量關(guān)系為：mB2mA。初始時(shí)，A桿被握住，使其下端正好與碗的半球面的上邊緣接觸（如圖）。然后從靜止開始釋放A，A、B便開始運(yùn)動(dòng)。設(shè)A桿的位置用q 表示，q 為碗面的球心O至A桿下端與球面接觸點(diǎn)的連線方向和豎直方向之間的夾角。求A與B速度的大?。ū硎境蓂 的函數(shù)）。九、（18分）如圖所示，定滑輪B、C與動(dòng)滑輪D組成一滑輪組，各滑輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦、滑輪的質(zhì)量均不計(jì)。在動(dòng)滑輪D上，懸掛有砝碼托盤A，跨過滑輪組的不可伸長(zhǎng)的輕線的兩端各掛有砝碼2和3。一根用輕線（圖中穿過彈簧的那條堅(jiān)直線）拴住的壓縮輕彈簧豎直放置在托盤底上，彈簧的下端與托盤底固連，上端放有砝碼1（兩

3、者未粘連）。已加三個(gè)砝碼和砝碼托盤的質(zhì)量都是m，彈簧的勁度系數(shù)為k，壓縮量為l0，整個(gè)系統(tǒng)處在靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)突然燒斷栓住彈簧的輕線，彈簧便伸長(zhǎng)，并推動(dòng)砝碼1向上運(yùn)動(dòng)，直到砝碼1與彈簧分離。假設(shè)砝碼1在以后的運(yùn)動(dòng)過程中不會(huì)與托盤的頂部相碰。求砝碼1從與彈簧分離至再次接觸經(jīng)歷的時(shí)間。第21屆復(fù)賽二、(20分) 兩顆人造衛(wèi)星繞地球沿同一橢圓軌道同向運(yùn)動(dòng)，它們通過軌道上同一點(diǎn)的時(shí)間相差半個(gè)周期已知軌道近地點(diǎn)離地心的距離是地球半徑R的2倍，衛(wèi)星通過近地點(diǎn)時(shí)的速度，式中M為地球質(zhì)量，G為引力常量衛(wèi)星上裝有同樣的角度測(cè)量?jī)x，可測(cè)出衛(wèi)星與任意兩點(diǎn)的兩條連線之間的夾角試設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案，利用這兩個(gè)測(cè)量?jī)x測(cè)定太空中

4、某星體與地心在某時(shí)刻的距離（最后結(jié)果要求用測(cè)得量和地球半徑R表示）ABCp-aDE六、(20分)如圖所示，三個(gè)質(zhì)量都是m的剛性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（圖中紙面），A、B之間，B、C之間分別用剛性輕桿相連，桿與A、B、C的各連接處皆為“鉸鏈?zhǔn)健钡模ú荒軐?duì)小球產(chǎn)生垂直于桿方向的作用力）已知桿AB與BC的夾角為p-a ，a < p/2DE為固定在桌面上一塊擋板，它與AB連線方向垂直現(xiàn)令A(yù)、B、C一起以共同的速度v沿平行于AB連線方向向DE運(yùn)動(dòng)，已知在C與擋板碰撞過程中C與擋板之間無摩擦力作用，求碰撞時(shí)當(dāng)C沿垂直于DE方向的速度由v變?yōu)?這一極短時(shí)間內(nèi)擋板對(duì)C的沖量的大小第二十屆預(yù)賽

5、（2003年9月5日）五、(20分)有一個(gè)擺長(zhǎng)為l的擺（擺球可視為質(zhì)點(diǎn)，擺線的質(zhì)量不計(jì)），在過懸掛點(diǎn)的豎直線上距懸掛點(diǎn)O的距離為x處（xl）的C點(diǎn)有一固定的釘子，如圖所示，當(dāng)擺擺動(dòng)時(shí)，擺線會(huì)受到釘子的阻擋當(dāng)l一定而x取不同值時(shí)，阻擋后擺球的運(yùn)動(dòng)情況將不同現(xiàn)將擺拉到位于豎直線的左方（擺球的高度不超過O點(diǎn)），然后放手，令其自由擺動(dòng)，如果擺線被釘子阻擋后，擺球恰巧能夠擊中釘子，試求x的最小值六、(20分)質(zhì)量為M的運(yùn)動(dòng)員手持一質(zhì)量為m的物塊，以速率v0沿與水平面成a角的方向向前跳躍（如圖）為了能跳得更遠(yuǎn)一點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員可在跳遠(yuǎn)全過程中的某一位置處，沿某一方向把物塊拋出物塊拋出時(shí)相對(duì)運(yùn)動(dòng)員的速度的大小u是

6、給定的，物塊拋出后，物塊和運(yùn)動(dòng)員都在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)v0 (1)若運(yùn)動(dòng)員在跳遠(yuǎn)的全過程中的某時(shí)刻to把物塊沿與x軸負(fù)方向成某角的方向拋出，求運(yùn)動(dòng)員從起跳到落地所經(jīng)歷的時(shí)間 (2)在跳遠(yuǎn)的全過程中，運(yùn)動(dòng)員在何處把物塊沿與x軸負(fù)方向成角的方向拋出，能使自己跳得更遠(yuǎn)？若v0和u一定，在什么條件下可跳得最遠(yuǎn)？并求出運(yùn)動(dòng)員跳的最大距離第二十屆復(fù)賽三、（20分）有人提出了一種不用火箭發(fā)射人造地球衛(wèi)星的設(shè)想其設(shè)想如下：沿地球的一條弦挖一通道，如圖所示在通道的兩個(gè)出口處和，分別將質(zhì)量為的物體和質(zhì)量為的待發(fā)射衛(wèi)星同時(shí)自由釋放，只要比足夠大，碰撞后，質(zhì)量為的物體，即待發(fā)射的衛(wèi)星就會(huì)從通道口沖出通道；設(shè)待發(fā)衛(wèi)星上

7、有一種裝置，在待發(fā)衛(wèi)星剛離開出口時(shí)，立即把待發(fā)衛(wèi)星的速度方向變?yōu)檠卦撎幍厍蚯芯€的方向，但不改變速度的大小這樣待發(fā)衛(wèi)星便有可能繞地心運(yùn)動(dòng)，成為一個(gè)人造衛(wèi)星若人造衛(wèi)星正好沿地球表面繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，則地心到該通道的距離為多少？己知20，地球半徑6400 km假定地球是質(zhì)量均勻分布的球體，通道是光滑的，兩物體間的碰撞是彈性的五、(22分)有一半徑為的圓柱A，靜止在水平地面上，并與豎直墻面相接觸現(xiàn)有另一質(zhì)量與A相同，半徑為的較細(xì)圓柱B，用手扶著圓柱A，將B放在A的上面，并使之與墻面相接觸，如圖所示，然后放手己知圓柱A與地面的靜摩擦系數(shù)為0.20，兩圓柱之間的靜摩擦系數(shù)為0.30若放手后，兩圓柱體能保持

8、圖示的平衡，問圓柱B與墻面間的靜摩擦系數(shù)和圓柱B的半徑的值各應(yīng)滿足什么條件？七、(25分)如圖所示，將一鐵餅狀小物塊在離地面高為處沿水平方向以初速拋出己知物塊碰地彈起時(shí)沿豎直方向的分速度的大小與碰前沿豎直方向的分速度的大小之比為（1）又知沿水平方向物塊與地面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為（0）：每次碰撞過程的時(shí)間都非常短，而且都是“餅面”著地求物塊沿水平方向運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離第十九屆預(yù)賽（2002年9月5日）一、（15分）今年3月我國(guó)北方地區(qū)遭遇了近10年來最嚴(yán)重的沙塵暴天氣現(xiàn)把沙塵上揚(yáng)后的情況簡(jiǎn)化為如下情景：為豎直向上的風(fēng)速，沙塵顆粒被揚(yáng)起后懸浮在空中（不動(dòng)）這時(shí)風(fēng)對(duì)沙塵的作用力相當(dāng)于空氣不動(dòng)而沙塵以速度

9、豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的阻力此阻力可用下式表達(dá)其中為一系數(shù)，為沙塵顆粒的截面積，為空氣密度（1）若沙粒的密度 ，沙塵顆粒為球形，半徑，地球表面處空氣密度，試估算在地面附近，上述的最小值（2）假定空氣密度隨高度的變化關(guān)系為，其中為處的空氣密度，為一常量，試估算當(dāng)時(shí)揚(yáng)沙的最大高度（不考慮重力加速度隨高度的變化）三、（20分）據(jù)新華社報(bào)道，為了在本世紀(jì)初葉將我國(guó)的航天員送上太空，2002年3月25日22時(shí)15分，我國(guó)成功地發(fā)射了一艘無人試驗(yàn)飛船。在完成預(yù)定任務(wù)后，飛船于4月1日16時(shí)51分安全著陸，共繞地球飛行108圈。（1）飛船的名稱是什么？（2）飛船在運(yùn)行期間，按照地面指揮控制中心的指令成功地實(shí)施了

10、數(shù)百個(gè)動(dòng)作，包括從橢圓軌道變換成圓軌道等假如把飛船從發(fā)射到著陸的整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)都當(dāng)作圓周運(yùn)動(dòng)處理，試粗略估計(jì)飛船離地面的平均高度已知地球半徑，地球表面處的重力加速度七、（25分）如圖預(yù)19-7所示，在長(zhǎng)為m、質(zhì)量為的車廂B內(nèi)的右壁處，放一質(zhì)量的小物塊A（可視為質(zhì)點(diǎn)），向右的水平拉力作用于車廂，使之從靜止開始運(yùn)動(dòng)，測(cè)得車廂B在最初2.0 s內(nèi)移動(dòng)的距離，且在這段時(shí)間內(nèi)小物塊未與車廂壁發(fā)生過碰撞假定車廂與地面間的摩擦忽略不計(jì)，小物塊與車廂壁之間的碰撞是彈性的求車廂開始運(yùn)動(dòng)后4.0 s時(shí)，車廂與小物塊的速度第十九屆復(fù)賽一、（20分）某甲設(shè)計(jì)了1個(gè)如圖復(fù)19-1所示的“自動(dòng)噴泉”裝置，其中A、B、C

11、為3個(gè)容器，D、E、F為3根細(xì)管，管栓K是關(guān)閉的A、B、C及細(xì)管D、E中均盛有水，容器水面的高度差分別為和如圖所示A、B、C的截面半徑為12cm，D的半徑為0.2cm甲向同伴乙說：“我若擰開管栓K，會(huì)有水從細(xì)管口噴出”乙認(rèn)為不可能理由是：“低處的水自動(dòng)走向高外，能量從哪兒來？”甲當(dāng)即擰開K，果然見到有水噴出，乙啞口無言，但不明白自己的錯(cuò)誤所在甲又進(jìn)一步演示在擰開管栓K前，先將噴管D的上端加長(zhǎng)到足夠長(zhǎng)，然后擰開K，管中水面即上升，最后水面靜止于某個(gè)高度處 (1)論證擰開K后水柱上升的原因 (2)當(dāng)D管上端足夠長(zhǎng)時(shí)，求擰開K后D中靜止水面與A中水面的高度差 (3)論證水柱上升所需能量的來源七、（2

12、6分）一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)輕繩，穿上一粒質(zhì)量為的珠子（視為質(zhì)點(diǎn)），繩的下端固定在點(diǎn)，上端系在輕質(zhì)小環(huán)上，小環(huán)可沿固定的水平細(xì)桿滑動(dòng)（小環(huán)的質(zhì)量及與細(xì)桿摩擦皆可忽略不計(jì)），細(xì)桿與在同一豎直平面內(nèi)開始時(shí)，珠子緊靠小環(huán)，繩被拉直，如圖復(fù)19-7-1所示，已知，繩長(zhǎng)為，點(diǎn)到桿的距離為，繩能承受的最大張力為，珠子下滑過程中到達(dá)最低點(diǎn)前繩子被拉斷，求細(xì)繩被拉斷時(shí)珠子的位置和速度的大?。ㄖ樽优c繩子之間無摩擦）注：質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它在任一點(diǎn)的加速度沿該點(diǎn)軌道法線方向的分量稱為法向加速度，可以證明，為質(zhì)點(diǎn)在該點(diǎn)時(shí)速度的大小，為軌道曲線在該點(diǎn)的“曲率半徑”，所謂平面曲線上某點(diǎn)的曲率半徑，就是在曲線上取包含該

13、點(diǎn)在內(nèi)的一段弧，當(dāng)這段弧極小時(shí)，可以把它看做是某個(gè)“圓”的弧，則此圓的半徑就是曲線在該點(diǎn)的曲率半徑如圖復(fù)19-7-2中曲線在點(diǎn)的曲率半徑為，在點(diǎn)的曲率半徑為第十八屆預(yù)賽2001-09-09一、（15分）如圖預(yù)18l所示，桿長(zhǎng)為，可繞過點(diǎn)的水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，其端點(diǎn)系著一跨過定滑輪、的不可伸長(zhǎng)的輕繩，繩的另一端系一物塊，滑輪的半徑可忽略，在的正上方，之間的距離為。某一時(shí)刻，當(dāng)繩的段與之間的夾角為時(shí)，桿的角速度為，求此時(shí)物塊的速率。五、（25分）如圖預(yù)185所示，一質(zhì)量為、長(zhǎng)為帶薄擋板的木板，靜止在水平的地面上，設(shè)木板與地面間的靜摩擦系數(shù)與滑動(dòng)摩擦系數(shù)相等，皆為質(zhì)量為的人從木板的一端由靜止開始

14、相對(duì)于地面勻加速地向前走向另一端，到達(dá)另一端時(shí)便驟然抓住擋板而停在木板上已知人與木板間的靜摩擦系數(shù)足夠大，人在木板上不滑動(dòng)問：在什么條件下，最后可使木板向前方移動(dòng)的距離達(dá)到最大？其值等于多少？第十八屆復(fù)賽六、（27分）一玩具“火箭”由上下兩部分和一短而硬（即勁度系數(shù)很大）的輕質(zhì)彈簧構(gòu)成上部分的質(zhì)量為，下部分的質(zhì)量為，彈簧夾在與之間，與二者接觸而不固連讓、壓緊彈簧，并將它們鎖定，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為己知的定值通過遙控可解除鎖定，讓彈簧恢復(fù)至原長(zhǎng)并釋放其彈性勢(shì)能，設(shè)這釋放過程的時(shí)間極短第一種方案是讓玩具位于一枯井的井口處并處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)解除鎖定，從而使上部分升空第二種方案是讓玩具在井口處從靜止開始

15、自由下落，撞擊井底（井足夠深）后以原速率反彈，反彈后當(dāng)玩具垂直向上運(yùn)動(dòng)到離井口深度為某值的時(shí)刻解除鎖定1在第一種方案中，玩具的上部分升空到達(dá)的最大高度（從井口算起）為多少？其能量是從何種形式的能量轉(zhuǎn)化來的？2在第二種方案中，玩具的上部分升空可能達(dá)到的最大高度（亦從井口算起）為多少？并定量地討論其能量可能是從何種形式的能量轉(zhuǎn)化來的第十七屆預(yù)賽2000年二、（15分）一半徑為的水平光滑圓桌面，圓心為，有一豎直的立柱固定在桌面上的圓心附近，立柱與桌面的交線是一條凸的平滑的封閉曲線，如圖預(yù)17-2所示。一根不可伸長(zhǎng)的柔軟的細(xì)輕繩，一端固定在封閉曲線上的某一點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為的小物塊。將小物塊放在桌面

16、上并把繩拉直，再給小物塊一個(gè)方向與繩垂直、大小為的初速度。物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩將纏繞在立柱上。已知當(dāng)繩的張力為時(shí)，繩即斷開，在繩斷開前物塊始終在桌面上運(yùn)動(dòng) 1問繩剛要斷開時(shí)，繩的伸直部分的長(zhǎng)度為多少?2若繩剛要斷開時(shí)，桌面圓心到繩的伸直部分與封閉曲線的接觸點(diǎn)的連線正好與繩的伸直部分垂直，問物塊的落地點(diǎn)到桌面圓心的水平距離為多少？已知桌面高度物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)未與立柱相碰取重力加速度大小為八、（20分）如圖預(yù)17-8所示，在水平桌面上放有長(zhǎng)木板，上右端是固定擋板，在上左端和中點(diǎn)處各放有小物塊和，、的尺寸以及的厚度皆可忽略不計(jì)，、之間和、之間的距離皆為。設(shè)木板與桌面之間無摩擦，、之間和、之間的靜

17、摩擦因數(shù)及滑動(dòng)摩擦因數(shù)均為；、（連同擋板）的質(zhì)量相同開始時(shí)，和靜止，以某一初速度向右運(yùn)動(dòng)試問下列情況是否能發(fā)生？要求定量求出能發(fā)生這些情況時(shí)物塊的初速度應(yīng)滿足的條件，或定量說明不能發(fā)生的理由（1）物塊與發(fā)生碰撞；（2）物塊與發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊與擋板發(fā)生碰撞；（3）物塊與擋板發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊與在木板上再發(fā)生碰撞；（4）物塊從木板上掉下來；（5）物塊從木板上掉下來第十七屆復(fù)賽四、（25分）宇宙飛行器和小行星都繞太陽在同一平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，飛行器的質(zhì)量比小行星的質(zhì)量小得很多，飛行器的速率為，小行星的軌道半徑為飛行器軌道半徑的6倍有人企圖借助飛行器與小行星的碰撞使飛行器飛

18、出太陽系，于是他便設(shè)計(jì)了如下方案：. 當(dāng)飛行器在其圓周軌道的適當(dāng)位置時(shí)，突然點(diǎn)燃飛行器上的噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，經(jīng)過極短時(shí)間后立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，以使飛行器獲得所需的速度，沿圓周軌道的切線方向離開圓軌道；. 飛行器到達(dá)小行星的軌道時(shí)正好位于小行星的前緣，速度的方向和小行星在該處速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；. 小行星與飛行器的碰撞是彈性正碰，不計(jì)燃燒的燃料質(zhì)量 1試通過計(jì)算證明按上述方案能使飛行器飛出太陽系； 2設(shè)在上述方案中，飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)取得的能量為如果不采取上述方案而是令飛行器在圓軌道上突然點(diǎn)燃噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，經(jīng)過極短時(shí)間后立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，以使飛行器獲得足夠的速度沿圓軌道切線方向離開圓軌道后能直接飛

19、出太陽系采用這種辦法時(shí)，飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)取得的能量的最小值用表示，問為多少?第十六屆預(yù)賽1999年二、（15分）一質(zhì)量為的平頂小車，以速度沿水平的光滑軌道作勻速直線運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)將一質(zhì)量為的小物塊無初速地放置在車頂前緣。已知物塊和車頂之間的動(dòng)摩擦系數(shù)為。1. 若要求物塊不會(huì)從車頂后緣掉下，則該車頂最少要多長(zhǎng)？2. 若車頂長(zhǎng)度符合1問中的要求，整個(gè)過程中摩擦力共做了多少功？七、（15分）將一根長(zhǎng)為100多厘米的均勻弦線，沿水平的軸放置，拉緊并使兩端固定。現(xiàn)對(duì)離固定的右端25cm處（取該處為原點(diǎn)，如圖預(yù)16-7-1所示）的弦上一點(diǎn)施加一個(gè)沿垂直于弦線方向（即軸方向）的擾動(dòng)，其位移隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖預(yù)16

20、-7-2所示。該擾動(dòng)將沿弦線傳播而形成波（孤立的脈沖波）。已知該波在弦線中的傳播速度為，且波在傳播和反射過程中都沒有能量損失。1. 試在圖預(yù)16-7-1中準(zhǔn)確地畫出自點(diǎn)沿弦向右傳播的波在時(shí)的波形圖。2. 該波向右傳播到固定點(diǎn)時(shí)將發(fā)生反射，反射波向左傳播，反射點(diǎn)總是固定不動(dòng)的。這可看成是向右傳播的波和向左傳播的波相疊加，使反射點(diǎn)的位移始終為零。由此觀點(diǎn)出發(fā)，試在圖預(yù)16-7-1中準(zhǔn)確地畫出時(shí)的波形圖。3. 在圖預(yù)16-7-1中準(zhǔn)確地畫出時(shí)的波形圖。八、（15分）1997年8月26日在日本舉行的國(guó)際天文學(xué)會(huì)上，德國(guó)Max Planck學(xué)會(huì)的一個(gè)研究組宣了他們的研究成果：銀河系的中心可能存在一個(gè)在黑

21、洞。他們的根據(jù)是用口徑為3.5m的天文望遠(yuǎn)鏡對(duì)獵戶座中位于銀河系中心附近的星體進(jìn)行近六年的觀測(cè)所得到的數(shù)據(jù)，他們發(fā)現(xiàn)，距離銀河系中心約60億公里的星體正以的速度圍繞銀河系中心旋轉(zhuǎn)。根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，試在經(jīng)典力學(xué)的范圍內(nèi)（見提示2），通過計(jì)算確認(rèn)，如果銀河系中心確實(shí)存在黑洞的話，其最大半徑是多少。（引力常數(shù)）提示：1. 黑洞是一種密度極大的天體，其表面的引力是如此之強(qiáng)，以至于包括光在內(nèi)的所有物質(zhì)都不了其引力作用。2計(jì)算中可以采用拉普拉斯經(jīng)典黑洞模型，在這種模型中，在黑洞表面上的所有物質(zhì)，即使初速度等于光速也逃脫不了其引力的作用。九、（20分）一個(gè)大容器中裝有互不相溶的兩種液體，它們的密度分別為和（）?，F(xiàn)讓一長(zhǎng)為、密度為的均勻木棍，豎直地放在上面的液體內(nèi)，其下端離兩液體分界面的距離為，由靜止開始下落。試計(jì)算木棍到達(dá)最低處所需的時(shí)間。假定由于木棍運(yùn)動(dòng)