第7章潮流計算的數(shù)學(xué)模型及基本解法

1、2022-3-71第七章第七章潮流計算的數(shù)學(xué)模型及基本解法潮流計算的數(shù)學(xué)模型及基本解法潮流計算問題的數(shù)學(xué)模型潮流計算問題的數(shù)學(xué)模型以高斯迭代法為基礎(chǔ)的潮流計算方法以高斯迭代法為基礎(chǔ)的潮流計算方法牛頓牛頓拉夫遜法潮流計算拉夫遜法潮流計算2022-3-727.1 7.1 潮流計算問題的數(shù)學(xué)模型潮流計算問題的數(shù)學(xué)模型一、一、 潮流方程潮流方程 對于對于N N個節(jié)點的電力網(wǎng)絡(luò)（地作為參考節(jié)點不包括個節(jié)點的電力網(wǎng)絡(luò)（地作為參考節(jié)點不包括在內(nèi)），如果網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)已知，則網(wǎng)絡(luò)方在內(nèi)），如果網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)已知，則網(wǎng)絡(luò)方程可表示為程可表示為 （7-17-1） 式中，式中，Y Y為為 階節(jié)點導(dǎo)納矩陣；階

2、節(jié)點導(dǎo)納矩陣； 為為 維節(jié)點電壓維節(jié)點電壓列矢量；列矢量； 為為 維節(jié)點注入電流列矢量。如果不計網(wǎng)維節(jié)點注入電流列矢量。如果不計網(wǎng)絡(luò)元件非線性，也不考慮移相變壓器，則絡(luò)元件非線性，也不考慮移相變壓器，則Y Y為對稱矩陣。為對稱矩陣。 電力系統(tǒng)計算中，一般給定的運行變量是節(jié)點注入電力系統(tǒng)計算中，一般給定的運行變量是節(jié)點注入功率，而不是節(jié)點注入電流，這兩者之間有如下關(guān)系：功率，而不是節(jié)點注入電流，這兩者之間有如下關(guān)系： （7-27-2） IVYNNV1NI1NSIE2022-3-73式中，式中， 為節(jié)點的注入復(fù)功率，是為節(jié)點的注入復(fù)功率，是 維列向量；維列向量； 為為 的的共軛共軛;是節(jié)點電壓的共

3、軛組成的是節(jié)點電壓的共軛組成的 階對角線矩陣。階對角線矩陣。由式（由式（7-1）和式（）和式（7-2），可得），可得 S1NSSNNVYES上式就是潮流方程的復(fù)數(shù)形式，是上式就是潮流方程的復(fù)數(shù)形式，是N維的非線性附屬代數(shù)方程維的非線性附屬代數(shù)方程組。將其展開，有組。將其展開，有 N,1,2,j YVjPijiijiVQ（7-3）式中，式中， 表示所有和表示所有和 相連的節(jié)點相連的節(jié)點 ，包括，包括 。ijijij 如果節(jié)點電壓用直角坐標表示，即令如果節(jié)點電壓用直角坐標表示，即令 ，代入，代入式（式（7-3）中有）中有iiijfeV N,1,2,i )jb(a )jf(e )jf(e)jB(G)

4、jf -(ejPiiiiiiijijijiiiiQ2022-3-74式中式中ijijijijijij)B(G)B(Gijijiiefbfea故有故有iiiiiiiiiibeafQbfaeP（7-4）（7-5） N,1,2,i 式（式（7-4）和式（）和式（7-5）是直角坐標系表示的潮流方程。）是直角坐標系表示的潮流方程。 如果節(jié)點電壓用極坐標表示，即令如果節(jié)點電壓用極坐標表示，即令iiVV 2022-3-75故有故有ijijijijijjiiijijijijijjiiBGQBG)cossin(VV)sincos(VVP（7-6） N，2，1i 式（式（7-6）是極坐標表示的潮流方程。）是極坐標

5、表示的潮流方程。2022-3-76二、二、 潮流方程的討論和節(jié)點類型的劃分潮流方程的討論和節(jié)點類型的劃分 對于對于N N個節(jié)點的電力系統(tǒng)，每個節(jié)點有四個運行變量個節(jié)點的電力系統(tǒng)，每個節(jié)點有四個運行變量（例如，對于節(jié)（例如，對于節(jié) 點點 有有 ， ， 和和 ）故全系統(tǒng)共有）故全系統(tǒng)共有4N4N個變量。對于式（個變量。對于式（7-37-3）所描述的復(fù)數(shù)潮流方程，共有）所描述的復(fù)數(shù)潮流方程，共有2N2N個實數(shù)方程。要給定個實數(shù)方程。要給定2N2N個變量，另外個變量，另外2N2N個變量才可以求個變量才可以求解。但這絕不是說任意給定解。但這絕不是說任意給定2N2N個變量潮流方程都是可以個變量潮流方程都是

6、可以解的。一般來說，每個節(jié)點的四個變量中給定兩個，另解的。一般來說，每個節(jié)點的四個變量中給定兩個，另外兩個待求。哪兩個作為給定量由該節(jié)點的類型決定。外兩個待求。哪兩個作為給定量由該節(jié)點的類型決定。 對于負荷節(jié)點，該節(jié)點的對于負荷節(jié)點，該節(jié)點的P P，Q Q是由負荷需求決定的，是由負荷需求決定的，一般是不可控的。該類節(jié)點的特點是一般是不可控的。該類節(jié)點的特點是P P，Q Q是給定的，則是給定的，則該節(jié)點該節(jié)點 ， 待求。這類節(jié)點稱為待求。這類節(jié)點稱為PQPQ節(jié)點。無注入的聯(lián)節(jié)點。無注入的聯(lián)絡(luò)節(jié)點也可以看作絡(luò)節(jié)點也可以看作P P，Q Q給定節(jié)點，其給定節(jié)點，其P P，Q Q值都是零。值都是零。 全

7、系統(tǒng)還應(yīng)滿足功率平衡條件，即全網(wǎng)注入功率之全系統(tǒng)還應(yīng)滿足功率平衡條件，即全網(wǎng)注入功率之和應(yīng)等于網(wǎng)絡(luò)損耗，由式（和應(yīng)等于網(wǎng)絡(luò)損耗，由式（7-67-6）并考慮到）并考慮到 是奇函是奇函數(shù)數(shù)iPiQiViiVijsin2022-3-77ijijijjilossiijijijjilossiBQGcosVVQcosVVPPN1iN1iN1iN1i（7-7）則有則有可見，系統(tǒng)有功網(wǎng)損可見，系統(tǒng)有功網(wǎng)損 和無功網(wǎng)損和無功網(wǎng)損 都是節(jié)點電壓幅值和角都是節(jié)點電壓幅值和角度的函數(shù)，只有在度的函數(shù)，只有在 和和 都計算出來之后，都計算出來之后， 和和 才能確才能確定，所以定，所以N個節(jié)點中至少有一個節(jié)點的個節(jié)點中至

8、少有一個節(jié)點的P，Q不能預(yù)先給出，其值不能預(yù)先給出，其值要待潮流計算結(jié)束，要待潮流計算結(jié)束， 和和 確定之后才能確定，該節(jié)點稱為確定之后才能確定，該節(jié)點稱為松弛節(jié)點或平衡節(jié)點。松弛節(jié)點或平衡節(jié)點。 因為平衡節(jié)點的因為平衡節(jié)點的P，Q不能預(yù)先給出，所以該節(jié)點的不能預(yù)先給出，所以該節(jié)點的 ， 就應(yīng)預(yù)先給出，該節(jié)點也稱為就應(yīng)預(yù)先給出，該節(jié)點也稱為 節(jié)點，其節(jié)點，其P，Q值由潮流計算來值由潮流計算來確定。平衡節(jié)點的選取是一種計算上的需要，有多種選法。因為確定。平衡節(jié)點的選取是一種計算上的需要，有多種選法。因為平衡節(jié)點的平衡節(jié)點的P，Q事先無法確定，為使潮流計算結(jié)果符合實際，常事先無法確定，為使潮流計算

9、結(jié)果符合實際，常把平衡節(jié)點選在較大調(diào)節(jié)余量的發(fā)電機節(jié)點。潮流計算結(jié)束時若把平衡節(jié)點選在較大調(diào)節(jié)余量的發(fā)電機節(jié)點。潮流計算結(jié)束時若平衡節(jié)點的有功功率、無功功率和實際情況不符，就要調(diào)整其他平衡節(jié)點的有功功率、無功功率和實際情況不符，就要調(diào)整其他節(jié)點的邊界條件以使平衡節(jié)點的功率在實際允許的范圍之內(nèi)。節(jié)點的邊界條件以使平衡節(jié)點的功率在實際允許的范圍之內(nèi)。lossPlossQVlossPlossQlossPlossQVV2022-3-78 綜上所述，若選第綜上所述，若選第N個節(jié)點為平衡節(jié)點，剩下個節(jié)點為平衡節(jié)點，剩下n個節(jié)點（個節(jié)點（n=N-1）中有中有r個節(jié)點是個節(jié)點是PV節(jié)點，則有節(jié)點，則有n-r個

10、節(jié)點是個節(jié)點是PQ節(jié)點。因此除了平衡節(jié)點。因此除了平衡節(jié)點外，有節(jié)點外，有n個節(jié)點注入有功功率，個節(jié)點注入有功功率，n-r個節(jié)點注入無功功率以及個節(jié)點注入無功功率以及r個節(jié)點的電壓幅值是已知量。個節(jié)點的電壓幅值是已知量。 在直角坐標系，待求的狀態(tài)變量共在直角坐標系，待求的狀態(tài)變量共2n個，用個，用 以下表示，其潮流方程是以下表示，其潮流方程是式中，式中， 與與 是節(jié)點是節(jié)點i的有功和無功功率給定值。式（的有功和無功功率給定值。式（7-8）共有）共有2n個方程，個方程，2n個待求狀態(tài)變量，兩者個數(shù)相等。個待求狀態(tài)變量，兩者個數(shù)相等。 在極坐標系，由于在極坐標系，由于PV節(jié)點的電壓幅值已知，所以待

11、求的狀態(tài)變節(jié)點的電壓幅值已知，所以待求的狀態(tài)變量是量是Tn n TTT . fff . e ee fex2121,.,nrn ifeVV,.,n, ibeafQQ,.,n, ibfaePPiispiiiiiispiiiiiispii1012102102222（7-8）spiPspiQTrn n TTT . VVV . Vx21212022-3-79共共2n-r個待求量。其潮流方程是個待求量。其潮流方程是ijijijijijjiiijijijijijjiiBGQBG)cossin(VVQ )sincos(VVPPspispi,.,n,i21r,.,n,i 21（7-9）共共2n-r個方程。待求量

12、和方程個數(shù)相等。個方程。待求量和方程個數(shù)相等。 為了更清晰地表達潮流方程中給定量和待求量之間的關(guān)系，為了更清晰地表達潮流方程中給定量和待求量之間的關(guān)系，表表7.1中把每列中的兩個給定量用陰影部分表示，另兩個無陰影中把每列中的兩個給定量用陰影部分表示，另兩個無陰影字符表示待求量，平衡節(jié)點號為字符表示待求量，平衡節(jié)點號為s=N=n+1?？梢娒苛卸加袃蓚€量?？梢娒苛卸加袃蓚€量給定，另兩個量待求。給定，另兩個量待求。 表表7.1 潮流方程中的給定量和待求量潮流方程中的給定量和待求量節(jié)點PQ節(jié)點PV節(jié)點變量r-n21Q . Q Q節(jié)點Vr -n21P . P Pr -n21 . r -n21V . V

13、Vn1nP . P rn1n . rn1nQ . Q rn1nV . V r Ps s Vs Qs2022-3-7107.27.2以高斯迭代法為基礎(chǔ)的以高斯迭代法為基礎(chǔ)的潮流計算方法潮流計算方法一、一、 高斯迭代法高斯迭代法 首先考察基于節(jié)點導(dǎo)納矩陣的高斯迭首先考察基于節(jié)點導(dǎo)納矩陣的高斯迭 代代法。在網(wǎng)絡(luò)方程（法。在網(wǎng)絡(luò)方程（7-17-1）中，將平衡節(jié)點）中，將平衡節(jié)點s s排在最排在最后，并將導(dǎo)納矩陣寫成分塊的形式，取出前后，并將導(dǎo)納矩陣寫成分塊的形式，取出前n n個個方程有方程有 高斯迭代法是最早在計算機上實現(xiàn)的潮流計算高斯迭代法是最早在計算機上實現(xiàn)的潮流計算方法。這種方法編程簡單，在某些

14、應(yīng)用領(lǐng)域，如方法。這種方法編程簡單，在某些應(yīng)用領(lǐng)域，如配電網(wǎng)潮流計算中還有應(yīng)用。另外，也用為牛頓配電網(wǎng)潮流計算中還有應(yīng)用。另外，也用為牛頓- -拉夫遜法提供初值。拉夫遜法提供初值。nssnnIVYVY2022-3-711 平衡節(jié)點平衡節(jié)點s s的電壓的電壓 給定，給定，n n個節(jié)點的注入電個節(jié)點的注入電流矢量流矢量 已知，則有已知，則有 sVnIssnnnVYIVY（7-10） 實際電力系統(tǒng)給定量是實際電力系統(tǒng)給定量是n n個節(jié)點的注入功率。注個節(jié)點的注入功率。注入電流和注入功率之間的關(guān)系是入電流和注入功率之間的關(guān)系是iiiVSI,.,n,i21 寫成矢量形式為寫成矢量形式為 VSIi2022

15、-3-712 再把再把 寫成對角線矩陣寫成對角線矩陣D D和嚴格上三角矩陣和嚴格上三角矩陣U U以及嚴以及嚴格下三角矩陣格下三角矩陣L L的和，即令的和，即令 nY0Y0YY0YYY0YYY0UDLYn1 -n1n12nn22111n，n1n21n， 代入代入(7-10)(7-10)式，經(jīng)整理后有式，經(jīng)整理后有nnssn1nVUVLVYIDV（7-11）2022-3-713 考慮到電流和功率的關(guān)系式，上式寫成迭代格式為考慮到電流和功率的關(guān)系式，上式寫成迭代格式為）k（jn1ijij）k（j1 - i1jijsskiiii）1k（iVYVYVYVSY1V,n,i21（7-12）1k（iV 0iV

16、 考給定考給定 ， ，代入上式可求得電壓新，代入上式可求得電壓新值，逐次迭代直到前后兩次遺代求得的電壓值的差值，逐次迭代直到前后兩次遺代求得的電壓值的差小于某一收斂精度為止。這是高斯法的基本解算步小于某一收斂精度為止。這是高斯法的基本解算步驟。驟。 每次迭代要從節(jié)點每次迭代要從節(jié)點1 1掃描到節(jié)掃描到節(jié)n n。在計算。在計算 時，時， ，j=1j=1，2 2，i-1i-1已經(jīng)求出，若迭代是一已經(jīng)求出，若迭代是一個收斂過程，它們應(yīng)比個收斂過程，它們應(yīng)比 ， 更接近于更接近于真值。真值。,.,n,i21 考給定考給定 ， ，代入上式可求得電壓新，代入上式可求得電壓新值，逐次迭代直到前后兩次遺代求得

17、的電壓值的差值，逐次迭代直到前后兩次遺代求得的電壓值的差小于某一收斂精度為止。這是高斯法的基本解算步小于某一收斂精度為止。這是高斯法的基本解算步驟。驟。 每次迭代要從節(jié)點每次迭代要從節(jié)點1 1掃描到節(jié)掃描到節(jié)n n。在計算。在計算 時，時， ，j=1j=1，2 2，i-1i-1已經(jīng)求出，若迭代是一已經(jīng)求出，若迭代是一）1k（jV）1k（jV121,i-,j2022-3-714）k（jV 考所以，用考所以，用 代替代替 可出得到更好的收斂果?？沙龅玫礁玫氖諗抗?。這就是高斯，賽德爾這就是高斯，賽德爾(Gauss-Seidel)(Gauss-Seidel)選代的基本思選代的基本思想，即一旦求出電壓

18、新值，在隨后的迭代中立即使想，即一旦求出電壓新值，在隨后的迭代中立即使用。這種方法的選代格式是用。這種方法的選代格式是）1k（jV）k（jn1ijij）k（j1 - i1jijsskiiii）1k（iVYVYVYVSY1V,n,i21（7-13） 考高斯一賽德爾法比高斯迭代法收斂性要好?？几咚挂毁惖聽柗ū雀咚沟ㄊ諗啃砸?。 考在導(dǎo)納矩陣法的迭代公式中，導(dǎo)納矩陣高度稀考在導(dǎo)納矩陣法的迭代公式中，導(dǎo)納矩陣高度稀疏，每行只有少數(shù)幾個是非零元素，非對角非零元疏，每行只有少數(shù)幾個是非零元素，非對角非零元素個數(shù)與和節(jié)點素個數(shù)與和節(jié)點j j相聯(lián)的支路數(shù)相等。所以，上一次相聯(lián)的支路數(shù)相等。所以，上一次 考

19、迭代后得到的電壓值，只有少數(shù)幾個對本次迭代考迭代后得到的電壓值，只有少數(shù)幾個對本次迭代中節(jié)點電壓的改進有貢獻，這使得導(dǎo)納矩陣法在每次中節(jié)點電壓的改進有貢獻，這使得導(dǎo)納矩陣法在每次迭代中其節(jié)點電壓向解點方向的變化十分緩慢，算法迭代中其節(jié)點電壓向解點方向的變化十分緩慢，算法收斂性較差。收斂性較差。 高斯迭代法的法另一種迭代格式是以節(jié)點阻抗陣高斯迭代法的法另一種迭代格式是以節(jié)點阻抗陣為基礎(chǔ)。由于阻抗矩陣是滿陣，用阻抗矩陣設(shè)計的迭為基礎(chǔ)。由于阻抗矩陣是滿陣，用阻抗矩陣設(shè)計的迭代格式可望獲得好的收斂性。式（代格式可望獲得好的收斂性。式（7-107-10）可以改寫為）可以改寫為 ）（ssn1 -nnVYI

20、YV（7-14）上式也可以寫成上式也可以寫成）（ssnnnVYIZV（7-15）nZnY其中其中 是是 的逆矩陣，即以平衡節(jié)點為電壓的逆矩陣，即以平衡節(jié)點為電壓給定節(jié)點建立的節(jié)點阻抗矩陣。給定節(jié)點建立的節(jié)點阻抗矩陣。2022-3-716 二、關(guān)于高斯法的討論二、關(guān)于高斯法的討論 對于形如對于形如的非線性代數(shù)方程組，總可以寫成的非線性代數(shù)方程組，總可以寫成 的形式，于是，有如下的高斯迭代公式：的形式，于是，有如下的高斯迭代公式：高斯法迭代的收斂性主要由高斯法迭代的收斂性主要由 0 xf（7-16） xx k1k00 xxxx（7-17） *xxTxxdef*x（7-18）2022-3-717 的

21、譜半徑的譜半徑 或矩陣或矩陣 的最大特征值的最大特征值 決定。決定。 是是 的的解點。當(dāng)解點。當(dāng) 的譜半徑小于的譜半徑小于1 1時高斯法迭代可以收斂；時高斯法迭代可以收斂；O(xO(x)的譜半徑越小收斂性越好。的譜半徑越小收斂性越好。 求解求解( 7-27)( 7-27)式有兩種方法，即高斯洼和高斯一式有兩種方法，即高斯洼和高斯一賽德爾法。高斯法的迭代格式是賽德爾法。高斯法的迭代格式是 高斯一賽德爾法的迭代公式是高斯一賽德爾法的迭代公式是 *x*xx *x knk2k1i1ki，x，xxx,n,i21（7-19） kn1ki1k1 - i1k21k1i1kixxx，x，xx，,n,i21（7-

22、20）即剛剛計算出的即剛剛計算出的x x的值就在下次迭代計算中立即使用的值就在下次迭代計算中立即使用當(dāng)當(dāng) 時，迭代收斂。時，迭代收斂。 對于對于連通的電力網(wǎng)絡(luò)，各節(jié)點的電壓是相關(guān)的，不管兩個連通的電力網(wǎng)絡(luò)，各節(jié)點的電壓是相關(guān)的，不管兩個節(jié)點之間是否有支路直接相聯(lián)。節(jié)點之間是否有支路直接相聯(lián)。 n 21i xxmaxki1ki，2022-3-718 由于由于Y Y矩陣中的元素代表的是短路參數(shù)，它是高度稀疏矩陣中的元素代表的是短路參數(shù)，它是高度稀疏的，由的，由(7-12)(7-12)式可見，計算節(jié)點式可見，計算節(jié)點i i的電壓時，只有和節(jié)的電壓時，只有和節(jié)點點j j有支路直接相聯(lián)的節(jié)點有支路直接相

23、聯(lián)的節(jié)點j j的電壓對的電壓對 有貢獻。這種有貢獻。這種方法利用的信息較少，收斂性較差。當(dāng)用阻抗矩陣法方法利用的信息較少，收斂性較差。當(dāng)用阻抗矩陣法時，由于阻抗矩陣是滿矩陣，由（時，由于阻抗矩陣是滿矩陣，由（7-157-15）式可見，網(wǎng)）式可見，網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的電壓都會對絡(luò)中所有節(jié)點的電壓都會對 的計算產(chǎn)生影響，這種的計算產(chǎn)生影響，這種方法利用的信息較多，收斂性人大提高了，但由于占方法利用的信息較多，收斂性人大提高了，但由于占用內(nèi)存多，目前已經(jīng)很少采用了。用內(nèi)存多，目前已經(jīng)很少采用了。 從程序角度看，如果使用式（從程序角度看，如果使用式（7-147-14），利用），利用 的的因子表而不是直接使

24、用式（因子表而不是直接使用式（7-157-15）中）中 的矩陣，可大的矩陣，可大大節(jié)省內(nèi)存，缺點是不易組成高斯一賽德爾迭代的計大節(jié)省內(nèi)存，缺點是不易組成高斯一賽德爾迭代的計算格式。算格式。 iViVnYnZ2022-3-719 不論甩不論甩Y Y矩陣還是用矩陣還是用z z矩陣，對矩陣，對PVPV節(jié)點的處理都是節(jié)點的處理都是困難的。通常的處理方法是，給定困難的。通常的處理方法是，給定PVPV節(jié)點節(jié)點Q Q的初值，在的初值，在高斯迭代過程中，高斯迭代過程中，PVPV節(jié)點的電壓幅值計算值和給定值節(jié)點的電壓幅值計算值和給定值不同，這時修正給定的不同，這時修正給定的Q Q，直到迭代收斂時，直到迭代收斂時

25、，PVPV節(jié)點的節(jié)點的電壓幅值的計算值和給定值相等（小于某一允許的誤電壓幅值的計算值和給定值相等（小于某一允許的誤差范圍）為止。高斯迭代法中關(guān)于差范圍）為止。高斯迭代法中關(guān)于PVPV節(jié)點的處理可參節(jié)點的處理可參考艾獻考艾獻1616。 例例7.1 對于例對于例2.3的三母線電力系統(tǒng)，各網(wǎng)絡(luò)元件的三母線電力系統(tǒng)，各網(wǎng)絡(luò)元件參數(shù)和節(jié)點導(dǎo)納矩陣已在該例中給出。假定節(jié)點參數(shù)和節(jié)點導(dǎo)納矩陣已在該例中給出。假定節(jié)點的的注入功率是注入功率是 節(jié)點節(jié)點的注入功率是的注入功率是 節(jié)點節(jié)點是是 節(jié)點，節(jié)點， 。試用節(jié)。試用節(jié)點導(dǎo)納矩陣和節(jié)點阻抗矩陣的高斯點導(dǎo)納矩陣和節(jié)點阻抗矩陣的高斯-賽德爾迭代法計算賽德爾迭代法計

26、算潮流。潮流。，0 . 1 j0 . 2S1，415. 0 j5 . 0S2V。00 . 1V32022-3-720解解 根據(jù)例根據(jù)例2，3的導(dǎo)納矩陣可寫出（的導(dǎo)納矩陣可寫出（7-11）式的表達式）式的表達式 1211nnssn121V9875. 4 j2494. 000 . 19505. 4 j49505. 0430. 9 j9430. 0V415. 0 j5 . 0V0 . 1 j0 . 2908. 9 j74445. 09580.13j1474. 1 VUVLVYIDVVnV2022-3-7210V9875. 4 j2494. 02于是有于是有 9430. 0 j9430. 0V9875

27、. 4 j2494. 0V0 . 1 j0 . 2 9580.13j1474. 1Vk2k111k1 49505. 0 j49505. 0V9875. 4 j2494. 0V415. 0 j5 . 0 .9089 j74445. 0V1k1k211k22022-3-722將上式寫成簡單迭代法的高斯一賽德爾迭代格式：將上式寫成簡單迭代法的高斯一賽德爾迭代格式： 121121221111kkkkkkV，VfVV，VfV給定初值給定初值 計算過程如下：計算過程如下： 0 . 1 0 . 10201VV 02086. 002165. 113596. 095010. 0002112120201111jV

28、，VfVjV，VfVk2022-3-723 02246. 001394. 113570. 093483. 0112212221211121jV，VfVjV，VfVk整個迭代過程如表整個迭代過程如表7.1所示。所示。表表7.1導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)的高斯一賽德爾法的選代過程導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)的高斯一賽德爾法的選代過程2022-3-724 不論甩不論甩Y Y矩陣還是用矩陣還是用z z矩陣，對矩陣，對PVPV節(jié)點的處理都是由節(jié)點的處理都是由以上結(jié)果可見收斂過程是較慢的，以上結(jié)果可見收斂過程是較慢的，7 7次迭代仍未穩(wěn)定在次迭代仍未穩(wěn)定在一個固定的值上。若以前后兩次選代結(jié)果相差一個固定的值上。若以前后兩次選代結(jié)果

29、相差0.00010.0001為收斂準則，則為收斂準則，則k=7k=7時收斂。此例如果不采用高斯一賽時收斂。此例如果不采用高斯一賽德爾迭代格式，那么迭代次數(shù)還會大大增加。德爾迭代格式，那么迭代次數(shù)還會大大增加。 2022-3-7257.37.3牛頓一拉夫遜法潮流計算牛頓一拉夫遜法潮流計算一、牛頓一拉夫遜法的一般描述一、牛頓一拉夫遜法的一般描述 求解潮流，數(shù)學(xué)上就是求解用潮流方程表示的求解潮流，數(shù)學(xué)上就是求解用潮流方程表示的非線性代數(shù)方程組，因此可用數(shù)學(xué)上的逐次線性化非線性代數(shù)方程組，因此可用數(shù)學(xué)上的逐次線性化的方法，即牛頓一拉夫遜法求解。的方法，即牛頓一拉夫遜法求解。 電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點功率方程可用

30、電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點功率方程可用 表示，式中表示，式中 是節(jié)點注入功率給定值是節(jié)點注入功率給定值y y是節(jié)點注入是節(jié)點注入功率和節(jié)點電壓之間的函數(shù)表達式，功率和節(jié)點電壓之間的函數(shù)表達式，x x是節(jié)點電壓。是節(jié)點電壓。當(dāng)然也可以寫成功率偏差的形式當(dāng)然也可以寫成功率偏差的形式 xyysp（7-21）spy 0 xyyxfsp（7-22）2022-3-726 牛頓一拉夫遜法求解步驟如下。在給定的初值牛頓一拉夫遜法求解步驟如下。在給定的初值 處處將式將式（7-22）作一階泰勒展開作一階泰勒展開 電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點功率方程可用電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點功率方程可用 表示，式中表示，式中 是節(jié)點注入功率給定值是節(jié)點注入功率給定

31、值y y是節(jié)點注入是節(jié)點注入功率和節(jié)點電壓之間的函數(shù)表達式，功率和節(jié)點電壓之間的函數(shù)表達式，x x是節(jié)點電壓。是節(jié)點電壓。當(dāng)然也可以寫成功率偏差的形式當(dāng)然也可以寫成功率偏差的形式定義定義 為潮流方程的雅克比矩陣，為潮流方程的雅克比矩陣， 為為 在在處的值，則有處的值，則有 0 x 0 xxxfxf00T0TxfJ0JJ 0 x 010 xfxJ2022-3-727 用用 修正修正 而得到而得到 的新值，如果迭代序列收斂，的新值，如果迭代序列收斂，它應(yīng)當(dāng)更接近解點值。寫成一般的表達式，它應(yīng)當(dāng)更接近解點值。寫成一般的表達式， 有有 對于潮流收斂的情況，對于潮流收斂的情況， 比比 更接近于解點。更接

32、近于解點。收斂條件為收斂條件為 0 xxx kk1kk1kkxxxfJxxx（7-23）1kx kx .fmaxkix2022-3-728二、直角坐標的牛頓一拉夫遜法二、直角坐標的牛頓一拉夫遜法 對于對于( 7-8)( 7-8)式所示的直角坐標樂的潮流方程，式所示的直角坐標樂的潮流方程，(7-32)(7-32)式有下面的形式：式有下面的形式：狀態(tài)變量是狀態(tài)變量是 ，是，是2n2n維的。雅可比矩陣是維的。雅可比矩陣是2n2n2n2n階矩陣，其結(jié)構(gòu)是階矩陣，其結(jié)構(gòu)是 r feVVr-n feQQn fePP feVfeQfePxf22spspsp2，（7-24）TTT fex2022-3-729

33、n n r fQ eQ r-n fQ eQn fP ePxfJTTTTTTT（7-25） 式式( 7- 23)( 7- 23)所示的修正方程中有所示的修正方程中有2n2n個未知量，有個未知量，有2n2n個方程，只要式個方程，只要式( 7- 23)( 7- 23)中的中的J J非奇異非奇異 則可解。則可解。 在直角坐標情況下，平衡節(jié)點是給定節(jié)點，即在直角坐標情況下，平衡節(jié)點是給定節(jié)點，即平衡節(jié)點平衡節(jié)點s s的電壓的實部和虛部可用下式確定；的電壓的實部和虛部可用下式確定； 式中，式中， 和和 是平衡節(jié)點給定的電壓幅值和相角。是平衡節(jié)點給定的電壓幅值和相角。 xssssssjVVjesincos（

34、7-26）sVs2022-3-730三、極坐標的牛頓三、極坐標的牛頓- -拉夫遜法拉夫遜法 對于對于(7-9)(7-9)式所示的極坐標系的潮流方程，有下式所示的極坐標系的潮流方程，有下面的形式：面的形式： 共共2n-r2n-r個方程，狀態(tài)變量是個方程，狀態(tài)變量是 共共2n-r2n-r個待求量。個待求量。r r個個PVPV節(jié)點的電壓幅值是給定量，節(jié)點的電壓幅值是給定量，不需求解。潮流雅可比矩陣的維數(shù)（不需求解。潮流雅可比矩陣的維數(shù)（2n-r2n-r）（2n-r2n-r）階矩陣，其結(jié)構(gòu)是）階矩陣，其結(jié)構(gòu)是 r -n VQQn VPPVQVPxfspsp，（7-27）r -n21n21VVV VxT

35、TT 2022-3-731 r -n n r-n VQ Qn VP PxfJTTTTT 上式右側(cè)的電壓幅值的偏導(dǎo)數(shù)項中的電壓幅值的上式右側(cè)的電壓幅值的偏導(dǎo)數(shù)項中的電壓幅值的階次減少了階次減少了1 1，為使雅克比矩陣的各部分子矩陣具，為使雅克比矩陣的各部分子矩陣具有一致形式，在實際計算中，常將該項乘以電壓幅有一致形式，在實際計算中，常將該項乘以電壓幅值，并選取值，并選取 作為待求作為待求的修正量，則雅克比矩陣可寫成的修正量，則雅克比矩陣可寫成r -nr -n2211VVVV VVTVV2022-3-732 r -n n r-n VVQ Qn VVP PxfJTTTTT（7-28） 將將(7-37

36、)(7-37)式和式和(7-38)(7-38)式代入式代入(7-33)(7-33)式的修正方程式的修正方程則可求得則可求得x x的修正量的修正量 ，用它修正，用它修正x x直到直到 為止為止。x .fmaxkix2022-3-733四、雅可比矩陣的討論四、雅可比矩陣的討論 雅克比矩陣是牛頓雅克比矩陣是牛頓- -拉夫遜的核心內(nèi)容，需要認拉夫遜的核心內(nèi)容，需要認真分析其特點。首先考察直角坐標系的雅可比矩陣，真分析其特點。首先考察直角坐標系的雅可比矩陣，將將(7-35)(7-35)式寫成式寫成 矩陣中各子塊的維數(shù)已在上式中示意地指出。其中矩陣中各子塊的維數(shù)已在上式中示意地指出。其中各子塊的元素由下式

37、計算：各子塊的元素由下式計算：r-nn rr-nnS L N RMHJ2022-3-734（7-29） 下面再考察極坐標雅可比矩陣下面再考察極坐標雅可比矩陣(7-38)(7-38)式，可用下式，可用下式表示式表示： r-nn r-nnL N MHJ2022-3-735下面各子塊的計算公式是下面各子塊的計算公式是： (7-30)(7-30)于是雅可比矩陣可寫成：于是雅可比矩陣可寫成：QPQPV VL N MHV VJ2022-3-736 等號右邊中間項帶撇的量具有導(dǎo)納的量綱。式中等號右邊中間項帶撇的量具有導(dǎo)納的量綱。式中 和和 分別是分別是n n維和維和n-rn-r維節(jié)點電壓幅值對角線矩陣。維節(jié)

38、點電壓幅值對角線矩陣。代人牛頓一拉夫遜法修正方程代人牛頓一拉夫遜法修正方程(7-23)(7-23)式后有：式后有：PVQVQPVVV VL N MHV VQPQP 整理后有整理后有 式中，式中， ， ， 和和 分別表示以分別表示以 為元素的矢量，本書其余部分亦同。式為元素的矢量，本書其余部分亦同。式（7-317-31）中系數(shù)矩陣與雅克比矩陣）中系數(shù)矩陣與雅克比矩陣J J不同，記為不同，記為 , ,即即VQVPVVL N MH(7-31)(7-31)VVVVPVQiiVViiViiVPiiVQL N MHJJ2022-3-737 除了對角線元素之外，除了對角線元素之外，JJ中沒有電壓幅值項，中沒

39、有電壓幅值項，它的計算公式在它的計算公式在(7-30)(7-30)中。中。(7-31)(7-31)式中右邊具有電式中右邊具有電流的量綱，左邊的相角修正項前乘一個電壓幅值項，流的量綱，左邊的相角修正項前乘一個電壓幅值項，使用時應(yīng)注意。觀察使用時應(yīng)注意。觀察(7-30)(7-30)式的雅可比矩陣各元素式的雅可比矩陣各元素中有余弦項、正弦項和含中有余弦項、正弦項和含P P或或Q Q的項，我們把的項，我們把( 7-30)( 7-30)式描述的雅可比矩陣拆成三個矩陣的式描述的雅可比矩陣拆成三個矩陣的(7-31)(7-31)式的雅式的雅可比矩陣可寫成可比矩陣可寫成 上式中上式中 是矩陣的一種簡化的寫法，它

40、和節(jié)是矩陣的一種簡化的寫法，它和節(jié)點導(dǎo)納矩陣的虛部點導(dǎo)納矩陣的虛部B B的結(jié)構(gòu)相同，區(qū)別在于矩陣的結(jié)構(gòu)相同，區(qū)別在于矩陣B B中中的元素的元素 ，在這里是，在這里是 其它矩陣類同。另外，其它矩陣類同。另外，Q P PQBsin Gsin GsinBsinBcos Gcos GcosBcosJ（7-32）Bcos;cosBijijijB2iiVQdiagQ2iiVPdiagP2022-3-738 在正常情況下，在正常情況下， 很小，可令很小，可令 ；另外，另外，(7-32)(7-32)式中右邊最后一項相對于前兩項數(shù)值式中右邊最后一項相對于前兩項數(shù)值較小，可忽略。于是較小，可忽略。于是(7-32)

41、(7-32)式的雅可比矩陣可簡化式的雅可比矩陣可簡化成成 將式（將式（7-337-33）代入）代入(7-31)(7-31)式，就可以得到定雅可比式，就可以得到定雅可比法潮流計算的快速計算的公式，其修正方程是法潮流計算的快速計算的公式，其修正方程是 由于雅可比矩陣由于雅可比矩陣 是常數(shù)，所以只要在迭代開是常數(shù)，所以只要在迭代開始形成其因子表，在迭代過程中就可以連續(xù)使用。始形成其因子表，在迭代過程中就可以連續(xù)使用。定雅定雅可比法由于是一種固定斜率的牛頓一拉是定雅定雅可比法由于是一種固定斜率的牛頓一拉是遜法，所以只具有一階收斂速度，但由于每次迭代遜法，所以只具有一階收斂速度，但由于每次迭代 ij0sin, 1cosijijB G GBJ0J（7-33）VQVPVVB GGB（7-34）0J2022-3-739 計算的計算時間縮短了，所以總的計算速度比標準計算的計算時間縮短了，所以總的計算速度比標準牛頓一拉夫遜法大大加快。牛頓一拉夫遜法大大加快。 注意，在實際潮流汁箅中，由于有注意，在實際潮流汁箅中，由于有r r個節(jié)點是個節(jié)點是PVPV節(jié)點，這時節(jié)點，這時(7-34)(7-34)式中系數(shù)矩陣的四個子矩陣維式中系數(shù)矩陣的四個子矩陣維數(shù)可能不同，為區(qū)分這種情況，數(shù)可能不同，為區(qū)分這