初一數(shù)學(xué)追及問題和相遇問題列方程的技巧

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初一數(shù)學(xué)追及問題和相遇問題列方程的技巧行程問題在行車、走路等類似運(yùn)動(dòng)時(shí)，已知其中的兩種量，按照速度、路程和時(shí)間三者之間的相互關(guān)系，求第三種量的問題，叫做“行程問題”。此類問題一般分為四類：一、相遇問題；二、追及問題；三、相離問題；四、過橋問題等。行程問題中的相遇問題和追及問題主要的變化是在人（或事物）的數(shù)量和運(yùn)動(dòng)方向上。相遇（相離）問題和追及問題當(dāng)中參與者必須是兩個(gè)人（或事物）以上；如果它們的運(yùn)動(dòng)方向相反，則為相遇（相離）問題，如果他們的運(yùn)動(dòng)方向相同，則為追及問題。相遇問題 兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作相向運(yùn)動(dòng)，或在環(huán)形道口作背向運(yùn)動(dòng)，隨著時(shí)間的延續(xù)、發(fā)展，必然面對(duì)面地相遇。這類問

2、題即為相遇問題。  相遇問題的模型為：甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是兩人共同走了A、B之間這段路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么：A，B兩地的路程(甲的速度乙的速度)×相遇時(shí)間速度和×相遇時(shí)間  基本公式有： 兩地距離=速度和×相遇時(shí)間相遇時(shí)間=兩地距離÷速度和速度和=兩地距離÷相遇時(shí)間  二次相遇問題的模型為：甲從A地出發(fā)，乙從B地出發(fā)相向而行，兩人在C地相遇，相遇后甲繼續(xù)走到B地后返回，乙繼續(xù)走到A地后返回，第二次在D地相遇。則有：第二次相遇時(shí)走的路程是第一次相遇時(shí)走的路程的兩倍。&#

3、160; 相遇問題的核心是“速度和”問題。利用速度和與速度差可以迅速找到問題的突破口，從而保證了迅速解題。 相離問題  兩個(gè)運(yùn)動(dòng)著的動(dòng)體，從同一地點(diǎn)相背而行。若干時(shí)間后，間隔一定的距離，求這段距離的問題，叫做相離問題。它與相遇問題類似，只是運(yùn)動(dòng)的方向有所改變。解答相離問題的關(guān)鍵是求出兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體共同趨勢(shì)的距離（速度和）。 基本公式有： 兩地距離=速度和×相離時(shí)間 相離時(shí)間=兩地距離÷速度和 速度和=兩地距離÷相離時(shí)間  相遇（相離）問題的基本數(shù)量關(guān)系：速度和×相遇（相離）時(shí)間相遇（相離）路程 

4、在相遇(相離)問題和追及問題中，必須很好的理解各數(shù)量的含義及其在數(shù)學(xué)運(yùn)算中是如何給出的，這樣才能夠提高解題速度和能力。 追及問題 兩個(gè)運(yùn)動(dòng)著的物體從不同的地點(diǎn)出發(fā)，同向運(yùn)動(dòng)。慢的在前，快的在后，經(jīng)過若干時(shí)間，快的追上慢的。有時(shí)，快的與慢的從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而行，經(jīng)過一段時(shí)間快的領(lǐng)先一段路程，我們也把它看作追及問題。解答這類問題要找出兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體之間的距離和速度之差，從而求出追及時(shí)間。解題的關(guān)鍵是在互相關(guān)聯(lián)、互相對(duì)應(yīng)的距離差、速度差、追及時(shí)間三者之中，找出兩者，然后運(yùn)用公式求出第三者來達(dá)到解題目的?；竟接校鹤芳埃ɑ蝾I(lǐng)先）的路程÷速度差=追及時(shí)間速度差×追及時(shí)間=追及

5、（或領(lǐng)先）的路程追及（或領(lǐng)先）的路程÷追及時(shí)間=速度差要正確解答有關(guān)“行程問題”，必須弄清物體運(yùn)動(dòng)的具體情況。如：運(yùn)動(dòng)的方向（相向、相背、同向），出發(fā)的時(shí)間（同時(shí)、不同時(shí)），出發(fā)的地點(diǎn)（同地、不同地）、運(yùn)動(dòng)的路線（封閉、不封閉），運(yùn)動(dòng)的結(jié)果（相遇、相距多少、追及）常用公式：行程問題基本恒等關(guān)系式：速度×時(shí)間=路程，即S=vt. 行程問題基本比例關(guān)系式：路程一定的情況下，速度和時(shí)間成反比； 時(shí)間一定的情況下，路程和速度成正比； 速度一定的情況下，路程和時(shí)間成正比。相遇追及問題中符號(hào)法則：相向運(yùn)動(dòng)，速度取和；同向運(yùn)動(dòng)，速度取差。流水行船問題中符號(hào)法則：促進(jìn)運(yùn)動(dòng)，速度取和；阻礙運(yùn)

6、動(dòng)，速度取差。程問題常用比例關(guān)系式：路程比=速度比×時(shí)間比，即S1/S2=v1/v2×t1/t2  電梯運(yùn)行規(guī)律：能看到的電梯級(jí)數(shù)=（人速+電梯速度）×順電梯運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間能看到的電梯級(jí)數(shù)=（人速電梯速度）×逆電梯運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間2v1v2 往返運(yùn)動(dòng)問題核心公式：往返平均速度 = - (其中v1和v2分別表示往返的速)  v1+v2 3S1+S2  兩次相遇問題核心公式：?jiǎn)伟缎蚐= -；兩岸型 S=3S1-S2 （S表示兩岸的距離） 

7、0;                                    2 相向而行：相遇時(shí)間=距離÷速度之和 相背而行：相背距離=速度之和×時(shí)間注意：同向而行追及時(shí)速度慢的在前，快的在后。在環(huán)形跑道上，速度快的在前

8、，慢的在后。  環(huán)形運(yùn)動(dòng)的追擊問題和相遇問題：若同向同起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，第一次相遇時(shí)，速度快的比速度慢的多跑一圈；若相向同起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，第一次相遇時(shí)，兩者路程和為一圈的長(zhǎng)度。  解決行程問題，常以速度為中心，路程和時(shí)間為兩個(gè)基本點(diǎn)，善于抓住不變量列方程。  對(duì)于有三個(gè)以上人或車同時(shí)參與運(yùn)動(dòng)的行程問題，在分析其中某兩個(gè)的運(yùn)動(dòng)情況的同時(shí)，還要弄清此時(shí)此刻另外的人或車處于什么位置，他（它）與前兩者有什么關(guān)系。  分析復(fù)雜的行程問題時(shí)，最好畫線段圖幫助思考。  理解并熟記下面的結(jié)論，對(duì)分析、解答復(fù)雜的行程問題是有好處的    （3）甲的速度是a

9、，乙的速度是b，在相同時(shí)間內(nèi)，甲、乙一共行的    At+bt=s t=s/a+b  S甲=a*t=a*s/a+b  S乙=b*t=b*s/a+b  封閉路線中的行程問題 解決封閉路線中的行程問題，仍要抓住“路程=速度×時(shí)間”這個(gè)基本關(guān)系式，搞清路程、速度、時(shí)間三者之間的關(guān)系。  封閉路線中的行程問題，可以轉(zhuǎn)化為非封閉路線中的行程問題來解決。在求兩個(gè)沿封閉路線相向運(yùn)動(dòng)的人或物體相遇次數(shù)時(shí)，還可以借助圖示直觀地解決。 直線上的來回運(yùn)動(dòng)、鐘表上的時(shí)針分針夾角問題，實(shí)質(zhì)上也是封閉路線中的行程

10、問題。 每個(gè)小時(shí)內(nèi)時(shí)針與分針重合一次垂直兩次。  流水行船問題順流而下與逆流而上問題通常稱為流水問題，流水問題屬于行程問題，仍然利用速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系進(jìn)行解答。解答時(shí)要注意各種速度的涵義及它們之間的關(guān)系。  已知船的順?biāo)俣群湍嫠俣?，求船的靜水速度及水流速度。解答這類問題，一般要掌握下面幾個(gè)數(shù)量關(guān)系：  船速：在靜水中的速度 水速：河流中水流動(dòng)的速度  順?biāo)伲捍陧標(biāo)叫袝r(shí)的速度 逆水速度：船在逆水航行時(shí)的速度 船速+水速=順?biāo)?#160;船速水速=逆水船速 （順?biāo)?逆水船速）&

11、#247;2=船速 （順?biāo)倌嫠伲?#247;2=水速  順?biāo)?船速+水速=逆水船速+水速×2  過橋問題 一列火車通過一座橋或者是鉆過一個(gè)隧道，研究其車長(zhǎng)、車速、橋長(zhǎng)或隧道道長(zhǎng)，過橋或鉆隧道的時(shí)間等關(guān)系的一類應(yīng)用題。 解答這類應(yīng)用題，除了根據(jù)速度、時(shí)間、路程三量之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算外，還必意到車長(zhǎng)，即通過的路程等于橋長(zhǎng)或隧道長(zhǎng)加車長(zhǎng)。 基本公式有：橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)=路程 平均速度×過橋時(shí)間=路程過橋時(shí)間=路程÷平均速度奧數(shù)行程問題解題方法分類：1、信心不足 有不少孩子往往一拿到行程

12、問題的題目心里就發(fā)怵，沒有信心去把題目解決。究其原因，主要是他們?cè)谄綍r(shí)做行程問題時(shí)選題的難度不適當(dāng)，對(duì)一些基本的題目沒能做到熟練掌握。而現(xiàn)在學(xué)生們自己從一些參考書上找的練習(xí)題難度不一、類型各異。這樣的話，孩子自己很難在短期內(nèi)把行程問題掌握。于是就造成了這樣一種現(xiàn)象：感覺學(xué)了很長(zhǎng)時(shí)間，也還是有很多題目不會(huì)做。時(shí)間一長(zhǎng)，自然孩子們就很難建立起足夠的自信心。因此，同學(xué)們?cè)谧鲂谐虇栴}時(shí)一定不要盲目的做那些難度很大的題目，從簡(jiǎn)單的常規(guī)題目開始，一步一腳一印，逐步建立自己的信心，相信自己一定能夠攻克行程問題。作為家長(zhǎng)，在指導(dǎo)孩子學(xué)習(xí)的時(shí)候要多鼓勵(lì)他們，千萬不能急于求成，要謹(jǐn)慎的給孩子安排一些難度大的題目。

13、不要急于給孩子安排做一些競(jìng)賽題或?qū)б系念}目。一定要根據(jù)自己孩子的程度循序漸進(jìn)的增加難度。2、耐心不夠 行程問題很多題目的文字?jǐn)⑹霰容^其他題目要普遍的長(zhǎng)一些，這樣對(duì)于小學(xué)生來講，去理解題意也就增加了難度。因而多數(shù)孩子都不愿讀長(zhǎng)題，這樣首先從心理上就對(duì)題目產(chǎn)生了厭倦感和恐懼感。那么勢(shì)必造成對(duì)題目理解的不夠，分析的不透徹。這就是因?yàn)楹⒆釉谧鲱}時(shí)缺乏足夠的耐心，急于求成。而做行程問題最重要的前提恰恰是要把題意理解透徹，把過程分析清楚，把這前期工作做好了后，后面解題的過程也就會(huì)變得簡(jiǎn)單了。我們發(fā)現(xiàn)往往是老師把題目讀完，把相應(yīng)的過程給孩子分析完之后，他們自己很快就能找到解題的思路和方法。希望同

14、學(xué)們?cè)谧鲱}時(shí)一定要有耐心，一步一步安心思考，逐步把已知條件和所要求的未知條件建立聯(lián)系。經(jīng)過這么逐步分析，你一定會(huì)找到解題的方法的。家長(zhǎng)在這時(shí)也可以慢慢提示著幫孩子理解題意，逐步培養(yǎng)他們分析題目的能力。3、習(xí)慣不良 有一些孩子做題時(shí)不喜歡寫步驟和過程，往往是只寫答案。有的是寫了幾個(gè)簡(jiǎn)單的算式而沒有相應(yīng)的文字提示。例如這樣一道題：甲乙二人分別從AB兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇時(shí)距離A地60千米，然后兩人繼續(xù)前行，分別到達(dá)BA后調(diào)頭繼續(xù)前行。當(dāng)他們第二次相遇時(shí)距離B地30千米。問AB兩地的距離是多少？一道非常典型的迎面相遇問題。我們發(fā)現(xiàn)很多孩子都會(huì)解這道題，他們能夠很快的列出算式。60&#

15、215;330150（千米）但如果你要是問這個(gè)算式的含義，就有很多同學(xué)回答不上來了。他們往往只是記住了這個(gè)解題算式。原因還在于在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中過分重視算式和結(jié)果，而忽視了解題思路和方法的掌握。對(duì)老師在解題過程中做的分析和講解沒有理解充分，對(duì)一些關(guān)鍵的字眼沒能做好記錄。因而同學(xué)們?cè)诼犝n的過程中要注意記錄老師對(duì)題目所做的文字分析，不明白的要及時(shí)詢問老師，只有真正把老師所講題目的解題思路搞懂了才能逐步掌握這類題目的解題方法。如果自己有新的想法，有更好的思路也一定要積極的和老師探討，以確認(rèn)方法的正確性。家長(zhǎng)們?cè)趯?duì)孩子的學(xué)習(xí)進(jìn)行監(jiān)督時(shí)也不能只看孩子的解題結(jié)果，而是要問明白孩子所列算式的來龍去脈，鼓勵(lì)孩

16、子講題給你聽。相信這樣對(duì)孩子的學(xué)習(xí)幫助會(huì)更大。4、做題時(shí)不喜歡畫圖其實(shí)，如果能把題目所敘述的過程表現(xiàn)出來，題目的難度自然就會(huì)大大降低。因?yàn)槿绻麊渭儜{空想象一些相遇或追及過程不僅很困難，也很容易出錯(cuò)，尤其是那些多人相遇或追及，多次相遇或追及那就更不可想象了。所以同學(xué)們平時(shí)做題時(shí)一定要養(yǎng)成畫圖的好習(xí)慣，這對(duì)你分析解題會(huì)起到很大的作用的。所以老師講題過程中畫的圖大家一定要記錄好。 解行程問題的方法 已知速度、時(shí)間、距離三個(gè)數(shù)量中的任何兩個(gè)，求第三個(gè)數(shù)量的應(yīng)用題，叫做行程問題。解答行程問題的關(guān)鍵是，首先要確定運(yùn)動(dòng)的方向，然后根據(jù)速度、時(shí)間和路程的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。 行程問題的基本數(shù)量關(guān)系是：速度×

17、;時(shí)間=路程 路程÷速度=時(shí)間 路程÷時(shí)間=速度 行程問題常見的類型是：相遇問題，追及問題（即同向運(yùn)動(dòng)問題），相離問題（即相背運(yùn)動(dòng)問題）。（一）相遇問題兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作相向運(yùn)動(dòng)或在環(huán)形跑道上作背向運(yùn)動(dòng)，隨著時(shí)間的發(fā)展，必然面對(duì)面地相遇，這類問題叫做相遇問題。它的特點(diǎn)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體共同走完整個(gè)路程。 小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的行程問題，一般是指相遇問題。相遇問題根據(jù)數(shù)量關(guān)系可分成三種類型：求路程，求相遇時(shí)間，求速度。 它們的基本關(guān)系式如下：總路程=（甲速+乙速）×相遇時(shí)間相遇時(shí)間=總路程÷（甲速+乙速） 另一個(gè)速度=甲乙速度和-已知的一個(gè)速度 1. 求路程（1）求兩地

18、間的距離 例1 兩輛汽車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開出，一輛汽車每小時(shí)行56千米，另一輛汽車每小時(shí)行63千米，經(jīng)過4小時(shí)后相遇。甲乙兩地相距多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：兩輛汽車從同時(shí)相對(duì)開出到相遇各行4小時(shí)。一輛汽車的速度乘以它行駛的時(shí)間，就是它行駛的路程；另一輛汽車的速度乘以它行駛的時(shí)間，就是這輛汽車行駛的路程。兩車行駛路程之和，就是兩地距離。56×4=224（千米） 63×4=252（千米） 224+252=476（千米） 綜合算式：56×4+63×4 =224+252=476（千米） 答略。 例2 兩列火車同時(shí)從相距480千米的兩個(gè)城市出發(fā)，相向而行

19、，甲車每小時(shí)行駛40千米，乙車每小時(shí)行駛42千米。5小時(shí)后，兩列火車相距多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：此題的答案不能直接求出，先求出兩車5小時(shí)共行多遠(yuǎn)后，從兩地的距離480千米中，減去兩車5小時(shí)共行的路程，所得就是兩車的距離。 480-（40+42）×5=480-82×5 =480-410 =70（千米）答：5小時(shí)后兩列火車相距70千米。 例3 甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)相向而行，甲每小時(shí)行5千米，乙每小時(shí)行4千米。二人第一次相遇后，都繼續(xù)前進(jìn)，分別到達(dá)B、A兩地后又立即按原速度返回。從開始走到第二次相遇，共用了小時(shí)。6A、B兩地相距多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解

20、：從開始走到第一次相遇，兩人走的路程是一個(gè)AB之長(zhǎng)；而到第二次相遇，兩人走的路程總共就是3個(gè)AB之長(zhǎng)（圖35-1），這三個(gè)AB之長(zhǎng)是： （5+4）×6=54（千米） 所以，A、B兩地相距的路程是：54÷3=18（千米） 答略。 例4 兩列火車從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)對(duì)面開來，第一列火車每小時(shí)行駛60千米，第二列火車每小時(shí)行駛55千米。兩車相遇時(shí)，第一列火車比第二列火車多行了20千米。求甲、乙兩地間的距離。（適于五年級(jí)程度） 解：兩車相遇時(shí)，兩車的路程差是20千米。出現(xiàn)路程差的原因是兩車行駛的速度不同，第一列火車每小時(shí)比第二列火車多行（60-55）千米。由此可求出兩車相遇的時(shí)間，

21、進(jìn)而求出甲、乙兩地間的距離。（60+55）×20÷（60-55） =115×20÷5 =460（千米） 答略。 *例5 甲、乙二人同時(shí)從A、B兩地相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走5千米，兩個(gè)人在距離中點(diǎn)1.5千米的地方相遇。求A、B兩地之間的距離。（適于五年級(jí)程度）  解：由題意可知，當(dāng)二人相遇時(shí)，甲比乙多走了1.5×2千米（圖35-2），甲比乙每小時(shí)多行（6-5）千米。由路程差與速度差，可求出相遇時(shí)間，進(jìn)而求出A、B兩地之間的距離。    （6+5）×1.5×2÷（6-5）&#

22、160; =11×1.5×2÷1 =11×3 =33（千米） 答略。          由兩車“在離中點(diǎn)2千米處相遇”可知，甲車比乙車少行： 2×2=4（千米）  所以，乙車行的路程是：    甲車行的路程是：A、 B兩站間的距離是： 24+20=44（千米） 答略。 同普通客車相遇。甲、乙兩城間相距多少千米？（適于六年級(jí)程度） 快車從乙城開出，普通客車與快車相對(duì)而行。已知普通客車每小時(shí)行60千米，快車每小時(shí)行80千米，可以求出兩車速度

23、之和。又已知兩車相遇時(shí)間，可以按“速度之和×相遇時(shí)間”，求出兩車相對(duì)而行的總行程。普通客車已行駛 普通客車與快車速度之和是： 60+80=140（千米/小時(shí)） 兩車相對(duì)而行的總路程是： 140×4=560（千米） 兩車所行的總路程占全程的比率是： 乙兩城之間相距為： 綜合算式： 答略。 2）求各行多少 例1 兩地相距37.5千米，甲、乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走3.5千米，乙每小時(shí)走4千米。相遇時(shí)甲、乙二人各走了多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：到甲、乙二人相遇時(shí)所用的時(shí)間是： 37.5÷（3.5+4）=5（小時(shí)） 甲行的路程是： 3.5×5

24、=17.5（千米） 乙行的路程是： 4×5=20（千米） 答略。 甲、乙二人從相距40千米的兩地同時(shí)相對(duì)走來，甲每小時(shí)走4千米，乙每小時(shí)走6千米。相遇后他們又都走了1小時(shí)。兩人各走了多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：到甲、乙二人相遇所用的時(shí)間是： 40÷（4+6）=4（小時(shí)） 由于他們又都走了1小時(shí)，因此兩人都走了： 4+1=5（小時(shí)） 甲走的路程是： 4×5=20（千米） 乙走的路程是： 6×5=30（千米） 答略。 兩列火車分別從甲、乙兩個(gè)火車站相對(duì)開出，第一列火車每小時(shí)行48.65千米，第二列火車每小時(shí)行47.35千米。在相遇時(shí)第一列火車比第二列火

25、車多行了5.2千米。到相遇時(shí)兩列火車各行了多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：兩車同時(shí)開出，行的路程有一個(gè)差，這個(gè)差是由于速度不同而形成的?？梢愿鶕?jù)“相遇時(shí)間=路程差÷速度差”的關(guān)系求出相遇時(shí)間，然后再分別求出所行的路程。 從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是： 5.2÷（48.65-47.35） =5.2÷1.3 =4（小時(shí)） 第一列火車行駛的路程是： 48.65×4=194.6（千米） 第二列火車行駛的路程是： 47.35×4=189.4（千米） 答略。 *例4 東、西兩車站相距564千米，兩列火車同時(shí)從兩站相對(duì)開出，經(jīng)6小時(shí)相遇。第一列火車比第二列火車每

26、小時(shí)快2千米。相遇時(shí)這兩列火車各行了多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：兩列火車的速度和是： 564÷6=94（千米/小時(shí)） 第一列火車每小時(shí)行： （94+2）÷2=48（千米） 第二列火車每小時(shí)行： 48-2=46（千米）相遇時(shí)，第一列火車行： 48×6=288（千米） 第二列火車行： 46×6=276（千米） 答略。 2.求相遇時(shí)間 例1 兩個(gè)城市之間的路程是500千米，一列客車和一列貨車同時(shí)從兩個(gè)城市相對(duì)開出，客車的平均速度是每小時(shí)55千米，貨車的平均速度是每小時(shí)45千米。兩車開了幾小時(shí)以后相遇？（適于五年級(jí)程度） 解：已知兩個(gè)城市之間的路程是500

27、千米，又知客車和貨車的速度，可求出兩車的速度之和。用兩城之間的路程除以兩車的速度之和可以求出兩車相遇的時(shí)間。 500÷（55+45） =500÷100 =5（小時(shí)） 答略。 例3 在一次戰(zhàn)役中，敵我雙方原來相距62.75千米。據(jù)偵察員報(bào)告，敵人已向我處前進(jìn)了11千米。我軍隨即出發(fā)迎擊，每小時(shí)前進(jìn)6.5千米，敵人每小時(shí)前進(jìn)5千米。我軍出發(fā)幾小時(shí)后與敵人相遇？（適于五年級(jí)程度） 解：此題已給出總距離是62.75千米，由“敵人已向我處前進(jìn)了11千米”可知實(shí)際的總距離減少到（62.75-11）千米。 （62.75-11）÷（6.5+5） =51.75÷11.5

28、=4.5（小時(shí)） 答：我軍出發(fā)4.5小時(shí)后與敵人相遇。 甲、乙兩地相距200千米，一列貨車由甲地開往乙地要行駛5小時(shí)；一列客車由乙地開往甲地需要行駛4小時(shí)。如果兩列火車同時(shí)從兩地相對(duì)開出，經(jīng)過幾小時(shí)可以相遇？（得數(shù)保留一位小數(shù)）（適于五年級(jí)程度）解：此題用與平常說法不同的方式給出了兩車的速度。先分別求出速度再求和，根據(jù)“時(shí)間=路程÷速度”的關(guān)系，即可求出相遇時(shí)間。 200÷（200÷5+200÷4） =200÷（40+50） =200÷90 2.2（小時(shí)） 答：兩車大約經(jīng)過2.2小時(shí)相遇。 例5 在復(fù)線鐵路上，快車和慢車分別從兩個(gè)車站

29、開出，相向而行。快車車身長(zhǎng)是180米，速度為每秒鐘9米；慢車車身長(zhǎng)210米，車速為每秒鐘6米。從兩車頭相遇到兩車的尾部離開，需要幾秒鐘？（適于五年級(jí)程度） 解：因?yàn)槭且詢绍囯x開為準(zhǔn)計(jì)算時(shí)間，所以兩車經(jīng)過的路程是兩個(gè)車身的總長(zhǎng)?？傞L(zhǎng)除以兩車的速度和，就得到兩車從相遇到車尾離開所需要的時(shí)間。 （180+210）÷（9+6） =390÷15 =26（秒） 答略。 3.求速度 例1 甲、乙兩個(gè)車站相距550千米，兩列火車同時(shí)由兩站相向開出，5小時(shí)相遇。快車每小時(shí)行60千米。慢車每小時(shí)行多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：先求出速度和，再?gòu)乃俣群椭袦p去快車的速度，便得出慢車每小時(shí)行：

30、550÷5-60 =110-60 =50（千米） 答略。 例2 A、B兩個(gè)城市相距380千米?？蛙嚭拓涇噺膬蓚€(gè)城市同時(shí)相對(duì)開出，經(jīng)過4小時(shí)相遇。貨車比客車每小時(shí)快5千米。這兩列車每小時(shí)各行多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：客車每小時(shí)行： （380÷4-5）÷2 =（95-5）÷2 =45（千米） 貨車每小時(shí)行： 45+5=50（千米） 答略。 例3 甲、乙兩個(gè)城市相距980千米，兩列火車由兩城市同時(shí)相對(duì)開出，經(jīng)過10小時(shí)相遇?？燔嚸啃r(shí)行50千米，比慢車每小時(shí)多行多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：兩城市的距離除以兩車相遇的時(shí)間，得到兩車的速度和。從兩車的

31、速度和中減去快車的速度，得到慢車的速度。再用快車速度減去慢車的速度，即得到題中所求。 50-（980÷10-50） =50-（98-50） =50-48 =2（千米） 答略。 甲、乙兩地相距486千米，快車與慢車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開出，經(jīng)過6小時(shí)相遇。已知快車與慢車的速度比是54。求快車和慢車每小時(shí)各行多少千米？（適于六年級(jí)程度） 兩車的速度和是： 486÷6=81（千米/小時(shí)） 快車每小時(shí)行： 慢車每小時(shí)行： 答略。 例5 兩輛汽車同時(shí)從相距465千米的兩地相對(duì)開出，4.5小時(shí)后兩車還相距120千米。一輛汽車每小時(shí)行37千米。另一輛汽車每小時(shí)行多少千米？（適于五年級(jí)程度

32、） 解：如果兩地間的距離減少120千米，4.5小時(shí)兩車正好相遇。也就是兩車4.5小時(shí)行465-120=345千米，345千米除以4.5小時(shí)，可以求出兩車速度之和。從速度之和減去一輛車的速度，得到另一輛車的速度。答略。 例6 甲、乙兩人從相距40千米的兩地相向而行。甲步行，每小時(shí)走5千米，先出發(fā)0.8小時(shí)。乙騎自行車，騎2小時(shí)后，兩人在某地相遇。乙騎自行車每小時(shí)行多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：兩人相遇時(shí)，甲共走： 0.8+2=2.8（小時(shí)） 甲走的路程是： 5×2.8=14（千米） 乙在2小時(shí)內(nèi)行的路程是： 40-14=26（千米） 所以，乙每小時(shí)行： 26÷2=13（千

33、米） 綜合算式： 40-5×（0.8+2）÷2 =40-5×2.8÷2 =40-14÷2 =26÷2 =13（千米） 答略例7 甲、乙二人從相距50千米的兩地相對(duì)而行。甲先出發(fā)，每小時(shí)步行5千米。1小時(shí)后乙騎自行車出發(fā)，騎了2小時(shí)，兩人相距11千米。乙每小時(shí)行駛多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：從相距的50千米中，去掉甲在1小時(shí)內(nèi)先走的5千米，又去掉相隔的11千米，便得到： 50-5-11=34（千米） 這時(shí)，原題就改變成“兩地相隔34千米，甲、乙二人分別從兩地同時(shí)相對(duì)而行。甲步行，乙騎自行車，甲每小時(shí)走5千米。經(jīng)過2小時(shí)兩人相遇。乙

34、每小時(shí)行多少千米？” 由此可知，二人的速度和是： 34÷2=17（千米/小時(shí)） 乙每小時(shí)行駛的路程是： 17-5=12（千米）綜合算式： （50-5-11）÷2-5 =34÷2-5 =17-5 =12（千米） 答略。 （二）追及問題 追及問題的地點(diǎn)可以相同（如環(huán)形跑道上的追及問題），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就發(fā)生快的追及慢的問題。 根據(jù)速度差、距離差和追及時(shí)間三者之間的關(guān)系，常用下面的公式： 距離差=速度差×追及時(shí)間 追及時(shí)間=距離差÷速度差 速度差=距離差÷追及時(shí)間 速度差=快速-慢速 解題的關(guān)鍵是在互相關(guān)聯(lián)、

35、互相對(duì)應(yīng)的距離差、速度差、追及時(shí)間三者之中，找出兩者，然后運(yùn)用公式求出第三者來達(dá)到解題目的。 *例1 甲、乙二人在同一條路上前后相距9千米。他們同時(shí)向同一個(gè)方向前進(jìn)。甲在前，以每小時(shí)5千米的速度步行；乙在后，以每小時(shí)10千米的速度騎自行車追趕甲。幾小時(shí)后乙能追上甲？（適于高年級(jí)程度） 解：求乙?guī)仔r(shí)追上甲，先求乙每小時(shí)能追上甲的路程，是： 10-5=5（千米） 再看，相差的路程9千米中含有多少個(gè)5千米，即得到乙?guī)仔r(shí)追上甲。 9÷5=1.8（小時(shí)） 綜合算式： 9÷（10-5） =9÷5 =1.8（小時(shí)） 答略。 *例2 甲、乙二人在相距6千米的兩地，同時(shí)同向出發(fā)

36、。乙在前，每小時(shí)行5千米；甲在后，每小時(shí)的速度是乙的1.2倍。甲幾小時(shí)才能追上乙？（適于高年級(jí)程度） 解：甲每小時(shí)行： 5×1.2=6（千米） 甲每小時(shí)能追上乙： 6-5=1（千米） 相差的路程6千米中，含有多少個(gè)1千米，甲就用幾小時(shí)追上乙。 6÷1=6（小時(shí)） 答：甲6小時(shí)才能追上乙。*例3 甲、乙二人圍繞一條長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道練習(xí)長(zhǎng)跑。甲每分鐘跑350米，乙每分鐘跑250米。二人從起跑線出發(fā)，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間甲能追上乙？（適于高年級(jí)程度） 解：此題的運(yùn)動(dòng)路線是環(huán)形的。求追上的時(shí)間是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平時(shí)所說的“落一圈”，這一圈相當(dāng)于在直線上的400米，也就是追

37、及的路程。因此，甲追上乙的時(shí)間是： 400÷（350-250） =400÷100 =4（分鐘） 答略。 *例4 在解放戰(zhàn)爭(zhēng)的一次戰(zhàn)役中，我軍偵察到敵軍在我軍南面6千米的某地，正以每小時(shí)5.5千米的速度向南逃竄，我軍立即以每小時(shí)8.5千米的速度追擊敵人。在追上敵人后，只用半小時(shí)就全殲敵軍。從開始追擊到全殲敵軍，共用了多長(zhǎng)時(shí)間？（適于高年級(jí)程度） 解：敵我兩軍行進(jìn)的速度差是： 8.5-5.5=3（千米/小時(shí)） 我軍追上敵軍用的時(shí)間是： 6÷3=2（小時(shí)） 從開始追擊到全殲敵軍，共用的時(shí)間是： 2+0.5=2.5（小時(shí)） 綜合算式： 60÷（8.5-5.5）+

38、0.5 =6÷3+0.5 =2.5（小時(shí)） 答略 *例5 一排解放軍從駐地出發(fā)去執(zhí)行任務(wù)，每小時(shí)行5千米。離開駐地3千米時(shí)，排長(zhǎng)命令通訊員騎自行車回駐地取地圖。通訊員以每小時(shí)10千米的速度回到駐地，取了地圖立即返回。通訊員從駐地出發(fā)，幾小時(shí)可以追上隊(duì)伍？（適于高年級(jí)程度）  解：通訊員離開隊(duì)伍時(shí)，隊(duì)伍已離開駐地3千米。通訊員的速度等于隊(duì)伍的2倍（10÷5=2），通訊員返回到駐地時(shí)，隊(duì)伍又前進(jìn)了（3÷2）千米。這樣，通訊員需追及的距離是（3+3÷2）千米，而速度差是（10-5）千米/小時(shí)。  根據(jù)“距離差÷速度差=時(shí)

39、間”可以求出追及的時(shí)間。  （3+3÷2）÷（10-5）  =4.5÷5 =0.9（小時(shí)） 答略。  （三）相離問題  相離問題就是兩個(gè)人或物體向相反方向運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用題，也叫做相背運(yùn)動(dòng)問題。 解相離問題一般遵循“兩個(gè)人或物體出發(fā)地之間的距離+速度和×時(shí)間=兩個(gè)人或物體之間的距離”。  例1 哥哥由家向東到工廠去上班，每分鐘走85米，弟弟同時(shí)由家往西到學(xué)校去上學(xué)，每分鐘走75米。幾分鐘后二人相距960米？（適于四年級(jí)程度）  解：二人同時(shí)、同地相背而行，只要求

40、出速度和，由“時(shí)間=距離÷速度和”即可求出所行時(shí)間。因此，得：  960÷（85+75）  =960÷160 =6（分鐘） 答略。  例2 甲、乙二人從同一城鎮(zhèn)某車站同時(shí)出發(fā)，相背而行。甲每小時(shí)行6千米，乙每小時(shí)行7千米。8小時(shí)后，甲、乙二人相距多少千米？（適于四年級(jí)程度）  解：先求出二人速度之和，再乘以時(shí)間就得到二人之間的距離。（6+7）×8  =13×8 =104（千米） 答略。  *例3 東、西兩鎮(zhèn)相距69千米。張、王

41、二人同時(shí)自兩鎮(zhèn)之間的某地相背而行，6小時(shí)后二人分別到達(dá)東、西兩鎮(zhèn)。已知張每小時(shí)比王多行1.5千米。二人每小時(shí)各行多少千米？出發(fā)地距東鎮(zhèn)有多少千米？（適于高年級(jí)程度）  解：由二人6小時(shí)共行69千米，可求出他們的速度和是（69÷6）千米/小時(shí)。張每小時(shí)比王多行1.5千米，這是他們的速度差。從而可以分別求出二人的速度。  張每小時(shí)行：  （69÷6+1.5）÷2  =（11.5+1.5）÷2 =13÷2 =6.5（千米） 王每小時(shí)行：  6.5-1.5=5（千米）

42、60; 出發(fā)地距東鎮(zhèn)的距離是：  6.5×6=39（千米）  答：張每小時(shí)行6.5千米，王每小時(shí)行5千米；出發(fā)地到東鎮(zhèn)的距離是39千米。 解流水問題的方法 流水問題是研究船在流水中的行程問題，因此，又叫行船問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的題目，一般是勻速運(yùn)動(dòng)的問題。這類問題的主要特點(diǎn)是，水速在船逆行和順行中的作用不同。 流水問題有如下兩個(gè)基本公式： 順?biāo)俣?船速+水速 （1） 逆水速度=船速-水速 （2） 這里，順?biāo)俣仁侵复標(biāo)叫袝r(shí)單位時(shí)間里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在靜水中單位時(shí)間里所行的路程；水速是指水在單位時(shí)間里流過的路程。公式（1

43、）表明，船順?biāo)叫袝r(shí)的速度等于它在靜水中的速度與水流速度之和。這是因?yàn)轫標(biāo)畷r(shí)，船一方面按自己在靜水中的速度在水面上行進(jìn)，同時(shí)這艘船又在按著水的流動(dòng)速度前進(jìn)，因此船相對(duì)地面的實(shí)際速度等于船速與水速之和。 公式（2）表明，船逆水航行時(shí)的速度等于船在靜水中的速度與水流速度之差。 根據(jù)加減互為逆運(yùn)算的原理，由公式（1）可得： 水速=順?biāo)俣?船速 （3） 船速=順?biāo)俣?水速 （4） 由公式（2）可得： 水速=船速-逆水速度 （5） 船速=逆水速度+水速 （6） 這就是說，只要知道了船在靜水中的速度、船的實(shí)際速度和水速這三者中的任意兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)。 另外，已知某船的逆水速度和順?biāo)俣?，還可以求

44、出船速和水速。因?yàn)轫標(biāo)俣染褪谴倥c水速之和，逆水速度就是船速與水速之差，根據(jù)和差問題的算法，可知： 船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2 （7） 水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2 （8） *例1 一只漁船順?biāo)?5千米，用了5小時(shí)，水流的速度是每小時(shí)1千米。此船在靜水中的速度是多少？（適于高年級(jí)程度） 解：此船的順?biāo)俣仁牵?25÷5=5（千米/小時(shí)） 因?yàn)椤绊標(biāo)俣?船速+水速”，所以，此船在靜水中的速度是“順?biāo)俣?水速”。 5-1=4（千米/小時(shí)） 綜合算式： 25÷5-1=4（千米/小時(shí)） 答：此船在靜水中每小時(shí)行4千米。 *例2 一只漁船在靜水中

45、每小時(shí)航行4千米，逆水4小時(shí)航行12千米。水流的速度是每小時(shí)多少千米？（適于高年級(jí)程度） 解：此船在逆水中的速度是： 12÷4=3（千米/小時(shí)） 因?yàn)槟嫠俣?船速-水速，所以水速=船速-逆水速度，即： 4-3=1（千米/小時(shí)）             答：水流速度是每小時(shí)1千米。 *例3 一只船，順?biāo)啃r(shí)行20千米，逆水每小時(shí)行12千米。這只船在靜水中的速度和水流的速度各是多少？（適于高年級(jí)程度） 解：因?yàn)榇陟o水中的速度=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，所以，這只

46、船在靜水中的速度是： （20+12）÷2=16（千米/小時(shí)） 因?yàn)樗鞯乃俣?（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，所以水流的速度是： （20-12）÷2=4（千米/小時(shí)） 答略。 *例4 某船在靜水中每小時(shí)行18千米，水流速度是每小時(shí)2千米。此船從甲地逆水航行到乙地需要15小時(shí)。求甲、乙兩地的路程是多少千米？此船從乙地回到甲地需要多少小時(shí)？（適于高年級(jí)程度） 解：此船逆水航行的速度是： 18-2=16（千米/小時(shí)） 甲乙兩地的路程是： 16×15=240（千米） 此船順?biāo)叫械乃俣仁牵?18+2=20（千米/小時(shí)） 此船從乙地回到甲地需要的時(shí)間是： 240

47、47;20=12（小時(shí)） 答略。 *例5 某船在靜水中的速度是每小時(shí)15千米，它從上游甲港開往乙港共用8小時(shí)。已知水速為每小時(shí)3千米。此船從乙港返回甲港需要多少小時(shí)？（適于高年級(jí)程度） 解：此船順?biāo)乃俣仁牵?15+3=18（千米/小時(shí)） 甲乙兩港之間的路程是： 18×8=144（千米） 此船逆水航行的速度是： 15-3=12（千米/小時(shí)） 此船從乙港返回甲港需要的時(shí)間是： 144÷12=12（小時(shí)） 綜合算式： （15+3）×8÷（15-3） =144÷12 =12（小時(shí)） 答略。 *例6 甲、乙兩個(gè)碼頭相距144千米，一艘汽艇在靜水中每小時(shí)行20千米，水流速度是每小時(shí)4千米。求由甲碼頭到乙碼頭順?biāo)行枰獛仔r(shí)，由乙碼頭到甲碼頭逆水而行需要多少小時(shí)？（適于高年級(jí)程度） 解：順?biāo)械臅r(shí)間是： 144÷（20+4）=6（小時(shí)） 逆水而行的時(shí)間是： 144÷（20-4）=9（小時(shí)） 答略。 *例7 一條大河，河中間（主航道）的水流速度是每小時(shí)8千米，沿岸邊的水流速度是每小時(shí)6千米。一只船在河中間順流而下，6.5小時(shí)