運(yùn)用對稱性巧解積分題

1、運(yùn)用對稱性巧解積分題周煥發(fā)（渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 陜西渭南 714000）摘 要 本文從六個(gè)方面分析了積分中的對稱性，并結(jié)合事例說明了對稱性在積分解題中的妙用。關(guān)鍵詞 對稱性 奇偶性 函數(shù) 積分 互補(bǔ)變換數(shù)學(xué)中的許多問題，初看起來似乎很難解決，而一旦恰當(dāng)?shù)乩昧四撤N對稱性，就會易如反掌，下面介紹如何充分有效地利用對稱性巧解積分題。1. 利用積分區(qū)間的對稱性設(shè) 在 上可積，利用積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱以及被積函數(shù)的奇偶性，簡化定積分的計(jì)算，可用公式 （1）例1 計(jì)算 解 因積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱，依公式（1） 2. 利用函數(shù)圖像的對稱性利用積分中函數(shù)圖像的對稱性可簡捷明快地解決積分問題。例2 求有曲面所

2、圍成立體的體積。解設(shè)所圍立體的體積為，則 ,所圍成。要畫出的圖像再來確定積分限是很困難的，因此可討論的對稱性。因時(shí)，也有，故關(guān)于坐標(biāo)平面，對稱。又因，所以只需求出立體在第卦限的體積，這時(shí)例3 求 從軸正向看去 為反時(shí)針方向。解 因關(guān)于坐標(biāo)平面對稱，故于是 3. 利用輪換對稱性若把第一變量換成第二變量，第二變量換成第三變量，依次類推，最后一個(gè)變量換成第一個(gè)變量，這樣得到的函數(shù)與原函數(shù)相同，則稱該函數(shù)具有輪換對稱性，在積分問題中，根據(jù)函數(shù)輪換對稱的特點(diǎn)，可由局部的一個(gè)結(jié)論，迅速得到其它相似結(jié)論將大大縮減繁瑣的計(jì)算或證明過程。黎曼積分輪換對稱性是指：第一，被積函數(shù)具有輪換對稱性；第二，積分區(qū)域具有輪

3、換對稱性。下面我們通過例子來說明輪換對稱性在簡化積分運(yùn)算中的作用。例4 計(jì)算第一類曲線積分，其中為橢圓與平面相交的圓周。解法一（一般方法） 先求曲線的參數(shù)方程由方程組 （1）消去得或 （2）旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸 即方程（2）化為 設(shè) 得到所求圓周參數(shù)方程 于是所以同理可得 解法二 先求曲線的半徑。因?yàn)樵c(diǎn)到平面的距離為，所以圓周曲線的半徑為，有輪換對稱性，所以， 例5 計(jì)算三重積分，是由平面及三個(gè)坐標(biāo)面所圍之區(qū)域。解 因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于均對稱，故，于是 例6 計(jì)算第二類曲線積分，其中為球面與平面的交線，從軸正看圓周逆時(shí)針方向。解 由斯托克斯公式其中為所圍成的大圓，的側(cè)與的方向滿足右手法則，有輪換對稱性所以

4、例7 求， 解 將橢球變?yōu)榍颍哼@意味著分別以，代，得 由輪換對稱性可得出所以 4. 抓住特點(diǎn)，構(gòu)造對稱關(guān)系有些積分問題原來并不具有對稱性，在求解過程中，如果我們善于觀察問題的特點(diǎn)，通過適當(dāng)?shù)膿Q元，拆項(xiàng)等構(gòu)造對稱關(guān)系，就可找到問題的突破口，從而快速解答。例8 求 解 令，則原式 例9 設(shè)在上連續(xù)，且，證明證 作閉正方形域，則關(guān)于直線對稱，于是所以5. 利用互補(bǔ)對稱性設(shè)在 上可積，當(dāng)時(shí)，利用互補(bǔ)變換，得到等式 （2）在應(yīng)用公式（2）時(shí)，我們希望函數(shù)比簡單易積分，特別當(dāng)時(shí)，說明在區(qū)間上，橫坐標(biāo)關(guān)于的任意兩個(gè)對稱點(diǎn)與，相應(yīng)的函數(shù)值關(guān)于也對稱，這種對稱性可稱為互補(bǔ)的對稱性，這時(shí)例10 求 解 令，則 而 所以 6. 利用對稱性的某些推廣設(shè)在任何有限區(qū)間上可積，且，利用變換，可得公式 （3）這時(shí)，由及公式（3）得 （4）若，則依（4）有此時(shí)可以說在上關(guān)于有某種對稱性；若，則依（4）有，可稱關(guān)于“反對稱”。因可積，故變限積分函數(shù)連續(xù)，由（4）式得即 （5）例11 證明 證 因?yàn)榫哂袩o限區(qū)間和無界函數(shù)的兩類廣義積分，所以必須分成單一類型的廣義積分。由于 由極限形式的柯西判別法知，廣義積分與都收斂，從而廣義積分收斂。這時(shí)，由于，故由公式（5）得以上數(shù)例用傳統(tǒng)的解法比較繁瑣或難以解答，但由于巧妙地運(yùn)用某