部分壓開(kāi)井滲流井底瞬時(shí)壓力計(jì)算

1、部分壓開(kāi)井滲流井底瞬時(shí)壓力計(jì)算摘要:論文將實(shí)際的垂直裂縫井簡(jiǎn)化成裂縫高度小于地層有效厚度的矩形,在此基礎(chǔ)上采用乘積解給出該問(wèn)題滲流的地層壓力及井底瞬時(shí)壓力（詳見(jiàn)）. 使用Laplace 變換技術(shù),給出考慮井筒存儲(chǔ)及表皮系數(shù)的部分壓裂垂直裂縫井在Laplace 空間上的井底壓力解,最后通過(guò)Laplace 數(shù)值反演給出考慮井筒存儲(chǔ)及表皮系數(shù)的部分壓開(kāi)垂直裂縫井無(wú)量綱壓力及導(dǎo)數(shù).1、引言水力壓裂是開(kāi)發(fā)低滲油氣藏的重要措施之一. 在對(duì)油氣藏進(jìn)行水力壓裂時(shí),一般認(rèn)為油層埋藏深度在1 000 m 以下的裂縫是垂直裂縫,為了評(píng)價(jià)垂直裂縫井的壓裂效果,就必須對(duì)垂直裂縫井的井底壓力進(jìn)行分析.垂直裂縫井由于計(jì)算模

2、型復(fù)雜,所以目前對(duì)所有的垂直裂縫井井底瞬時(shí)壓力都假設(shè)垂直裂縫的高度與油層有效厚度相等,即認(rèn)為是完全壓裂油層. 在此假設(shè)下,垂直裂縫井井底瞬時(shí)壓力的求解方法比較成熟1,2,3 . Gringarten4等人用誤差函數(shù)給出了無(wú)限大地層均勻流量型垂直裂縫和無(wú)限傳導(dǎo)型垂直裂縫井的瞬時(shí)地層壓力,同時(shí)給出了時(shí)間較小時(shí)和時(shí)間較大時(shí)的井底瞬時(shí)壓力漸近解. Cinco-ley5等人將滲流方程變成一組積分方程,然后采用數(shù)值方法求解積分方程,得到了裂縫內(nèi)壓力和流量的數(shù)值解. Cinco-ley6,7等人進(jìn)一步研究了有限傳導(dǎo)垂直裂縫,提出了有限傳導(dǎo)垂直裂縫雙線性流模型,考慮井筒存儲(chǔ)(C) 及表皮系數(shù)(S) , 利用L

3、aplace 變換及數(shù)值反變換技術(shù),得到了雙線性流模型下考慮無(wú)量綱井筒存儲(chǔ)(CD) 及表皮系數(shù)(S) 和不考慮CD 、S 有限傳導(dǎo)垂直裂縫井底瞬時(shí)壓力及其導(dǎo)數(shù)解.Lee8發(fā)展了Cinco-ley 等人的有限傳導(dǎo)垂直裂縫雙線性流模型,提出了考慮井筒存儲(chǔ)、表皮系數(shù)和裂縫存儲(chǔ)的有限傳導(dǎo)垂直裂縫三線性流模型,同樣利用Laplace 變換及數(shù)值反變換技術(shù),得到了三線性流模型有限傳導(dǎo)垂直裂縫井底瞬時(shí)壓力及其導(dǎo)數(shù)解. 針對(duì)有界地層垂直裂縫井這一難題,給出了考慮井筒存儲(chǔ)、表皮系數(shù)的有界地層垂直裂縫井井底瞬時(shí)壓力及其導(dǎo)數(shù)解.上述所有的模型及方法都是基于垂直裂縫的高度與油層有效厚度相等這一假設(shè). 然而,實(shí)際水力壓

4、裂井垂直裂縫形狀往往非常不規(guī)則,垂直裂縫的高度與地層有效厚度也并不相等,實(shí)際的垂直裂縫在井壁附近的高度與地層有效厚度近似相等. 隨著裂縫半長(zhǎng)的增加垂直裂縫高度小于地層有效厚度,形成“舌形”,如圖1 所示. 圖1 實(shí)際垂直裂縫形狀 圖2 部分壓開(kāi)垂直裂縫井模型本文針對(duì)實(shí)際垂直裂縫復(fù)雜的形狀,將垂直裂縫簡(jiǎn)化成矩形且假設(shè)垂直裂縫高度小于地層有效厚度,即部分壓裂垂直裂縫井(如圖2 所示) . 在此基礎(chǔ)上給出井底瞬時(shí)壓力解,同時(shí)考慮井筒存儲(chǔ)及表皮系數(shù)對(duì)井底瞬時(shí)壓力的影響.2、數(shù)學(xué)模型及求解在對(duì)油井實(shí)施水井壓裂，如果產(chǎn)生垂直裂縫，則不可能是理解的情況，即垂直裂縫高度與油藏有效厚度相等，而多數(shù)垂直裂縫形狀是

5、不規(guī)則的，為比較真實(shí)地反應(yīng)實(shí)際情況，假定裂縫為矩形且垂直裂縫的高度小于油藏有效厚度，我們稱之為部分壓裂垂直裂縫井。對(duì)于這種情況下的井底壓力計(jì)算采用以下圖形表示，如圖2所示。 （1） （2） （3） （4） （5）對(duì)于微可壓縮的流體,地層壓力與流體密度之間為線性關(guān)系. 從圖2 可以看出: x 、y 方向?yàn)闊o(wú)限大, z 方向有界,而密度方程及定解條件都為線性. 則可以使用乘積解給出無(wú)限大地層中,該模型無(wú)表皮及井筒儲(chǔ)存情況下的壓力分布,如下式所示:（6）其中: 為徑向?qū)合禂?shù), 為垂向?qū)合禂?shù).為使方程的解更加簡(jiǎn)潔,需要定義如下無(wú)量綱參數(shù):式中: kr 、kz 分別為徑向與垂向地層滲透率(m2) ;

6、 b、xf 、zw 分別為垂直裂縫半高、垂直裂縫半長(zhǎng)、垂直裂縫(位置見(jiàn)圖2,m) ; q 為油氣井地面產(chǎn)量(m3/ d) ; 為地層條件下的流體粘(mPa·S) ; 為地層孔隙度; Ct 為地層綜合壓縮系數(shù)(1/MPa) ; h 為地層有效厚度(m) .通過(guò)以上無(wú)量綱量,可以得到無(wú)量綱壓力（8）其中: 分別是無(wú)量綱形式函數(shù),表達(dá)式如下:石油工程中人們關(guān)心的是井底壓力,對(duì)于無(wú)限大地層的垂直裂縫井,可采用均勻流量及無(wú)限傳導(dǎo)的假設(shè),對(duì)均勻流量垂直裂縫取方向取平均值. 對(duì)方程(8) 在ZD 方向取其平均值得到井底瞬時(shí)壓力 （9）式中如果考慮井筒存儲(chǔ)及表皮系數(shù),則井底壓力PWD 可表示成（10

7、）對(duì)方程(10) 進(jìn)行Laplace 變換,最終得到Laplace 空間上的井底壓力為 （11）其中: 是PfD 的Laplace 空間上的解; u 為L(zhǎng)aplace 空間的變量; 為無(wú)量綱井筒存儲(chǔ)系數(shù); S 為表皮系數(shù).3 解的結(jié)果及討論對(duì)Laplace 空間上的井底壓力進(jìn)行Laplace 數(shù)值反演,可以得到實(shí)際空間上的井底無(wú)量綱壓力及導(dǎo)數(shù),圖3 為考慮井筒存儲(chǔ)及表皮系數(shù)的均勻流量型垂直裂縫壓力及其導(dǎo)數(shù)雙對(duì)數(shù)圖,圖4 為該參數(shù)下井底無(wú)量綱壓力半對(duì)數(shù)圖. 圖3 及圖4 的計(jì)算參數(shù)都為 CD =0.01 , S = 1 , ZWD = 0. 682 5 , BD = 0. 365 , hD =

8、1600. 從圖3 及圖4 可以看出:圖3 雙對(duì)數(shù)壓力及導(dǎo)數(shù)圖 圖4 無(wú)量綱井底壓力半對(duì)數(shù)圖1) 當(dāng)無(wú)量綱時(shí)間較小時(shí),無(wú)量綱壓力與導(dǎo)數(shù)雙對(duì)數(shù)圖重合,且斜率為1 的直線段,表明受井筒存儲(chǔ)影響;2) 無(wú)量綱時(shí)間在110 范圍內(nèi),由于受裂縫壁面的污染影響,存在井筒存儲(chǔ)段向裂縫線性流段過(guò)渡;3) 無(wú)量綱時(shí)間在10100 范圍出現(xiàn)裂縫線性流段,在井底無(wú)量綱導(dǎo)數(shù)雙對(duì)數(shù)圖上表現(xiàn)為斜率為存在一條1/ 2 的直線段.4) 無(wú)量綱時(shí)間在102104 時(shí)間段時(shí),是假定油藏有效厚度為b 時(shí)的徑向流段, 在井底無(wú)量綱導(dǎo)數(shù)雙對(duì)數(shù)圖上表現(xiàn)為數(shù)值為1 (2BD) 的水平線段. 在井底無(wú)量綱壓力的半對(duì)數(shù)圖上有一條直線段,如圖4

9、 中的虛線.5) 無(wú)量綱時(shí)間在104105 時(shí)間段,為部分壓開(kāi)時(shí)的流動(dòng)特征,在井底無(wú)量綱導(dǎo)數(shù)雙對(duì)數(shù)圖上表現(xiàn)為存在斜率為- 1/ 2 直線段,即部分壓開(kāi)的球形流段.6) 無(wú)量綱時(shí)間大于105 的時(shí)間段為地層的總徑向流動(dòng)段,在井底無(wú)量綱導(dǎo)數(shù)雙對(duì)數(shù)圖上表現(xiàn)為數(shù)值為0. 5 的水平線段. 在井底無(wú)量綱壓力的半對(duì)數(shù)圖上有一條直線段,該直線段與第一條直線段相交,該直線段的斜率是第一條直線段斜率的2BD 倍, 如圖4 中的實(shí)線.我們可以從上述方程的精確解中,得到部分時(shí)間段下井底無(wú)量綱壓力的漸近解. 當(dāng)無(wú)量時(shí)間較小時(shí),即當(dāng)tD 0 時(shí),Laplace 變換的變量u , 方程(11) 可近似簡(jiǎn)化成 （12）對(duì)方

10、程(12) 進(jìn)行Laplace 變換,可以得到無(wú)量綱時(shí)間較小時(shí)的井底無(wú)量綱壓力表達(dá)式PSD =tD/ CD. 該式表明:當(dāng)無(wú)量綱時(shí)間較小時(shí),無(wú)量綱壓力雙對(duì)數(shù)圖上有一條斜率為1 的直線段.當(dāng)井筒存儲(chǔ)結(jié)束后,地層可能會(huì)出現(xiàn)裂縫線性流,進(jìn)一步簡(jiǎn)化方程(9) ,井底無(wú)量綱壓力(無(wú)井筒存儲(chǔ)及表皮系數(shù)) 可近似成 （13）式中: 為誤差函數(shù)；為指數(shù)積分函數(shù)；當(dāng)無(wú)量綱時(shí)間較小時(shí)erf ( x) 1 ,而- Ei ( - x) 0 , 方程(13) 可近似成線性流解 （14） 采用同樣方法可以得到在球形流動(dòng)期間和徑向流動(dòng)期間的無(wú)量綱井底壓力的近似解,由于受文章篇幅限制,本文不一一推導(dǎo).4 結(jié)論1) 本文使用乘積原理與Laplace 變換技術(shù)給出部分壓開(kāi)垂直裂縫井底無(wú)量綱壓力及其導(dǎo)數(shù)的半解析半數(shù)值解;2) 在受