經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)1高等數(shù)學(xué)極限與連續(xù)

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)前言一、“高等數(shù)學(xué)”的學(xué)科定位 “高等數(shù)學(xué)”，是以極限論為工具研究變量和變量關(guān)系的學(xué)科，又稱為微積分，在數(shù)學(xué)專業(yè)課中又稱為“數(shù)學(xué)分析”。研究的對象是函數(shù)，基礎(chǔ)是實數(shù)域，運用分析的工具是極限。以下我們根據(jù)課程的特點和內(nèi)容從不同角度對其進(jìn)行說明。1、高等數(shù)學(xué) 初等數(shù)學(xué)， 2、高等數(shù)學(xué)又稱為“微積分”，其主要內(nèi)容是微分學(xué)和積分學(xué)兩部分。而它們的基礎(chǔ)是函數(shù)與極限，我們再根據(jù)其對象是一元函數(shù)和多元函數(shù)將其分為一元微積分和多元微積分。3、同樣是微積分，還有層次的高低問題。4、在內(nèi)容的系統(tǒng)上，其主線是運用極限論工具對函數(shù)的各特性進(jìn)行討論。這里在內(nèi)容體系展開上就有一個認(rèn)識上的矛盾。因為極限論從認(rèn)識的角

2、度看要比函數(shù)的微積分難得多。若一開始就深入的徘徊在極限理論之中，必然偏離我們高數(shù)的學(xué)習(xí)目的。為了解決這個矛盾，我們盡量地簡化了極限論的分析，只是羅列了一些要用的必需結(jié)論（這也是與數(shù)學(xué)分析的主要區(qū)別之一）。但是對它的簡單化將使我們在運用極限這個工具時，感到有點把握不住，這是很正常的。希望大家一定要正確對待這一難關(guān)。我們的處理是在后繼內(nèi)容的一些具體問題中去逐步地完善對極限的認(rèn)識，可能到后面的總結(jié)時，才能較好地體會和歸納出它的實質(zhì)。二、在學(xué)習(xí)中要注意的一些思想方法人們往往對數(shù)學(xué)有一個看法，認(rèn)為數(shù)學(xué)很難，這一看法辨證地說既對又不對。所謂難與不難是相對的，關(guān)鍵在認(rèn)識方法上，若方法對路，相對較難的內(nèi)容也能

3、較容易地掌握。根據(jù)高數(shù)的特點，我們列舉出以下幾對矛盾，希望同學(xué)們在學(xué)習(xí)的全過程中，隨時多想想，找到問題的癥結(jié)，對癥下藥，對學(xué)習(xí)會有一定的幫助。1、常量與變量的矛盾2、內(nèi)容和形式上的矛盾3、感性和理性的矛盾4、有限和無限的矛盾5、局部和整體的矛盾6、連續(xù)和離散的矛盾三、準(zhǔn)備首先在這里先給兩個數(shù)學(xué)符號，是全課程中大量運用的符號。1） 符號“”，即任意選取一個，或說對于每一個例：即在區(qū)域D中任意選取一個元素，或說對于D中的每個。2） 符號“”：至少存在一個例：即在D中存在一個元素。注意：這里的存在性并未說D中有多少個、這些在D中的哪些位置，它僅表明D中至少有一個這樣的。若D中僅有唯一的一個這樣的，記

4、為，即存在唯一的一個。1、絕對值 定義：為實數(shù)的絕對值2、性質(zhì) （有九條）6）若是正實數(shù)， 對于，若將看成定點，看成動點，則說明動點僅能在x0- x0 x0+x0- x0 x0+這個區(qū)間游動。4、一點的鄰域定義稱為定點的鄰域，是動點在點近旁變化范圍的數(shù)學(xué)刻劃。有時問題與點本身無關(guān)，而僅對點的附近有興趣，則提出點的去心鄰域，定義：記 為點的去心鄰域。x0- x0 x0+ x0- x0 x0+第一章 函數(shù)1、函數(shù)的概念及其表達(dá)形式，2、函數(shù)的四個基本性質(zhì)，3、函數(shù)的運算。4、五類基本初等函數(shù)：冪、指、對、三角、反三角函數(shù)。5、函數(shù)分類：初等函數(shù)、分段函數(shù)等。一、函數(shù)的概念1、函數(shù)是一種變化規(guī)律，是

5、兩個數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系。嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義是：定義：，通過對應(yīng)關(guān)系， 與之對應(yīng)，則稱為D上的一個函數(shù)，記為。2、生產(chǎn)函數(shù)： 利潤函數(shù)： 成本函數(shù)：3、分段函數(shù)：中學(xué)時我們涉及的幾乎都是由一個解析式表達(dá)的函數(shù)，而實際問題中大量出現(xiàn)的函數(shù)是在定義域內(nèi)不同部分有不同的變化趨勢，或說定義域內(nèi)不同區(qū)域上有不同的表達(dá)式，這就必須分段刻劃，一般記為：經(jīng)濟(jì)問題很多都是分段函數(shù)。例1：企業(yè)產(chǎn)品的收益是時間的函數(shù)，按產(chǎn)品的生命周期在研制期，成長期成熟期和衰退期各期收益的變化規(guī)律都不一樣，分別為；則，該產(chǎn)品收益的數(shù)學(xué) 模型為：4、函數(shù)的圖形： 一元函數(shù)是平面坐標(biāo)系下一條曲線。二、函數(shù)的基本性質(zhì)1、單調(diào)性可見一般的函數(shù)未

6、必是單調(diào)的，而在波動起伏的不單調(diào)函數(shù)的趨勢分析中，尋求單調(diào)區(qū)間是很重要的一個內(nèi)容。 2、函數(shù)的有界性 3、函數(shù)的奇偶性若的定義域D是關(guān)于原點對稱的區(qū)域都有則稱為偶函數(shù)，若，是奇函數(shù)。幾何意義：奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)圖形關(guān)于Y軸對稱。 圖154、函數(shù)的周期性三、函數(shù)的運算1、四則運算2、反函數(shù)運算定理：嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。3、復(fù)合函數(shù)相對于復(fù)合的概念就是分解。在我們研究一個復(fù)雜的函數(shù)結(jié)構(gòu)時，是否能將其分解為若干簡單的局部，或說它是由若干簡單局部復(fù)合而成?？梢姾瘮?shù)的復(fù)合運算是解析函數(shù)的最重要最常用的基本運算。 例：可看成 即 我們研究的對象函數(shù)內(nèi)容廣泛、形式豐富、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，要整體性的

7、討論難度較大。我們的討論思路是借鑒了化學(xué)研究的基本思想：人們面對于千變?nèi)f化的物質(zhì)世界是先將其最基本的構(gòu)造物化學(xué)元素系統(tǒng)好，然后運用化合反應(yīng)法則來認(rèn)識這錯綜復(fù)雜的世界。類似的，我們也有其構(gòu)造函數(shù)集合的基本元素，這便是基本初等函數(shù)。四、基本初等函數(shù) 基本初等函數(shù)共五類： 1、冪函數(shù)： 2、指數(shù)函數(shù)：3、對數(shù)函數(shù)： 4、三角函數(shù)：5、反三角函數(shù) 討論內(nèi)容是：1º 函數(shù)名 2º 定義域 3º 特殊點 4º 性質(zhì) 5º 運算律 6º作圖幾何表達(dá)： 函數(shù)的以上內(nèi)容都反映在幾何曲線中。五、初等函數(shù)1、初等函數(shù)的定義：由基本初等函數(shù)，經(jīng)過有限次函數(shù)運

8、算，由一個解析式子表達(dá)的函數(shù)。例：2、不是初等函數(shù)的被稱為超越函數(shù)。3、分段函數(shù)，顯然表達(dá)式多于一個了，不屬初等函數(shù)范疇。但它的每一段上都是初等函數(shù)，僅多了若干段以及各段之間的分點。第二章 極限與連續(xù)一、概念：極限是一個無限變化過程，。無限變化： 記為：，等。例如：， 二、計算問題 將自變量變化趨勢代入函數(shù)后看函數(shù)值的變化結(jié)果。例如：，但是：，可見，能直接代進(jìn)去的最好，我們稱為確定型，而大量的代不進(jìn)去，原因是分母出現(xiàn)了0等這些矛盾。我們用符號0表示一個無窮小（注意這個符號不是數(shù)0），用表示一個無窮大量，用M表示有界量，則：這些的結(jié)果是確定的，稱為確定型。而我們將其稱為不定型。所謂不定型，這些運

9、算結(jié)果或為無窮小，或為無窮大或為有界量。1、最好用的是利用連續(xù)的概念處理,而且這類最多。從方法上看就是把函數(shù)中的x用換，帶換的結(jié)果就是其極限值。2、運用無窮小、無窮大的運算關(guān)系,對于，以及等有定型，可直接判斷而得。這一部分不多，但一旦判別出來就得到了結(jié)果。例：。注意，此時極限是型。強(qiáng)調(diào)形式上很容易與混淆。3、主要部分不定型1)  運用初數(shù)恒等變形消因子的方法例： 這是型解：原式=這里運用的是平方差公式處理.2) 運用無窮大的倒數(shù)為無窮小。特別對于有理分式函數(shù)，當(dāng)時，例： 解：原式=。3) 兩個重要極限 。 主要用于三角函數(shù)的極限的處理。 。 主要解決冪指

10、函數(shù)。例： 解：例： 解: 4) 羅畢塔法則函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性概念1、在點連續(xù)：2、在連續(xù)：在上點點連續(xù)。二、函數(shù)的間斷點1、在連續(xù)的定義中式子中包含了三層意思：1º 在點有定義 2º 在時有極限。 3º 當(dāng)時的極限就是點的函數(shù)值而對于2º條，我們還可以分解說成：當(dāng)時左、右極限都存在，而且 左極限 = 右極限。2、間斷點的分類1） 第一類間斷點：左右極限都存在。在第一類間斷點中還有一種更特殊的，稱為可去間斷點：左右極限都存在且相等。2） 第二類間斷點：至少有一個單邊極限不存在。3）說明：第一類間斷點：左右極限都存在

11、，又是間斷點，則必須是或在點處無定義，或其左極限不等于右極限，或極限不等于，此類間斷點在后面的定積分的討論時仍無大礙，但對于第二類間斷點就會出現(xiàn)本質(zhì)的變化。前兩種為可去間斷點：好象是差一點連續(xù)的點。同理從程度上說，第二類間斷點是太不連續(xù)的點。三、函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)連續(xù)是特殊的極限，極限的許多性質(zhì)可推廣過來。對于函數(shù)運算，即四則運算，反函數(shù)運算，復(fù)合函數(shù)運算，只要參加運算的函數(shù)都連續(xù)，則其結(jié)果也連續(xù)。（注意：并沒說不連續(xù)的函數(shù)運算后的結(jié)果一定不連續(xù)）四、初等函數(shù)連續(xù)性的判別1、在這里我們可以充分體會到函數(shù)分類時給出的初等函數(shù)類的巨大優(yōu)越性。首先討論基本初等函數(shù)冪，指，對，三角，反三角的連續(xù)性，從它們的圖形就可見：它們在其有定義的區(qū)間上都是連續(xù)的；然后結(jié)合以上的連續(xù)關(guān)于函數(shù)運算（四則運算，反函數(shù)運算，復(fù)合函數(shù)運算）的性質(zhì)；于是，可以判別一般初等函數(shù)的連續(xù)性了。重要結(jié)論：初等函數(shù)在其有定義域的