第四章導(dǎo)熱問題數(shù)值解1課堂

1、第 4 章熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解法熱傳導(dǎo)求解方法（1）理論分析;（2）實驗方法;（3）數(shù)值計算復(fù)雜問題求解的（1）復(fù)雜的幾何形狀（2）復(fù)雜的邊界條件，如不規(guī)則，非均勻，移動邊界（3）物性參數(shù)非常數(shù)（4）。數(shù)值計算邊界元法有限元法有限差分主要內(nèi)容（1）數(shù)值解法的基本思想是什么？（2）建立溫度場離散方程組的方法（3）如何求解離散方程？（4）如何保證求解過程的收斂性和穩(wěn)定性？4.1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想數(shù)值計算的基本思想將時間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量場（溫度場），用有限離散點上數(shù)值的集合來代替，并通過求解離散點物理量組成的代數(shù)方程來求解，所得的解稱為數(shù)值解。連續(xù)到離散如何獲得離散點的解？t=f(x

2、)4.1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想 數(shù)值計算的基本步驟否是否收斂？是解的分析改進初場求 解 代 數(shù) 方 程建立溫度場的迭代初值建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程確定節(jié)點（區(qū)域離散化）建立方程及定解條件有限差分法的基本思想將求解區(qū)域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)解；用有限小的差商近似代替無限小的微商（導(dǎo)數(shù)），網(wǎng)格節(jié)點上的差商代替方程中的導(dǎo)數(shù)；用節(jié)點的離散化代數(shù)方程（差分方程）近似代替微分方程；通過求解差分方程求取有限節(jié)點上的物理量。微商(導(dǎo)數(shù))的離散形式差商微商形式（a）：aTTi+1TiTi-1Tnb差商形式：1）向后差分格式(b:TiTi-1)xxxx0 dTi » T( xi )

3、 - T( xi-1 )dxDx dTi = lim DTi dxDx®0 Dx三種節(jié)點差分格式微商形式（a）：aTTi+1TicTnTi-11）向后差分格式(b:TiTi-1)bxxx2）向前差分格式(c：TiTi+1)x0dTi » T( xi +1 ) - T( xi ) dxDxdTi» T( xi ) - T( xi-1 ) dxDxdTi= lim DTidxDx®0 DxaT三種節(jié)點差分格式Ti+1TicTnTi-13）中心差分格式(d)dbxxxx0aTTi-1Ti+1TicTndbxxxx0dTi» T( xi+1/ 2 )

4、- T( xi-1/ 2 ) dxDxdTi » T( xi +1 ) - T( xi -1 ) dx2Dx三種節(jié)點差分格式4）二階微商的差分格式aTTiTi+1cTTi-1ndbxxxx0d2TddT i =(i )dx2dxdx( dT )-( dT )»dx x=xi +1/ 2dx x=x1-1/ 2DxT( xi+1 )-T( xi ) - T( xi )-T( xi-1 )»DxDxDx» T( xi+1 )- 2T( xi )+T( xi-1 )( Dx )24.2內(nèi)節(jié)點離散方程的建立方法二維矩形域內(nèi)，穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問題yt0

5、xh1t fh3 t fh2t f1.建立方程和定解條件y物理模型二維矩形域內(nèi)，穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問題Wt0xh1tfH¶2t + ¶2t建立方程=0¶x2¶y2定解條件ìX方向：t (0, y ) = t ; -l ¶t(t)= h- tï02f¶xx= Hïx= Hí= h1 (t- t f )，- l= h3 (t)¶t¶tïY方向：- l- t fïî¶y¶yy =0y =Wy =0y =Wh 3tfh 2t

6、f2.區(qū)域離散化區(qū)域離散化（discretization）yyxx2.區(qū)域離散化 區(qū)域網(wǎng)格劃分y 用一組平行于坐標(biāo)軸的直線（網(wǎng)格線）將研究區(qū)域劃分為若干份； 網(wǎng)格線的交點為節(jié)點(node)，物體內(nèi)部的節(jié)點稱為內(nèi)節(jié)點，邊界上的節(jié)點稱為外節(jié)點； 相鄰兩節(jié)點之間的距離為步長(step length),即：Dx，Dyyxx 注： 網(wǎng)格可不均勻劃分，這里討論均分網(wǎng)格DyDxDxDy2.區(qū)域離散化節(jié)點編號每個節(jié)點均代表一個區(qū)域，如（m，n）節(jié)點代表圖中虛線所示的單元體y(element) 或者容積(controlvolume)；由相鄰兩節(jié)點連線的中垂線構(gòu)成；界面線：相鄰單元的交界線。y單元體大小取決于節(jié)點

7、數(shù)xx(這里用m表示x方向的位置，n表示y方向的位置。)m,n+1m-1,nDy+1,nm,nmDyDxDxm,n-13.建立節(jié)點離散(代數(shù))方程：¶ 2 t¶ 2 t+= 0¶x 2¶y 2常用方法：(1)(2)(3)(4)容積熱平衡法Taylor（泰勒）級數(shù)展開法多項式擬合法容積法¶ 2 t¶ 2 t二階導(dǎo)數(shù)的差分表達式+= 0¶x 2¶y 2x方向的二階導(dǎo)數(shù)中心差分表達式- 2tm,n+ tm-1,n¶2t= tm+1,n¶x2Dx2m,n y方向的二階導(dǎo)數(shù)中心差分表達式- 2tm,n+

8、tm,n-1¶2t= tm,n+1¶y2Dy2m,nx,y方向的二階導(dǎo)數(shù)相加= tm+1,n - 2tm,n + tm-1,n- 2tm,n + tm,n-1¶2t + ¶2t+ tm,n+1= 0¶x2¶y2Dx2Dy2m,n = 1 (t4Dx = Dy+ t+ t+ tt)m+1,nm-1,nm,n+1m,n-1m,n（1）熱平衡法基本思想：對每個有限大小的容積基于能量守恒，獲得溫度場的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。方程，依據(jù)能量守能量守恒：流入體的總熱流量體內(nèi)熱源生成熱

9、流出體的總熱流量體內(nèi)能的增量即：F+ F= F+ Ftivo：W流入體的總熱流量體內(nèi)熱源生成熱流出體的總熱流量體內(nèi)能的增量ÞF i +F=F o + F tF i +( -F o)+ F v = Ftv即：從所有方向流入體的總熱流量體內(nèi)熱源生成熱體內(nèi)能的增量穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源時：從所有方向流入體的總熱流量0n + s + we = 0注意：上面的公式對內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點均適用n + s + we= 0內(nèi)部節(jié)點離散方程：對體每個界面線（圖中虛線）應(yīng)用傅立葉導(dǎo)熱定律。F= -lA ¶t= -lDy ¶tw¶x¶xx= wx= wF= -( - lA &

10、#182;t )= lDy ¶te¶x¶xx=ex=eF= - ( -lA ¶t )= lDx ¶tn¶y¶yy =ny =nF= - lA ¶t= -lDx ¶ts¶y¶yy = sy =s用差商代替微商（導(dǎo)數(shù)），則：= lDy tm -1,n - tm ,nF= -lDy ¶tw¶xDxx = w同理：= lDy tm+1,n - tm,nFDyeDx,n)= lDx tm,n+1 - tm,nFDynDy= lDx tm,n-1 - tm,nFyosDyDxx

11、Dx(m,n+1)(m-1,n)(m, n)(m+1(m,n-1)-tm -1,n - tm ,ntt m,=l+ n,Fmy D1nFw= lDyeDxDx-mtt m,mtt m,=l=l-1, n +1Fx D, nnFx DnsDynDy+ s+ we= 0 n-tmlD,nDx= Dyt= 1 ( t+ t+ t+ t)m ,n4m-1,nm+1,nm ,n+1m ,n-1(2)Taylor（泰勒）級數(shù)展開法函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式為df (x)1 d 2 f (x)1 d 3 f (x)f (x + dx) = f (x)+dx +dx2 +dx3 + ××

12、5;dx2!dx23!dx3對相鄰節(jié)點(m+1,n)及(m-1,n)分別寫出溫度對節(jié)點(m,n)的泰勒級數(shù)展開式Dy,n)DyyoDxxDx(m,n+1)(m-1,n)(m, n)(m+1(m,n-1)¾內(nèi)節(jié)點離散方程1）對相鄰節(jié)點寫出溫度t對內(nèi)節(jié)點(m,n)的泰勒級數(shù)展開式¾用節(jié)點(m,n)的溫度tm,n來表示節(jié)點(m+1,n)的溫度tm+1,nØ 用節(jié)點(m,n)的溫度tm,n來表示節(jié)點(m-1,n)的溫度tm-1,n¶ttm-1,n = tm,n - ¶xDx +m,n¶2tDx2 -m,n2!¶3tDx3 +&quo

13、t;m,n3!¶x2¶x3¶t¶2ttm+1,n =tm,n + ¶xDx + ¶x2m,nDx2 + ¶3t2!¶x3m,nDx3 +"m,n3!x :(m,n)的相鄰節(jié)點為(m+1,n), (m-1,n)y :(m,n)的相鄰節(jié)點為(m,n+1), (m,n-1) +2Dx4 ¶4t¶x4tm+1,n + tm-1,n= 2tm,n+ × × ×m,n 若取上面式右邊的前三項，再相加：-+¶2)D- 2tm,n + tm,n-1- 2t+ t

14、¶2t» tm,n+1¶2ttm+m-»1,nm,n1,n¶y2Dy2¶x2Dx2m,n m,n 22Dx3 ¶3tDx4 ¶4ttm-1,n = tm,n-6¶x3+ 24 ¶x4+ ×××m,nm,nm,n x¶¶xt222Dx3 ¶3tDx4 ¶4ttm+1,n = tm,n+6¶x3+ 24 ¶x4+ × × ×m,nm,nm,n x¶¶xt22）二

15、階導(dǎo)數(shù)的中心差分¶2t- 2tm,n+ tmt n+1,-1 m+,=n¶x2Dx2m ,¶2t-m2t+ t= ,tmn1+nm,-+n1n,¶y2Dy2m ,3）由方程得到內(nèi)節(jié)點(m,n)的離散代數(shù)方程- 2t+ t- 2t+ t¶ 2 t¶ 2 ttt+= 0 m +1,nm ,nm -1,n Dx 2+ m ,n+1m ,nm ,n-1Dy2= 0¶x 2¶y 2= 1 (t)+ t+ t+ ttm+1,nm-1,nm,n+1m,n-1m,n4截斷誤差：級數(shù)余項中的x的最低階數(shù)為2 即中心差分格式具有二階精

16、度。o (nD2x )o (Dy2 )（3）邊界節(jié)點離散方程的建立¾第一類邊界條件因已知邊界的溫度，可將其以數(shù)值的形式加入到內(nèi)節(jié)點的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，可直接求解，因此處理較簡單。¾第二類邊界條件和第三類邊界條件必須用熱平衡的方法，建立邊界節(jié)點的離散方程，邊界節(jié)點與內(nèi)節(jié)點的離散方程一起組成封閉的代數(shù)方程組，才能求解。為了求解方便，這里將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或其表達式。用表示內(nèi)熱源強度。邊界節(jié)點的類型：qwm,n+1(1) 平直邊界上的節(jié)點(2) 外部角點(3)內(nèi)部角點qwm,n-1yxm-1,n¾邊界

17、節(jié)點離散方程的建立：(1)平直邊界上的節(jié)點qw-tt m+,m,n+1lDy1- n,DyqmnDx t, n +1wDxm-n Dxm-mt ,t, nmt ,+ l+ l-1n2DyDDy2x+ D=0qywm , n2m,n-1Dx= Dy Þy4x2Dx Dx2mt n, =2t m-1 ,n+ lwq +m, t n1+,tm- 1 n+mn, lm-1,n從所有方向流入體的總熱量體內(nèi)熱源生成熱 0(2)外部角點l Dy tm-1,n - tm,n+ Dy qqwm,nDxw2Dx2Dx t- tq+ l m,n-1m,n+wDy22m,n-1Dx × Dy =

18、0+ m,n22Dx = DyÞyx2Dx Dx22tm,n = tm-1,n + tm,n-1 +lqw + m,n2lm-1,n(3)內(nèi)部角點lDy tm-1,n - tm,nD1,n - tm,n+ Dy qy tæö+lm+çw ÷qwDxDx22èø+ lDxtm,n+1 - tm,nD1 - tm,n+ Dx qæx tö+lm,n-çw ÷DyDy22èø3DxDy = 0+ m,n4Dx = DyÞ1,nym,n-1xt= 1 (2t+ 2t+ t+ tm,n6m-1,nm,n+1m,n-1m+1,n+ 3Dx2 F + 2Dx22llqw )m,n+1m-1,nm,nm+qw的情況討論：qw = const(1)第二