直角三角形的存在性問題解題策略

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略3直角三角形的存在性問題解題策略挑戰(zhàn)壓軸題中考數(shù)學(xué)的作者上海馬學(xué)斌專題攻略解直角三角形的存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根.一般情況下，按照直角頂點(diǎn)或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程.有時(shí)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡(jiǎn)便.解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起.如果直角邊與坐標(biāo)軸不平行，那么過三個(gè)頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個(gè)新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡(jiǎn)便.在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)間的距離公式常常用到.怎樣畫直角三角形的示意圖呢？如果已知直角邊，那么過直角邊

2、的兩個(gè)端點(diǎn)畫垂線，第三個(gè)頂點(diǎn)在垂線上；如果已知斜邊，那么以斜邊為直徑畫圓，直角頂點(diǎn)在圓上不含直徑的兩個(gè)端點(diǎn).例題解析例？如圖1-1,在ABC中，AB=AC=10,cos/B=-.D、E為線段BC上的兩個(gè)5動(dòng)點(diǎn)，且DE=3EE在D右邊，運(yùn)動(dòng)初始時(shí)D和B重合，當(dāng)E和C重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.過E作EF/AC交AB于F,連結(jié)DF.設(shè)BD=x,如果BDF為直角三角形，求x的值.圖1-1圖1-2圖1-3圖1-4【解析】BDF中，/B是確定的銳角，那么按照直角頂點(diǎn)分類，直角三角形BDF存在兩種情況.如果把夾/B的兩條邊用含有x的式子表示出來，分兩種情況列方程就可以了.如圖1-2,作AHLBC,垂足為H,那么H是B

3、C的中點(diǎn).在RtAABH中，AB=10,cos/B=-,所以BH=8.所以BC=16.5由 EF/AC，得 BF BEBA BC,即55(x 3).8BD44如圖1-3,當(dāng)/BDF=90時(shí)，由cosB-，得BD-BF.BF554 5斛萬程X-一(x3),得x=3.5 8BF44如圖1-4,當(dāng)/BFD=90°時(shí)，由cosB空,，得BF-BD.BD55解方程5x15-x,得x75.8857我們看到，在畫示意圖時(shí)，無須受到ABC的“限制”，只需要取其確定的/B.例？如圖2-1,已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn)，MN4,MA1,MB1.以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M,以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N,使M、N

4、兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C,構(gòu)成ABC,設(shè)AB=x假設(shè)ABC為直角三角形，求x的值.【解析】ABC的三邊長(zhǎng)都可以表示出來，AC=1,AB=x,BC=3-x.如果用斜邊進(jìn)行分類，每條邊都可能成為斜邊，分三種情況：假設(shè)AC為斜邊，則1x2(3x)2,即x23x40,此方程無實(shí)根.假設(shè)AB為斜邊，則x2(3x)21,解得x5如圖2-2.3假設(shè)BC為斜邊，則(3x)21x2,解得x-如圖2-3.3一54因此當(dāng)x或x時(shí)，ABC是直角三角形.33圖2-2圖2-3例？如圖3-1,已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為-2,0，點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于2.原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，P是函數(shù)y-(x0)圖象上的一點(diǎn)，且ABP是直角三角形，求點(diǎn)P

5、的坐x標(biāo).【解析】A、B兩點(diǎn)是確定的，以線段AB為分類標(biāo)準(zhǔn)，分三種情況.圖4-1如果線段AB為直角邊，那么過點(diǎn)A畫AB的垂線，與第一象限內(nèi)的一支雙曲線沒有交點(diǎn)；過點(diǎn)B畫AB的垂線，有1個(gè)交點(diǎn).以AB為直徑畫圓，圓與雙曲線有沒有交點(diǎn)呢？先假設(shè)有交點(diǎn)，再列方程，方程有解那么就有交點(diǎn).如果是一元二次方程，那么可能是一個(gè)交點(diǎn)，也可能是兩個(gè)交點(diǎn).由題意，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,0，且/BAP不可能成為直角.如圖3-2,當(dāng)/ABP=90°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,1.方法一：如圖3-3,當(dāng)/APB=90°時(shí)，OP是RtAPB的斜邊上的中線，OP=2.設(shè)P(x,2),由OP2=4,彳#x2且4.解得

6、xJ2.此時(shí)P(V2,V2).方法二：由勾股定理，得PA2+PB2=AB2.2o22oo-解萬程(x2)(-)(x2)(-)4,得x五.xx方法三：如圖3-4,由AHPsphb,得PH2=ahbh.解方程(2)2(x2)(x2),得x22.圖3-4圖3-5這三種解法的方程貌似差異很大，轉(zhuǎn)化為整式方程之后都是(x2-2)2=0.這個(gè)四次方程的解是xi=x2=J2,x3=x4=J2,它的幾何意義就是以AB為直徑的圓與雙曲線相切于P、P兩點(diǎn)如圖3-5.例？如圖4-1,已知直線y=kx6經(jīng)過點(diǎn)A(1,-4),與x軸相交于點(diǎn)B.假設(shè)點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且ABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).【解析】和例題3一

7、樣，過A、B兩點(diǎn)分別畫AB的垂線，各有1個(gè)點(diǎn)Q.和例題3不同，以AB為直徑畫圓，圓與y軸有沒有交點(diǎn)，一目了然.而圓與雙曲線有沒有交點(diǎn)，是徒手畫雙曲線無法肯定的.將A(1,4)代入y=kx6,可得k=2.所以y=2x6,B(3,0).如圖 4-2,當(dāng)/ AQB=90° 時(shí)， BOQsQHA,BOoQ設(shè)OQ的長(zhǎng)為m.分三種情況討論直角三角形ABQ：QH34m.所以HAm1QHHAAG 4 m.所以GB1解得m=1或m=3.所以Q(0,1)或(0,3).如圖4-3,當(dāng)/BAQ=90°時(shí)，QHAsaGB,解得m7.此時(shí)Q(0,7).22如圖 4-4,當(dāng)/ ABQ =90°

8、 時(shí)， AGBsbMQ,aggbBM 匕2 m.所以一MQ 4333解得m此時(shí)Q(0,-).22圖4-2圖4-3圖4-4三種情況的直角三角形ABQ,直角邊都不與坐標(biāo)軸平行，我們以直角頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn)，構(gòu)造兩個(gè)相似的直角三角形，這樣列比例方程比較簡(jiǎn)便.已知A(1,4)、B(3,0),設(shè)Q(0,n),那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可以表示出AB2,AQ2和BQ2,再按照斜邊為分類標(biāo)準(zhǔn)列方程，就不用畫圖進(jìn)行“盲解”了.例？如圖5-1,拋物線y3x2-x3與x軸交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).假84設(shè)直線l過點(diǎn)E(4,0),M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析

9、式.過A、B兩點(diǎn)分別畫AB的垂線，與直線l各有一個(gè)交點(diǎn)，那么第三個(gè)直角頂點(diǎn)M在哪里？以AB為直徑的。G與直線l相切于點(diǎn)M??！由y3x23x33(x4)(x2),得A(4,0)、B(2,0),直徑AB=6.848如圖5-2,連結(jié)GM,那么GM±l.在RtAEGM中，GM=3,GE=5,所以EM=4.因此tanGEM-.4設(shè)直線l與y軸交于點(diǎn)C,那么OC=3.所以直線l直線EC為y2x3.4根據(jù)對(duì)稱性，直線l還可以是y3x3.4圖5-2例？如圖6-1,在ABC中，CA=CB,AB=8,cosA4.點(diǎn)D是AB邊上的一個(gè)5動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)A關(guān)于直線CD對(duì)稱，連結(jié)CE、DE.1求底邊AB上的高；

10、2設(shè)CE與AB交于點(diǎn)F,當(dāng)ACF為直角三角形時(shí)，求AD的長(zhǎng)；3連結(jié)AE,當(dāng)ADE是直角三角形時(shí)，求AD的長(zhǎng).【解析】這道題目畫示意圖有技巧的，如果將點(diǎn)D看作主動(dòng)點(diǎn)，那么CE就是從動(dòng)線段.反過來畫圖，點(diǎn)E在以CA為半徑的。C上，如果把點(diǎn)E看作主動(dòng)點(diǎn)，再畫/ACE的平分線就產(chǎn)生點(diǎn)D了.1如圖6-2,設(shè)AB邊上的高為CH,那么AH=BH=4.4 一一在RtAACH中，AH=4，cosA,所以AC=5,CH=3.52如圖6-3,當(dāng)/AFC=90°時(shí)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，AF=4,CF=3.在RtDEF中，EF=CECF=2,cose4,所以DE勺.此時(shí)ADDE告.522如圖6-4,當(dāng)/ACF=90°時(shí)，/ACD=45°,那么ACD的條件符合“角邊角”作DGLAC,垂足為G.設(shè)DG=CG=3m,那么AD=5m,AG=4m.由CA=5,得7m=5.解得m_5.此時(shí)AD5m卷77圖6-3圖6-43因?yàn)镈A=DE,所以只存在/ADE=90°的情況.如圖6-5,當(dāng)E在AB下方時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，知/CDA=/CDE=135°,此時(shí)CDH是等腰直角三角形，DH=CH=3.所以