解析幾何范圍最值問題教師詳解

1、第十一講 解析幾何范圍最值問題解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點(diǎn)，就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適變量，其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問題，這個(gè)變量可以是直線的斜率、直線的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)問題的實(shí)際情況靈活處理.一、幾何法求最值【例1】 拋物線的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，過點(diǎn)M(0，2)作直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足(4，12)(1)求直線l和拋物線的方程；(2)當(dāng)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求ABP面積的最大值滿分解答(1)根據(jù)

2、題意可設(shè)直線l的方程為ykx2，拋物線方程為x22py(p0)由得x22pkx4p0設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.所以(4，12)，所以解得故直線l的方程為y2x2，拋物線方程為x22y.(2)設(shè)P(x0，y0)，依題意，知當(dāng)拋物線過點(diǎn)P的切線與l平行時(shí)，ABP的面積最大對(duì)yx2求導(dǎo)，得yx，所以x02，即x02，y0x2，即P(2，2)此時(shí)點(diǎn)P到直線l的距離d.由得x24x40，則x1x24，x1x24，|AB| · ·4 .于是，ABP面積的最大值為×4 ×8 .二、函數(shù)法求最值【示例】

3、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率e ，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最大值為3.(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M(m，n)，使得直線l：mxny1與圓O：x2y21相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由(1)由e ，得ab，橢圓C：1，即x23y23b2，設(shè)P(x，y)為C上任意一點(diǎn)，則|PQ| ，byb.若b1，則b1，當(dāng)yb時(shí)，|PQ|max 3，又b0，得b1(舍去)，若b1，則b1，當(dāng)y1時(shí)，|PQ|max 3，得b1.橢圓C的方程為y21. (2)法一假設(shè)存在這

4、樣的點(diǎn)M(m，n)滿足題意，則有n21，即n21，m.由題意可得SAOB|OA|·|OB|sinAOBsinAOB，當(dāng)AOB90°時(shí)取等號(hào)，這時(shí)AOB為等腰直角三角形，此時(shí)圓心(0,0)到直線mxny1的距離為，則，得m2n22，又n21，解得m2，n2，即存點(diǎn)M的坐標(biāo)為，滿足題意，且AOB的最大面積為.(12分)法二假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M(m，n)滿足題意，則有n21，即n21，m，又設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，由，消去y得(m2n2)x22mx1n20，把n21代入整理得(32m2)x26mxm20，則8m2(3m2)0，而SAOB|OA|·|OB|si

5、nAOBsinAOB，當(dāng)AOB90°，SAOB取得最大值，此時(shí)·x1x2y1y20，又y1y2·，x1x20，即33m(x1x2)(32m2)·x1x20，把代入上式整理得2m49m290，解得m2或m23(舍去)，m±，n± ±，M點(diǎn)的坐標(biāo)為，使得SAOB取得最大值.老師叮嚀：當(dāng)所求的最值可以表示成某個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式時(shí)，我們常常先建立對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)方法求出對(duì)應(yīng)的最值，稱這種方法為函數(shù)法，這是解析幾何問題中求最值的常用方法函數(shù)法是研究數(shù)學(xué)問題的一種最重要的方法，用這種方法求解圓錐曲線的最值問題時(shí)，除了重視建

6、立函數(shù)關(guān)系式這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)外，還要密切注意所建立的函數(shù)式中的變量是否有限制范圍，這些限制范圍恰好制約了最值的取得，因此在解題時(shí)要予以高度關(guān)注三.定義法求最值 在求解有關(guān)圓錐曲線的最值問題時(shí), 通常是利用函數(shù)的觀點(diǎn), 建立函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行求解。但是, 一味的強(qiáng)調(diào)函數(shù)觀點(diǎn), 有時(shí)會(huì)使思維陷入僵局。這時(shí), 若能考慮用圓錐曲線的定義來求解, 問題就顯得特別的簡單。例1、如圖，M是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到點(diǎn)C（3，1）與點(diǎn)B的距離之和為S，則S的取值范圍是（ ）A、 B、C、 D、分析：此題的得分率很低，用函數(shù)觀點(diǎn)求解困難重重。若能利用雙曲線的第一定義，則勢(shì)如破竹。解法如下：連結(jié)MA，由雙

7、曲線的第一定義可得： 當(dāng)且僅當(dāng)A、M、C三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值。如果此題就到此為止，未免太可惜了！于是筆者進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生作如下的探究：（1）如果M點(diǎn)在左支上，則點(diǎn)M到點(diǎn)C（3，1）與點(diǎn)B的距離之和為S，則S的取值范圍是多少？（2）如果M是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到點(diǎn)與點(diǎn)B的距離之差為S，則S的最大值是多少？（3）如果M是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到點(diǎn)與點(diǎn)B的距離之和為S，則S的取值范圍是多少？分析：連結(jié)MA，由橢圓的第一定義可得：，當(dāng)且僅當(dāng)A、M、C三點(diǎn)共線時(shí)取得最大、最小值，如上圖所示。對(duì)于拋物線，也有類似的結(jié)論，由于較簡單，在此就不一一列舉了。練習(xí)1、如圖，橢圓C的方程

8、為，A是橢圓C的短軸左頂點(diǎn)，過A點(diǎn)作斜率為1的直線交橢圓于B點(diǎn)，點(diǎn)P（1，0）, 且BPy軸，APB的面積為.（1）求橢圓C的方程；（2）在直線AB上求一點(diǎn)M，使得以橢圓C的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過M的雙曲線E的實(shí)軸最長，并求此雙曲線E的方程.ABPxyO分析：同樣, 此題若采用函數(shù)觀點(diǎn), 問題（2）將變得復(fù)雜化！若能利用雙曲線的第一定義，則解答就容解易得多了。簡解：（1） 又PAB45°，APPB，故APBP3.P（1,0），A（2,0），B（1,3）b=2，將B（1，3）代入橢圓得：得 ，所求橢圓方程為（2）設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則易知F1（0,）F2（0，）， 直線的方程為：，因

9、為M在雙曲線E上，要雙曲線E的實(shí)軸最大，只須MF1MF2最大，設(shè)F1（0，）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為（2，2），則直線與直線的交點(diǎn)為所求M， 因?yàn)榈姆匠虨椋? 聯(lián)立 得M（）又=MF1-MF2=MMF22，故，故所求雙曲線方程為：2、已知橢圓以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且該橢圓以拋物線的焦點(diǎn)P為其一個(gè)焦點(diǎn)，以雙曲線的焦點(diǎn)Q為頂點(diǎn)。(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，且C，D分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，點(diǎn)M是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍。解：(1)拋物線的焦點(diǎn)P為(4，0)，雙曲線的焦點(diǎn)Q為(5，0)可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知有a>b>0，且a=5，c=4 ，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (2)設(shè)，線段CD方程為，即 點(diǎn)M是線段CD上，將代入得 ，的最大值為24，的最小值為。的取值范圍是。 3、一動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切(I)求動(dòng)圓圓心M的軌跡L的方程()設(shè)過圓心O1的直線與軌跡L相交于A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)問（O2為圓O2的圓心）的內(nèi)切圓N的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為R由題意，得， 由橢圓定義知M在以O(shè)1，O2為焦點(diǎn)的橢圓上，且a=2，c=1， 動(dòng)圓圓心M的軌跡L的方程為 (2)如圖，設(shè)內(nèi)切圓N