(完整版)勾股定理(知識(shí)點(diǎn)+題型分類練習(xí)),推薦文檔

1、勾股定理（知識(shí)點(diǎn)）【知識(shí)要點(diǎn)】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為 c，那么 a 2 b2c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。B弦 ca 勾AC常用關(guān)系式b 股由三角形面積公式可得：AB· CD=AC· BC2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c 有下面關(guān)系： a2 b2 c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中 c 為斜邊。3. 勾股數(shù) ：滿足 a2 b2 c2 的三個(gè) 正整數(shù) 叫做勾股數(shù)（注意： 若 a，b， c、為勾股數(shù)，那么 ka， kb， kc 同樣也是勾股數(shù)組。 ）記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3

2、,4,5；6,8,10；7,24,25；8,15,17等5,12,13用含字母的代數(shù)式表示n 組勾股數(shù)：n21,2n,n 21 （ n2, n為正整數(shù)）；2n1,2n22n,2 n22n1 （ n 為正整數(shù)）m2n 2 ,2mn, m2n 2 （ mn, m ， n 為正整數(shù)）4. 判斷直角三角形 ：（ 1）有一個(gè)角為 90°的三角形是直角三角形。（ 2）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。（ 3）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（ 4）如果三角形的三邊長(zhǎng) a、 b、 c 滿足 a2+b2=c2 ，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（經(jīng)典直角三角形：勾三、股

3、四、弦五）用勾股定理逆定理判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：（ 1）確定最大邊（不妨設(shè)為 c）；（ 2）若 c2 a2 b2，則 ABC是以 C 為直角的三角形；若 a2 b2 c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c 為最大邊）；若 a2 b2 c2，則此三角形為銳角三角形（其中c 為最大邊）5. 直角三角形的性質(zhì)（ 1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余。可表示如下：C=90° A+ B=90°1/11（ 2）在直角三角形中， 30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 A=30°可表示如下：BC=1 AB2 C=90°（ 3）直角三角形斜邊上的中線等于

4、斜邊的一半。 ACB=90°可表示如下：CD=1AB=BD=AD2D為 AB的中點(diǎn)6. 數(shù)軸上表示無理數(shù)第一步：分析所有表示二次根式中被開方數(shù)可以寫成哪兩個(gè)有理數(shù)的和第二步：在數(shù)軸上畫出其中一個(gè)有理數(shù)，以該有理數(shù)為垂足做垂線，在垂線上標(biāo)出第二個(gè)有理數(shù)的長(zhǎng)度。連接端點(diǎn)和原點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，端點(diǎn)為半徑畫圓，于數(shù)軸交點(diǎn)即為所有無理數(shù)。2/11勾股定理專項(xiàng)練習(xí)一、基本應(yīng)用考點(diǎn) 1：勾股定理1. 下列是勾股數(shù)的一組是（ D ）A.4,5,6B.5,7,12C.12,13,15D.21,28,352.ABC中，A： B： C=2：1：1，a，b，c 分別是 A、 B、 C的對(duì)邊，則下列各等式中成

5、立的是（）A.a 2+b2=c2B.a2=2b2C.c2=2a2D.b2=2a23. 矩形 ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,則這個(gè)矩形的面積為60 cm2.4.如圖，在 ABC中， BAC=90o， AB=15，AC=20，ADBC，垂足為 D，則 ABC斜邊上的高 AD=125. 已知等腰三角形底邊長(zhǎng)為 10cm，腰長(zhǎng)為 13cm，則腰上的高 為( C )A.12cmB.60cmC.120cmD.10 cm1313136.一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長(zhǎng)分別為6 ， 8，107.（易錯(cuò)題）已知直角三角形的兩邊x， y 的長(zhǎng)滿足 x4+y3 =0，則第三邊的長(zhǎng)為5或

6、7.8.若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，4， x，則 x 的可能值有（）A.1 個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)9.已知直角三角形兩邊長(zhǎng)分別為3、4，則第三邊長(zhǎng)為10. 已知直角三角形的兩直角邊之比為3：4，斜邊為 10，則直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為11. 如圖，分別以 Rt ABC三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用S 、S 、S 表示，容易得出S 、S、12312S 之間有的關(guān)系式 S1+S =S32312. （易錯(cuò)題）如圖，已知在 Rt ABC中 ACB=90°， AB=4，分別以 AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為S1， S2，則 S1+S2 的值等于2 13. 如圖，所有的

7、四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形邊長(zhǎng)為7cm，則正方形 A， B， C，D 的面積之和為49 cm2。第 4 題第11題第12題第13題3/1114. 在 RtABC， C=90°（ 1）已知 c=17， b=8, 求 a。（ a=15）（ 2）已知 a b=1 2， c=5, 求 a。（ a=5 ）（ 3）已知 b=15， A=30°，求 a，c。（ a=5 3， c=103）15. 若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是n+1， n+2， n+3，求 n。（ n=2）16. 若直角三角形兩直角邊的比是3： 4，斜邊長(zhǎng)是 20，求此直角三角形的面積。 （

8、 S=96）考點(diǎn) 2. 勾股定理逆定理1. 以下列各組線段為邊長(zhǎng)，能構(gòu)成三角形的是_，能構(gòu)成直角三角形的是 _ （填序號(hào)）3， 4，5 1 ，3， 4 4 ，4，6 6 ，8，10 5 ，7，2 13 ，5，12 7 ，25，242. 在下列以線段a、 b、 c 的長(zhǎng)為三邊的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的是（D）A.a=9 ， b=41， c=40B.a=b=5， c= 5 2C.a b c=3 45D.a=11，b=12， c=153. 若一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)的平方分別為：32， 42， x2，則此三角形是直角三角形的x2 的值是（ D ）A42B52C7D52或 74. 下列 說法不正確的是（

9、 B ）A. 三個(gè)角的度數(shù)之比為134的三角形是直角三角形B. 三個(gè)角的度數(shù)之比為345的三角形是直角三角形C. 三邊長(zhǎng)度之比為345 的三角形是直角三角形D.三邊長(zhǎng)度之比為51213的三角形是直角三角形5. 若 ABC的三邊 a、 b、c，滿足（ a b）（a2 b2 c2） =0，則 ABC是（C）A. 等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形6. 有下列說法： 若兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，則此三角形是直角三角形；在 ABC中，a、b、c 分別是 A、B、 C 的對(duì)邊， 若 a2+b2 c2，則 ABC是鈍角三角形； 在 ABC中，a、b、c 分別是 A、

10、 B、 C 的對(duì)邊，若 b2+c 2=a2，則 C=900；在 ABC中， a、b、 c 分別是 A、 B、 C 的對(duì)邊， C4/11900，則 a2 +b2 c2。其中正確的是（D）A. B.C.D.7. 下列說法中正確的有（）如果 A+ B+ C=3： 4： 5，則 ABC 是直角三角形；如果A+ B= C，那么 ABC 是直角三角形；如果三角形三邊之比為6：8：10，則 ABC是直角三角形；如果三邊長(zhǎng)分別是n2-1 ，2n，n2+1（ n 1），則 ABC是直角三角形。A.1 個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)8. 若 c13 +|a-12|+(b-5)2直角三角形 .=0, 則以 a、 b、

11、c 為三邊的三角形是9. 如果 ABC的三邊 a,b,c滿足關(guān)系式a 2b18 + （ b-18 ） 2+ c30 =0 則 ABC是三角形。10. 已知 :a 、 b、c 為 ABC的三邊 , 且滿足 a2c2-b 2c2=a4-b 4, 試判斷 ABC的形狀 .解 : a2 c2-b 2c2 =a4-b 4, c2(a 2-b 2)=(a 2+b2)(a 2-b 2). 2 2 c =a +b . 2 ABC是直角三角形.問 :(1) 在上述解題過程中, 從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤?請(qǐng)寫出該步的代號(hào):(2) 錯(cuò)誤的原因?yàn)槌龜?shù)可能為零;11. 已知 ABC的三邊為a、b、c，且 a : b : c

12、1 : 1 :2 ，求三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比 （ A：B：C=1:1：: 2）12. ABC的三邊 a、b、c 滿足 | a b 50 | a b 32 (c 40)20 試判斷 ABC的形狀（直角三角形）13. 已知 ABC的三邊為a、 b、 c，且 a+b=4，ab=1， c=14 ，試判定 ABC的形狀。（直角三角形）5/1114. 若 ABC的三邊 a， b， c 滿足條件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c ，試判定 ABC的形狀（直角三角形）15. 一根 24 米繩子，折成三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長(zhǎng)分別為多少米？此三角形的形狀為？（ 6； 8； 10；直角三角

13、形）16. 若 ABC的三邊長(zhǎng)為 a, b, c，根據(jù)下列條件判斷 ABC的形狀 .（ 1） a2+b2+c2+200=12a+16b+20c(2)a3 a2b+ab2ac2+bc2 b3=0考點(diǎn) 3. 數(shù)軸表示無理數(shù)（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）1. 用圓規(guī)與尺子在數(shù)軸上作出表示13 的點(diǎn)，并補(bǔ)充完整作圖方法2. 在數(shù)軸上畫出表示17 的點(diǎn)？3. 在數(shù)軸上作出表示3-2 的點(diǎn)6/11考點(diǎn) 4: 勾股定理幾何應(yīng)用1. 如圖在矩形 ABCD中 ,M 是 CD中點(diǎn)， AB=8，AD=3（1）求 AM的長(zhǎng)；（ 2）MAB是直角三角形嗎？為什么？（ AM=5；不是直角三角形）2. 如圖所示，在R

14、t ABC中， ACB=90°， CD是 AB 邊上高，若AD=8， BD=2，求 CD（ CD=4）3. 一個(gè)長(zhǎng)方體木箱沿斜面下滑，當(dāng)木箱滑至如圖位置時(shí)，AB=3m，已知木箱高BE= 3 m，斜面坡角為30°，求木箱端點(diǎn)E 距地面 AC的高度 EF。（ EF=3）4. 有一塊土地形狀如圖所示, B= D=90° ,AB=20 米 ,BC=15 米 ,CD=7 米 , 請(qǐng)計(jì)算這塊地的面積. （ S=234）5. 四邊形 ABCD中， B=90°， AB=3，BC=4， CD=12，AD=13，求四邊形 ABCD的面積。（ S=36）CBAD6. 如圖，在

15、四邊形 ABCD中,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm, C=90°(1) 求 BD的長(zhǎng) ; （ BD=5） (2) 當(dāng) AD為多少時(shí) , ABD=90° ?（ AD=13）7/117. 農(nóng)民牛伯伯承包了一塊四邊形水稻田ABCD，他量得邊長(zhǎng)AB=90m，BC=120m，CD=130m，DA=140m，且邊 AB、BC正好位于兩條相互垂直的公路的拐角處，請(qǐng)你幫牛伯伯計(jì)算一下這塊水稻田的面積。（ S=13800）8. 如圖所示的一塊地，AD=12m， CD=9m， ADC=90°， AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積（二）、實(shí)際應(yīng)用：1. 梯子滑

16、動(dòng)問題：1.一架長(zhǎng)2.5 m 的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7 m （如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑 0.4m ，那么梯子底端將向左滑動(dòng)0.8米2.如圖，一個(gè)長(zhǎng)為 10 米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8 米，如果梯子的頂端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑動(dòng)距離51-1米3.小明想知道學(xué)校旗桿的高度， 他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面上還多1 m，當(dāng)他把繩子的下端拉開5 米后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好觸到地面，試問旗桿的高度為12米4.如圖，一根 12 米高的電線桿兩側(cè)各用15 米的鐵絲固定，兩個(gè)固定點(diǎn)之間的距離是18。86第1題第2題第4題5. 如圖，一個(gè) 3 米長(zhǎng)的

17、梯子 AB，斜著靠在豎直的墻 AO上，這時(shí) AO的距離為 2.5 米求梯子的底端B 距墻角 O多少米？（ 1.66 ）如果梯的頂端A 沿墻下滑 0.5 米至 C算一算，底端滑動(dòng)的距離近似值（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（ 0.58 ）8/116. 如圖所示，梯子 AB靠在墻上，梯子的底端A 到墻根 O 的距離為2m，梯子的頂端B 到地面的距離為7m現(xiàn)將梯子的底端 A 向外移動(dòng)到 A, 使梯子的底端 A到墻根 O的距離為 3m，同時(shí)梯子的頂端 B 下降到 B，那么 BB也等于 1m嗎 ?（不等于 1，小于 1）2. 爬行距離最短問題：1.如圖，正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，AB 中點(diǎn)為 M，一只螞蟻從點(diǎn)M沿正方體

18、的表面爬到點(diǎn)C ，螞蟻爬行的最短距離是（B）A.13B.17C.5D.252.如圖，一塊磚寬AN=5 ，長(zhǎng) ND=10， CD上的點(diǎn) F 距地面的高FD=8，地面上A 處的一只螞蟻到 F處吃食，要爬行的最短路線是17cm3.如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A 和 B 是這個(gè)臺(tái)階兩相對(duì)的端點(diǎn)， A 點(diǎn)有一只昆蟲想到B 點(diǎn)去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺(tái)階爬到B 點(diǎn)的最短路程是 25分米？4. 一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是3，高是 8 的長(zhǎng)方體紙箱的A 點(diǎn)沿紙箱爬到B 點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長(zhǎng)是10.5. 在一個(gè)長(zhǎng)為2 米，寬為1 米的矩形草地上，如圖堆放著一

19、根長(zhǎng)方體的木塊，它的棱長(zhǎng)和場(chǎng)地寬AD 平行且 >AD，木塊的正視圖是邊長(zhǎng)為0.2 米的正方形， 求一只螞蟻從點(diǎn)A 處，到達(dá) C 處需要走的最短路2.6第1題第2題第3題第4題第5題3. 方向問題：1. 一座垂直于兩岸的橋長(zhǎng) 15 米 , 一艘小船自橋北頭出發(fā) , 向正南方向駛?cè)?, 因水流原因 , 到達(dá)南岸后 , 發(fā)現(xiàn)已偏離橋南頭9 米 , 則小船實(shí)際行駛了_334 _米.2. 一職工下班后以50 米 / 分的速度騎自行車沿著東西馬路向東走了5.6 分 , 又沿南北馬路向南走了19.2 分到家 , 則他的家離公司距離為（D）A.100mB.500mC.1 240mD.1 000m3. 有一次，小明坐著輪船由A 點(diǎn)出發(fā)沿正東方向AN航行，在A 點(diǎn)望湖中小島M，測(cè)得 MAN 30°，當(dāng)他9/11到 B 點(diǎn)時(shí)，測(cè)得 MBN 45°， AB 100 米，你能算出AM的長(zhǎng)嗎？（ x=50+503）MABN4. “遠(yuǎn)航” 號(hào)、“海天” 號(hào)輪船同時(shí)離開港口， 各自沿一固定方向航行， “遠(yuǎn)航” 號(hào)每小時(shí)航行 16 海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12 海里，它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后相距30 海里如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？（西北方向）5. 一輪船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接著，它又掉頭向正東方向航行15 千