計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)

1、計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)一、隨機(jī)變量的概率分布1隨機(jī)變量隨機(jī)變量是指取值具有隨機(jī)性的變量。隨機(jī)變量有兩種：離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量。2離散隨機(jī)變量的概率分布（1）概率函數(shù)通常用一個二維表格直觀描述離散隨機(jī)變量X的概率分布：XP其中，（2）分布函數(shù)累計分布概率：3連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布（1）概率函數(shù)用概率密度函數(shù)描述，它滿足以下性質(zhì)：；（2）分布函數(shù)累計分布函數(shù)；另有：二、隨機(jī)變量的數(shù)字特征（分布參數(shù)）1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 記為或?qū)τ陔x散變量，；對于連續(xù)變量，性質(zhì)：2方差方差 記為或性質(zhì)：；.3標(biāo)準(zhǔn)差（均方差）標(biāo)準(zhǔn)差4矩矩 稱為變量X的階矩，時就是X的期望。5協(xié)方差協(xié)方差用于度量兩個變量的線性

2、相關(guān)程度，記為或；.意味著兩個變量同方向變動，稱之為正相關(guān)；稱之為負(fù)相關(guān)；稱之為不相關(guān)。相關(guān)系數(shù) ；.如果獨立，那么，三、樣本統(tǒng)計量1總體和樣本所謂總體就是一個隨機(jī)變量X，X的分布函數(shù)通常記為，其中就是待估計的參數(shù)。在進(jìn)行n次重復(fù)獨立實驗后，得到總體X的n個觀察值，而在實驗之前，實際上是相互獨立均與總體X同分布的n個隨機(jī)變量。稱為總體X的容量為n的簡單隨機(jī)樣本，簡稱樣本；稱為樣本的一個觀察值，簡稱樣本值。2常見的樣本統(tǒng)計量l 統(tǒng)計量的概念設(shè)是來自總體X的一個樣本，若隨機(jī)變量的函數(shù)中不含有任何未知參數(shù)，則稱為一個統(tǒng)計量。注意：統(tǒng)計量本身是一個隨機(jī)變量；其值可由樣本值計算出來。l 最常見的統(tǒng)計量有

3、：樣本均值 ；樣本方差；樣本標(biāo)準(zhǔn)差；樣本k階原點矩 ；樣本k階中心矩。假設(shè)，是某個X和Y聯(lián)合分布的樣本，那么樣本協(xié)方差 樣本相關(guān)系數(shù) 四、抽樣分布1幾個常用分布l 正態(tài)分布定義：如果隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為、的正態(tài)分布，通常記為XN(m,s2)。令，那么服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，l 卡方分布假設(shè)n維向量XN(0,)，那么；l t-分布假設(shè)兩個獨立的隨機(jī)變量ZN(0,1)， Y ，那么l F-分布假設(shè)和是兩個獨立的卡方分布，那么2樣本均值的分布總體XN(m,s2)樣本N(m,s2)則：N(m,s2/n)3樣本方差的分布4樣本均方差的分布四、區(qū)間估計l 臨界值的概念設(shè)的分布函數(shù)為

4、，滿足，則稱為的臨界值。對稱分布的臨界值非對稱分布的臨界值l 區(qū)間估計對于參數(shù)，如果有兩個統(tǒng)計量,，滿足對給定的，有則稱區(qū)間，是的一個區(qū)間估計或置信區(qū)間，、分別稱作置信下限、置信上限，稱為置信水平。置信水平為1-，在實際上可以這樣理解:如取，就是說若對某一參數(shù)取100個容量為的樣本，用相同方法做100個置信區(qū)間。，=1,2,100,那么其中有95個區(qū)間包含了真參數(shù)因此,當(dāng)實際上只做一次區(qū)間估計時，我們有理由認(rèn)為它包含了真參數(shù)。這樣判斷當(dāng)然也可能犯錯誤，但犯錯誤的概率只有5%。尋找置信區(qū)間的通常方法是從已知抽樣分布的統(tǒng)計量，如上文提到的U，X和T入手，由于分布和概率已知，只要確定臨界值就可以了。

5、單個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計設(shè)為的樣本，對給定的置信水平，求 參數(shù)和方差的區(qū)間估計。情況1（已知）由于，所以容易找到臨界值，使得，那么的區(qū)間估計是：。情況 2（未知）情況 3（的區(qū)間估計）五、假設(shè)檢驗l 假設(shè)檢驗的基本思想在數(shù)理統(tǒng)計中，假設(shè)檢驗是這樣一個過程：對未知總體，先作出某種假設(shè)，然后利用樣本提供的信息，對這一假設(shè)的合理性進(jìn)行檢驗，從而確定接受或拒絕這一假設(shè)。在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，有兩點值得注意：反證法思想?！靶「怕适录痹谝淮螌嶒炛胁粫l(fā)生。l 假設(shè)檢驗的步驟第一步，建立假設(shè)； 這里稱為原假設(shè)，稱為備擇假設(shè)。注意：在假設(shè)檢驗中，原假設(shè)與備選假設(shè)的地位是不對等的。一般來說是較小的，因而檢驗推斷

6、是“偏向”原假設(shè)，而“歧視”備選假設(shè)的。既然是受保護(hù)的，則對于的肯定相對來說是較缺乏說服力的，充其量不過是原假設(shè)與試驗結(jié)果沒有明顯矛盾；反之，對于的否定則是有力的，且越小，小概率事件越難于發(fā)生，一旦發(fā)生了，這種否定就越有力，也就越能說明問題。在應(yīng)用中，如果要用假設(shè)檢驗說明某個結(jié)論成立，那么最好設(shè)為該結(jié)論不成立。第二步，構(gòu)造統(tǒng)計量，求出統(tǒng)計量的樣本分布以及由樣本觀察值算出其具體值。統(tǒng)計量在成立的條件下，對應(yīng)的具體值記為。第三步，根據(jù)備擇假設(shè)構(gòu)造出對不利的小概率事件在給定顯著性水平下，確定臨界值，構(gòu)造出拒絕域。在一個問題中，通常指定一個正數(shù)（），認(rèn)為概率不超過的事件是在一次試驗中幾乎不會發(fā)生的事件，稱為顯著性水平。=0.05，算出臨界值。，這里V是拒絕域，它是使得這一小概率事件發(fā)生的樣本空間的點的全體。第四步，得出結(jié)論方法1：根據(jù)計算出來的值，看樣本是否落在內(nèi)，若落在內(nèi)，則拒絕，否則,不能拒絕。如果，則稱能以的顯著性水平拒絕零假設(shè)；否則，不能拒絕零假設(shè)；