切莫忽視一元二次方程中的隱含條件

1、切莫無(wú)視一元二次方程中的隱含條件一元二次方程問題是初中代數(shù)之重點(diǎn)，也是中考之熱點(diǎn)。許多同學(xué)在解題時(shí)，由于對(duì)題目中的隱含條件重視不夠，在平時(shí)作業(yè)或考試當(dāng)中往往出現(xiàn)錯(cuò)解?，F(xiàn)將常見的錯(cuò)誤情況公布于眾，以期引起廣闊師生的共同注意。錯(cuò)誤之一：無(wú)視二次項(xiàng)系數(shù)不能為0例1、關(guān)于的一元二次方程的兩根為、。問：為何值時(shí)，?誤解：關(guān)于的一元二次方程的兩根為、，根據(jù)題意，由求根公式得：即，解得：∴當(dāng)時(shí)，。分析：既然是一元二次方程，那么這里就有一個(gè)隱含條件，即，也就是;還有，方程中的一次項(xiàng)系數(shù)含有，這就意味著被開方數(shù)，即，這也是題目中的一個(gè)隱含條件，綜合起來，即<，而上述解答中就無(wú)

2、視了這個(gè)條件。另外，既然方程有兩個(gè)根，那么到底是兩個(gè)相等的根還是兩個(gè)不相等的根呢?這得由判別式來確定，所以還應(yīng)求出判別式的值：，由于<，所以可斷定>0，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。而又因?yàn)?，所以可斷定，即，由韋達(dá)定理得：，又由于<，解得正確答案為：。例2、關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值.。誤解：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ≥0，即解之得分析：，即時(shí)，原方程為一元一次方程。所以，正確的答案應(yīng)為<2，且。錯(cuò)誤之二：無(wú)視負(fù)的平方根和算術(shù)平方根的非負(fù)性例3、解方程：誤解：&ther

3、e4;，∴，∴分析：此解錯(cuò)就錯(cuò)在由到，無(wú)視了平方根還有一個(gè)負(fù)的，導(dǎo)致丟掉了一個(gè)解。正確的解為：∴，∴∴，∴原方程的解為：，例4、是方程的一根，求作以和為根的一元二次方程。誤解：把代入原方程，得。解之得：，。當(dāng)時(shí)，∴所求的一元二次方程為;當(dāng)時(shí)，∴所求的一元二次方程為。分析：此解主要錯(cuò)在未考慮到這一問題。因此應(yīng)舍去。正解應(yīng)為：所求的一元二次方程為。錯(cuò)誤之三：無(wú)視結(jié)論的多解情況例5、假設(shè)關(guān)于x的方程只有一個(gè)解，試求的值與方程的

4、解.誤解：將原方程化簡(jiǎn)，得∴當(dāng)時(shí)，原方程有唯一解分析：將原方程化簡(jiǎn)，得：，應(yīng)分為兩種情況討論。當(dāng)時(shí)，原方程有唯一解;當(dāng)時(shí)，方程的判別式為：>0∴方程總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，按題設(shè)原方程只有一個(gè)解，因此必有一根是原方程的增根，從原方程知道，增根只可能是使即或.顯然，0不是的根，故是此方程的根。將代入得：;因?yàn)橐桓?，所以由根與系數(shù)的關(guān)系可求出方程的另一根應(yīng)用兩根之和或兩根之積結(jié)果一樣，為：，∴當(dāng)時(shí)，原方程也有唯一的解為.例6、分別滿足和，那么的值是多少?誤解：由題意可知、應(yīng)是方程的兩個(gè)根，∴&am

5、p;gt;0，∴方程的兩根不等，根據(jù)韋達(dá)定理得：，∴分析：既然、分別滿足和，那么就有這種情況，而上述解答看似很合理，卻無(wú)視了這種情況。這其實(shí)是一個(gè)“陷阱，應(yīng)必須考慮到這種情況。在時(shí)有上述結(jié)論存在，而當(dāng)時(shí)，。∴此題正確的解應(yīng)為或2那么弄丟這種存在情況的原因在哪里呢?主要是在于把、視為方程的兩個(gè)根，這就自然而然地?zé)o視了這種情況的存在了，因?yàn)榈呐袆e式在的情況下>0，就沒有的這種情況了。錯(cuò)誤之四：無(wú)視二次方程的的取值例7、關(guān)于的二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為17，求的值。誤解：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，由韋達(dá)定理得：，&am

6、p;there4;，即，解得：，分析：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，利用韋達(dá)定理求得：，再由兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為17，得解得：，這樣解看似合理的，但最關(guān)鍵的一點(diǎn)是無(wú)視了的判別式的取值情況。當(dāng)時(shí)，<0化簡(jiǎn)得，方程無(wú)實(shí)數(shù)根;當(dāng)時(shí)，>0，方程有實(shí)數(shù)根。故只取。例8、是方程的兩實(shí)數(shù)根，且，求的值。誤解：根據(jù)題意由韋達(dá)定理得：，即，∴。解之得：，。分析：解題時(shí)只注意到方程兩根的等量關(guān)系，而無(wú)視了方程有兩個(gè)實(shí)根時(shí)Δ≥0這一先決條件，而當(dāng)時(shí)<0，故應(yīng)當(dāng)舍去。∴正解應(yīng)為。錯(cuò)誤之五：無(wú)視對(duì)題目中的辨

7、析例9、為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根。誤解：要使方程有實(shí)數(shù)根，只需，即，解之得：，又，∴，且。分析：解法中對(duì)方程“有實(shí)根和“有兩個(gè)實(shí)根未加以辨析，而當(dāng)時(shí)，原方程為一元一次方程，也有實(shí)根，是。所以此題錯(cuò)在誤認(rèn)為原方程一定是一元二次方程，而沒想到也可以是一元一次方程。∴正解為。例10、是方程的兩實(shí)根，求的最小值。誤解：由得，∴∴當(dāng)時(shí)，的最小值為1。分析：解法中沒有注意到有實(shí)根的意義和本質(zhì)是什么，因此無(wú)視了方程有兩實(shí)根時(shí)這一前提條件。當(dāng)時(shí)，<0，此時(shí)方程無(wú)實(shí)根，∴正解的解法還應(yīng)當(dāng)求

8、出的取值范圍。原方程有兩實(shí)根解，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為錯(cuò)誤之六：無(wú)視對(duì)根的符號(hào)的考察例11、是方程的兩個(gè)實(shí)根。求的值。誤解：設(shè)，那么，由韋達(dá)定理得：，∴，∴。分析：，∴可知<0，且<0，∴<0，故應(yīng)當(dāng)舍去。∴正確的解應(yīng)當(dāng)為。例12、設(shè)方程的兩根恰好是直角三角形兩銳角的正弦值。求的值。誤解：設(shè)原方程兩根為，那么，;又由題意知。即，解之得，而當(dāng)時(shí)，>0，∴。分析

9、：解法中考慮>0是非常必要的，但是卻無(wú)視了為兩銳角正弦值，應(yīng)當(dāng)滿足0<<1，0<<1，即>0，>0。而當(dāng)時(shí)，<0，<0。故這個(gè)工作可讓學(xué)生分組負(fù)責(zé)搜集整理,登在小黑板上,每周一換。要求學(xué)生抽空抄錄并且閱讀成誦。其目的在于擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì),熱愛生活,所以內(nèi)容要盡量廣泛一些,可以分為人生、價(jià)值、理想、學(xué)習(xí)、成長(zhǎng)、責(zé)任、友誼、愛心、探究、環(huán)保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以積累40多那么材料。假如學(xué)生的腦海里有了眾多的鮮活生動(dòng)的材料,寫起文章來還用亂

10、翻參考書嗎?課本、報(bào)刊雜志中的成語(yǔ)、名言警句等俯首皆是,但學(xué)生寫作文運(yùn)用到文章中的甚少,即使運(yùn)用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記死的緣故。要解決這個(gè)問題,方法很簡(jiǎn)單,每天花3-5分鐘左右的時(shí)間記一條成語(yǔ)、一那么名言警句即可。可以寫在后黑板的“積累專欄上每日一換,可以在每天課前的3分鐘讓學(xué)生輪流講解,也可讓學(xué)生個(gè)人搜集,每天往筆記本上抄寫,老師定期檢查等等。這樣,一年就可記300多條成語(yǔ)、300多那么名言警句,日積月累,終究會(huì)成為一筆不小的財(cái)富。這些成語(yǔ)典故“貯藏在學(xué)生腦中,自然會(huì)出口成章,寫作時(shí)便會(huì)隨心所欲地“提取出來,使文章增色添輝。應(yīng)當(dāng)舍去，正解為。唐宋或更早之前，針對(duì)“經(jīng)學(xué)“律學(xué)“算學(xué)和“書學(xué)各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士，這與當(dāng)今“博士含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對(duì)那些特別講授“武事或講解“經(jīng)籍者，又稱“講師。“教授和“助教均原為學(xué)官稱謂。前者始于宋，乃“宗學(xué)“律學(xué)“醫(yī)學(xué)“武學(xué)等科目的講授者；而后者那么于西晉武