三角函數(shù)簡史之數(shù)與弦

1、三角函數(shù)簡史之數(shù)與弦角的概念會產(chǎn)生歧義，因為他既描繪了兩條相交直線之間“別離這個定性的概念，也描繪了這種別離程度的數(shù)值角的度量，而在兩個點之間的“別離上卻沒有這種歧義，因為線段和長度這兩個概念能分得很清楚。好在我們不需要擔憂這種混淆，因為在三角學中，我們只關注線段與角的性質(zhì)當中可以量化的部分。?三角之美?三角學算是最古老的學科了，真要說起來，它的歷史比平面幾何還早，當然假如把早期的三角學計算也算作平面幾何的一部分的話那另當別論。如今我們中學生接觸三角學，是以直角三角形為基準，各邊之比的定義得來的，然后到了高中就將三角函數(shù)定義放到圓和坐標系里，這一點倒是符合三角學的歷史開展的，數(shù)學史上第一份三角

2、學資料，也是拿來解直角三角形。一：角度平面上的運動只有兩種平移和旋轉。平移的程度由間隔 和面積來度量，而旋轉的程度那么由角度來度量，對長度的定義一直以來都沒什么難度，確定一個單位長度標準就行了。對角度的定義卻沒那么簡單角度描繪兩條相交直線之間的相離程度，到底多大程度才能定為一個標準？相對于間隔 來說，角度的大小更充滿“定性的味道。好在巴比倫人利用了圓這一個標準他們將圓從圓心分成了360份，要衡量一個角度大小，只需要將角度的頂點與圓心重合，算出對應的弧長占圓周長的百分數(shù)，就可以衡量這個角的大小了。所以利用圓來衡量角度，大概是古人早已發(fā)現(xiàn)圓周角所對弧長與圓周角之間簡單的比例關系。圓與三角學的關系，

3、從一開場就密不可分，往后也是。至于巴比倫人為何將圓分為360分，詳細原因以及不可考，但很明顯，這與巴比倫人一貫使用的六十進制有很大關系。其中有一個解釋是，因為巴比倫人使用的是六十進制，所以實際上它們是將一個圓分成了六個進制，這樣的一個好處就是分出來的每一份中對應的弦長與半徑相等。另一個解釋就是360份恰與一年的天數(shù)很接近。當然從未有任何證據(jù)說明這一點，一切都只是猜測，所以對于360°的規(guī)定的詳細原因已經(jīng)不知。但這利用圓來衡量角度的方法一直很有效，流傳至今。不久之后，希臘人采用了這一套系統(tǒng)，托勒密在他的?至大論?中就使用了這一系統(tǒng)。一直以來，六十進制作為一種計數(shù)法，早已被十進制淘汰，但

4、作為角度和時間的度量卻一直流傳下來，這種制度是如此受歡送，即使是在“公制化的創(chuàng)始地法國也無法被替代。這倒是很有趣的現(xiàn)象。到了近代，出現(xiàn)了另一種度量制度弧度制，1弧度就是圓上的弧長等于半徑時所對的圓心角。我們經(jīng)常聽說采用弧度制的原因是可以用較小的數(shù)字表示角。實際上并非如此，采用弧度制的唯一原因是他可以簡化許多公式，比方弧長公式將變成l=r，扇形面積公式也將變得非常簡單，弧度的應用去除了這些公式中“多余的因子/180.另一個事實是，弧度的采用將使得這個事實成立：一個很小的角和他的正弦值在數(shù)值上是近似相等的，也就是sinx/x在x趨于零時其極限值趨近于1，這種近似假設采用弧度制將使得在x不是很小的時

5、候就變得非常接近。因此使得弧度制在微積分學中變得非常重要。二：弦三角學一開場和圓扯上了關系，然后就與角度所對的弦長扯上了關系。在數(shù)學開展初期的巴比倫時期，人們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了三角形相似的性質(zhì)，最后傳到希臘，得到了進一步的應用，人類歷史上第一位數(shù)學家泰勒斯據(jù)此計算出了埃及金字塔的高度，可謂是一大奇聞。現(xiàn)代意義上的“三角學一詞，說來還得多虧了天文學，天文學的開展急需科學家求解各種各樣的三角形，那時候自然還沒有我們今日的什么正弦定理余弦定理可用。有一位叫西巴爾卡斯的科學家在這方面邁出了重要一步：他將三角形置于圓中，這樣三角形的邊就變成了弦，為了計算三角形的各部分，就必須考察圓心角與弦長的關系。這事情自此

6、以后成為了各個數(shù)學家在這方面的研究重點。第一本三角學著作出自于托勒密之手，他編制出了第一套“正弦函數(shù)表，當然并無正弦這一概念，這個表格繼承了西巴爾卡斯的工作，列出了角度從0°180°變化時，對應的弦長，托勒密取將圓的半徑定為60單位長度，為了方便，我們就不談六十進制了。實際上相當于十進制中取10為半徑，根據(jù)我們?nèi)缃竦恼J識，知道托勒密的表格實際上就是給出了一個sin/2表：與當今“老師一稱最接近的“老師概念，最早也要追溯至宋元時期。金代元好問?示侄孫伯安?詩云：“伯安入小學，穎悟非凡貌，屬句有夙性，說字驚老師。于是看，宋元時期小學老師被稱為“老師有案可稽。清代稱主考官也為“老

7、師，而一般學堂里的先生那么稱為“老師或“教習?？梢?，“老師一說是比較晚的事了。如今體會，“老師的含義比之“老師一說，具有資歷和學識程度上較低一些的差異。辛亥革命后，老師與其他官員一樣依法令任命，故又稱“老師為“教員。宋以后，京師所設小學館和武學堂中的老師稱謂皆稱之為“教諭。至元明清之縣學一律循之不變。明朝入選翰林院的進士之師稱“教習。到清末，學堂興起，各科老師仍沿用“教習一稱。其實“教諭在明清時還有學官一意，即主管縣一級的教育生員。而相應府和州掌管教育生員者那么謂“教授和“學正?！敖淌凇皩W正和“教諭的副手一律稱“訓導。于民間，特別是漢代以后，對于在“?；颉皩W中傳授經(jīng)學者也稱為“經(jīng)師。在一些特定

8、的講學場合，比方書院、皇室，也稱老師為“院長、西席、講席等。d=2rsin/2=20sin/2觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動，由近及遠的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機觀察也是不可少的，是相當有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導幼兒多角度多層面地進展觀察，保證每個幼兒看得到，看得清。看得清才能說得正確。在觀察過程中指導。我注意幫助幼兒學習正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點觀察，觀察與說話相結合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時機，引導幼兒觀察雷

9、雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當幼兒看到閃電時，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時機說：“這就是雷聲隆隆。一會兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深化，對雷雨前后氣象變化的詞語學得快，記得牢，而且會應用。我還在觀察的根底上，引導幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學的詞語、生活經(jīng)歷聯(lián)絡起來，在開展想象力中開展語言。如啄木鳥的嘴是長長的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒可以生動形象地描繪觀察對象。今天我們可以看到一個有趣的現(xiàn)象，在圓心角與弦長d之間的關系重，我們需要先把圓心角除以2，最后的結果還要乘以20，這實際上是一個重復的過程，重復做這樣的工作只是在浪費時間而已，幾百年以后，終于有人將此表簡化，不再考慮圓心角與弦長的關系，而是考察“弦長的一半與“圓心角的一半之間的關系。我們可以看出，這一看起來貌似