第五章　第五節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用2

1、第五節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題典例(2013·全國(guó)卷)已知等差數(shù)列an的公差不為零，a125，且a1，a11，a13成等比數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求a1a4a7a3n2.解(1)設(shè)an的公差為d，由題意得aa1a13.即(a110d)2a1(a112d)于是d(2a125d)0.又a125，所以d0(舍去)或d2.故an2n27.(2)令Sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31，故a3n2是首項(xiàng)為25，公差為6的等差數(shù)列從而Sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.類題通法解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系如果

2、同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項(xiàng)抽出來單獨(dú)研究；如果兩個(gè)數(shù)列通過運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把兩個(gè)數(shù)列分割開，弄清兩個(gè)數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解針對(duì)訓(xùn)練在等比數(shù)列an(nN)中，a1>1，公比q>0，設(shè)bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求bn的前n項(xiàng)和Sn及an的通項(xiàng)an.解：(1)證明：bnlog2an，bn1bnlog2log2q為常數(shù)，數(shù)列bn為等差數(shù)列且公差dlog2q.(2)設(shè)數(shù)列bn的公差為d，b1b3b56，b32.a1>1，b1log2a1>0.b1b

3、3b50，b50.解得Sn4n×(1).an25n(nN).考點(diǎn)二等差數(shù)列與等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用典例某企業(yè)的資金每一年都比上一年分紅后的資金增加一倍，并且每年年底固定給股東們分紅500萬元該企業(yè)2010年年底分紅后的資金為1 000萬元(1)求該企業(yè)2014年年底分紅后的資金；(2)求該企業(yè)從哪一年開始年底分紅后的資金超過32 500萬元解設(shè)an為(2010n)年年底分紅后的資金，其中nN，則a12×1 0005001 500，a22×1 5005002 500，an2an1500(n2)an5002(an1500)(n2)，即數(shù)列an500是首項(xiàng)為a15001 0

4、00，公比為2的等比數(shù)列an5001 000×2n1，an1 000×2n1500.(1)a41 000×2415008 500，該企業(yè)2014年年底分紅后的資金為8 500萬元(2)由an>32 500，即2n1>32，得n>6，該企業(yè)從2017年開始年底分紅后的資金超過32 500萬元類題通法解數(shù)列應(yīng)用題的建模思路從實(shí)際出發(fā)，通過抽象概括建立數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)模型的解析，再返回實(shí)際中去，其思路框圖為：針對(duì)訓(xùn)練某企業(yè)在第1年初購買一臺(tái)價(jià)值為120萬元的設(shè)備M，M的價(jià)值在使用過程中逐年減少從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬元；從第7

5、年開始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%.則第n年初M的價(jià)值an_.解析：當(dāng)n6時(shí)，數(shù)列an是首項(xiàng)為120，公差為10的等差數(shù)列，an12010(n1)13010n；當(dāng)n7時(shí)，數(shù)列an是以a6為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，又a670，所以an70×n6.答案：an考點(diǎn)三數(shù)列與其他知識(shí)的交匯數(shù)列在高考中多與函數(shù)、不等式、解析幾何、向量交匯命題，近年由于對(duì)數(shù)列要求降低，但仍有一些省份在考查數(shù)列與其他知識(shí)的交匯.歸納起來常見的命題角度有：(1)數(shù)列與不等式的交匯；(2)數(shù)列與函數(shù)的交匯；(3)數(shù)列與解析幾何的交匯.角度一數(shù)列與不等式的交匯1(2014·湖北七市模擬)數(shù)列an是公比為的等

6、比數(shù)列，且1a2是a1與1a3的等比中項(xiàng)，前n項(xiàng)和為Sn；數(shù)列bn是等差數(shù)列，b18，其前n項(xiàng)和Tn滿足Tnn·bn1(為常數(shù)，且1)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及的值；(2)比較與Sn的大小解：(1)由題意得(1a2)2a1(a31)，即2a1，解得a1，ann.設(shè)bn的公差為d，又即解得或(舍)，.(2)由(1)知Sn1n，Snn1，又Tn4n24n，<，由可知<Sn.類題通法數(shù)列與不等式相結(jié)合問題的處理方法解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因

7、式分解法、穿根法等總之解決這類問題把數(shù)列和不等式的知識(shí)巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了角度二數(shù)列與函數(shù)的交匯2(2012·安徽高考)設(shè)函數(shù)f(x)sin x的所有正的極小值點(diǎn)從小到大排成的數(shù)列為xn(1)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)xn的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn.解：(1)令f(x)cos x0，得cos x，解得x2k±(kZ)由xn是f(x)的第n個(gè)正極小值點(diǎn)知，xn2n(nN)(2)由(1)可知，Sn2(12n)nn(n1).角度三數(shù)列與解析幾何的交匯3在正項(xiàng)數(shù)列an中，a12，點(diǎn)An(，)在雙曲線y2x21上，數(shù)列bn中，點(diǎn)(bn，Tn)在直線yx1上，其中Tn是數(shù)列bn

8、的前n項(xiàng)和(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；解：(1)由已知點(diǎn)An在y2x21上知，an1an1，數(shù)列an是一個(gè)以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列ana1(n1)d2n1n1.(2)證明：點(diǎn)(bn，Tn)在直線yx1上，Tnbn1.Tn1bn11(n2)，兩式相減得bnbnbn1(n2)，bnbn1，bnbn1.令n1，得b1b11，b1，bn是一個(gè)以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列課堂練通考點(diǎn)1(2013·安徽“江南十校”高三聯(lián)考)已知正項(xiàng)等差數(shù)列an滿足：an1an1a(n2)，等比數(shù)列bn滿足：bn1bn12bn(n2)，則log2(a2b2)()A1或2B0

9、或2C2 D1解析：選C由題意可知，an1an12ana，解得an2(n2)(由于數(shù)列an每項(xiàng)都是正數(shù))，又bn1bn1b2bn(n2)，所以bn2(n2)，log2(a2b2)log242.2已知數(shù)列an滿足：a1m(m為正整數(shù))，an1若a61，則m所有可能的取值為()A4,5 B4,32C4,5,32 D5,32解析：選Can1注意遞推的條件是an(而不是n)為偶數(shù)或奇數(shù)由a61一直往前面推導(dǎo)可得a14或5或32.3(2013·武漢武昌聯(lián)考)在等差數(shù)列an中，a12，a36，若將a1，a4，a5都加上同一個(gè)數(shù)，所得的三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，則所加的這個(gè)數(shù)為_解析：由題意知等差數(shù)列

10、an的公差d2，則a48，a510，設(shè)所加的數(shù)為x，依題意有(8x)2(2x)(10x)，解得x11.答案：114(2013·江西高考)某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(nN)等于_解析：設(shè)每天植樹的棵數(shù)組成的數(shù)列為an，由題意可知它是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公比為2，所以由題意可得100，即2n51，而2532,2664，nN，所以n6.答案：65已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snn2，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且首項(xiàng)b11，b48.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列cn滿足cnabn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和

11、Tn.解：(1)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snn2，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2(n1)22n1.當(dāng)n1時(shí)，a1S11亦滿足上式，故an2n1(nN)又?jǐn)?shù)列bn為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，b11，b4b1q38，q2.bn2n1(nN)(2)cnabn2bn12n1.Tnc1c2c3cn(211)(221)(2n1)(21222n)nn.所以Tn2n12n.課下提升考能第卷：夯基保分卷1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan1(a0)，則數(shù)列an()A一定是等差數(shù)列B一定是等比數(shù)列C或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列D既不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列解析：選CSnan1(a0)，an即an當(dāng)a1時(shí)，a

12、n0，數(shù)列an是一個(gè)常數(shù)列，也是等差數(shù)列；當(dāng)a1時(shí)，數(shù)列an是一個(gè)等比數(shù)列2(2013·遼寧高考)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列an的四個(gè)命題：p1：數(shù)列an是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列nan是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列an3nd是遞增數(shù)列其中的真命題為()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p4解析：選D設(shè)ana1(n1)ddna1d，它是遞增數(shù)列，所以p1為真命題；若an3n12，則滿足已知，但nan3n212n并非遞增數(shù)列，所以p2為假命題；若ann1，則滿足已知，但1是遞減數(shù)列，所以p3為假命題；設(shè)an3nd4dna1d，它是遞增數(shù)列，所以p4為真

13、命題3(2013·湖南省五市十校聯(lián)合檢測(cè))已知函數(shù)f(x)是定義在(0，)上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的正數(shù)x，y都有f(x·y)f(x)f(y)，若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足f(Sn2)f(an)f(3)(nN)，則an為()A2n1 BnC2n1 D.n1解析：選D由題意知f(Sn2)f(an)f(3)(nN)，Sn23an，Sn123an1(n2)，兩式相減得，2an3an1(n2)，又n1時(shí)，S123a1a12，a11，數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，ann1.4將石子擺成如圖的梯形形狀，稱數(shù)列5,9,14,20，為梯形數(shù)，根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2 012

14、項(xiàng)與5的差即a2 0125()A2 018×2 012 B2 018×2 011C1 009×2 012 D1 009×2 011解析：選D結(jié)合圖形可知，該數(shù)列的第n項(xiàng)an234n2.所以a2 0125452 0144×2 0112 011×1 009.故選D.5植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為_米解析：當(dāng)放在最左側(cè)坑時(shí)，路程和為2×(01020190)；當(dāng)放在左側(cè)第2個(gè)坑時(shí)

15、，路程和為2×(1001020180)(減少了360米)；當(dāng)放在左側(cè)第3個(gè)坑時(shí)，路程和為2×(201001020170)(減少了680米)；依次進(jìn)行，顯然當(dāng)放在中間的第10、11個(gè)坑時(shí)，路程和最小，為2×(908001020100)2 000米答案：2 0006.設(shè)數(shù)列an中，若an1anan2(nN)，則稱數(shù)列an為“凸數(shù)列”，已知數(shù)列bn為“凸數(shù)列”，且b11，b22，則數(shù)列bn的前2 013項(xiàng)和為_解析：由“凸數(shù)列”的定義，可知，b11，b22，b33，b41，b52，b63，b71，b82，故數(shù)列bn是周期為6的周期數(shù)列，又b1b2b3b4b5b60，故數(shù)

16、列bn的前2 013項(xiàng)和S2 013b1b2b31234.答案：47(2014·濟(jì)南高考模擬考試)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an12Sn1(nN)，等差數(shù)列bn滿足b33，b59.(1)分別求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn(nN)，求證：cn1<cn.解：(1)由an12Sn1，得an2Sn11(n2，nN)，得an1an2(SnSn1)，an13an(n2，nN)，又a22S113，a23a1，an3n1.b5b32d6，d3，bn3n6.(2)證明：an23n1，bn23n，cn，cn1cn<0，cn1<cn<<c1，即cn1<

17、cn.8(2013·惠州調(diào)研)已知點(diǎn)是函數(shù)f(x)ax(a>0，且a1)的圖像上一點(diǎn)，等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為f(n)c，數(shù)列bn(bn>0)的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和Sn滿足：SnSn1(n2)(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列cn的通項(xiàng)cnbn·n，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Rn.解：(1)f(1)a，f(x)x，a1f(1)cc，a2f(2)cf(1)c，a3f(3)cf(2)c.又?jǐn)?shù)列an成等比數(shù)列，a1c，c1.又公比q，ann12n(nN)SnSn1()()(n2)，bn>0，>0，1，數(shù)列構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，1(n1

18、)×1n，Snn2.當(dāng)n2時(shí)，bnSnSn1n2(n1)22n1；又b1c1滿足bn2n1，bn2n1(nN)(2)cnbnn(2n1)n，Rnc1c2c3cn，Rn1×13×25×3(2n1)×n，Rn1×23×35×4(2n3)×n(2n1)×n1.由得，Rn2(2n1)×n1，化簡(jiǎn)得，Rn2×(2n1)×n1×n，Rn1.第卷：提能增分卷1(2014·烏魯木齊第一次診斷)已知等比數(shù)列an和等差數(shù)列bn均是首項(xiàng)為2，各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，且b24

19、a2，a2b36.(1)求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式；(2)求使abn<0.001成立的正整數(shù)n的最小值解：(1)設(shè)an的公比為q，bn的公差為d，依題意得解得，或(舍)ann2，bn2n.(2)由(1)得abna2n2n2，abn<0.001，即2n2<0.001，22n2>1 000，2n210，即n6，滿足題意的正整數(shù)n的最小值為6.2(2014·江南十校聯(lián)考)已知直線ln：yx與圓Cn：x2y22ann交于不同的兩點(diǎn)An、Bn，nN，數(shù)列an滿足：a11，an1|AnBn|2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)由題意知