余弦定理的前世

1、.余弦定理的前世 學(xué)夫子假如要算起最古老的數(shù)學(xué)定理，那自是勾股定理遠(yuǎn)在幾千年前的巴比倫時期就已經(jīng)存在；要算起證明方法最多的數(shù)學(xué)定理，那也是勾股定理有四五百種方法，愛因斯坦，美國總統(tǒng)這些人都參與進(jìn)來。今日讓我們簡單回味一下勾股定理的前世今生，對這偉大的數(shù)學(xué)定理重新瞻仰。勾股定理的最早記錄，來自美索不達(dá)米亞時期的數(shù)學(xué)泥版。在一塊泥版上，刻著“構(gòu)成直角三角形的各邊長，比方3,4,5，5,12,13等，這大概是最早的畢達(dá)哥拉斯數(shù)組的最早記錄，雖然其遠(yuǎn)在畢達(dá)哥拉斯之前。不過，巴比倫人并沒有將之寫成統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式，他們只是將這些數(shù)組列成表格，方便計算。很顯然，這個時期的數(shù)學(xué)都是為理解決實(shí)際問題。而且嚴(yán)格來

2、說，巴比倫人也沒有發(fā)現(xiàn)真正的勾股定理，但這作為勾股定理的雛形是絕對有道理的，因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯本人都很有可能是從巴比倫人那里學(xué)到了勾股定理。這事一下子就得跳到古希臘時期，正如我們所知道的，由畢氏學(xué)派發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一般形式。勾股定理在西方也就被冠以“畢達(dá)哥拉斯定理的稱號，在中國，最早記錄勾股定理的文獻(xiàn)，應(yīng)該是?周髀算經(jīng)?。不管怎么說，勾股定理的形式也就完全確定下來，至此以后就再也沒有變過。但對其不斷的證明和探究卻沒有停頓，直到如今仍然如此愛因斯坦就是因?yàn)樗?dú)立證明出了勾股定理，產(chǎn)生出了對數(shù)學(xué)的興趣，由此走上科學(xué)之路，有不明真相的童鞋據(jù)此寫下這樣一個等式：E=Mc2=Ma2+b2。與我們知道的不同，

3、古時的勾股定理并非如我們?nèi)缃竦男问絻芍苯沁吰椒胶偷扔谛边叺钠椒?。古希臘人對幾何的崇拜，使得勾股定理的描繪形式在很長一段時間里都是幾何語言兩直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積。所以有后人對其表述形式作出了推廣，比方將正方形改成三個相似圖形。由于勾股定理作用在直角三角形中如此有效，人們自然會想到一般的三角形會不會由此類似的結(jié)論，對余弦定理的討論由此展開。當(dāng)然，由于在古代尚未開展處“三角函數(shù)，甚至于連角度的概念都沒有完全形成，所以所出現(xiàn)的余弦定理都只是現(xiàn)代余弦定理的幾何等價形式。比方古希臘時期歐幾里得，在其?幾何本來?里就闡述了幾條余弦定理的等價命題：1：在鈍角三角形中，鈍角對邊上的正方

4、形，比鈍角兩夾邊上的正方形之和大一個矩形的兩倍，這個矩形就是由一銳角向?qū)叺难娱L線做垂線，垂足到鈍角之間一段與另一邊所構(gòu)成的矩形。2：在銳角三角形中，銳角對邊上的正方形，比銳角兩夾邊上的正方形之和小一個矩形的兩倍，這個矩形就是由一銳角向?qū)呑龃咕€，垂足到原銳角頂點(diǎn)之間的一段與該邊所構(gòu)成的矩形。將這兩個命題翻譯成幾何語言，就是在如以下圖所示的圖形中：到了希臘的“白銀時代，著名數(shù)學(xué)家帕普斯也對勾股定理進(jìn)展了有意思的推廣：在一個任意三角形ABC中，帕普斯在AB邊上做一個平行四邊形ABDE，在BC邊上做平行四邊形BCFG，然后在AC邊上做一個平行四邊形，使其面積等于ABDE和BCFG之和。要實(shí)現(xiàn)這個目

5、的并不難，只需延長ED和FG，使其交于H點(diǎn)，連接HB并延長之并交AC于J，做AL平行HJ，CK平行HJ，交ED和GF于L點(diǎn)和F點(diǎn)，那么平行四邊形ALKC就是所作的。假如把兩個平行四邊形變成正方形，那這個結(jié)論就更像勾股定理的推廣了。十世紀(jì)左右阿拉伯的庫拉也有他的“余弦定理：庫拉的推廣非常有意思，這實(shí)際上是對歐幾里得證明勾股定理時所采用的紙風(fēng)車圖所做的很優(yōu)美的一般化，唐宋或更早之前，針對“經(jīng)學(xué)“律學(xué)“算學(xué)和“書學(xué)各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士，這與當(dāng)今“博士含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對那些特別講授“武事或講解“經(jīng)籍者，又稱“講師。“教授和“助教均原為學(xué)官稱謂。前者始于宋，乃“宗學(xué)“律學(xué)“醫(yī)學(xué)“武學(xué)等科目

6、的講授者；而后者那么于西晉武帝時代即已設(shè)立了，主要協(xié)助國子、博士培養(yǎng)生徒。“助教在古代不僅要作入流的學(xué)問，其教書育人的職責(zé)也十清楚晰。唐代國子學(xué)、太學(xué)等所設(shè)之“助教一席，也是當(dāng)朝打眼的學(xué)官。至明清兩代，只設(shè)國子監(jiān)國子學(xué)一科的“助教，其身價不謂顯赫，也稱得上朝廷要員。至此，無論是“博士“講師，還是“教授“助教，其今日老師應(yīng)具有的根本概念都具有了。如左圖所示，在三角形ABC各邊做正方形，并從A點(diǎn)畫兩條直線AF與AG交BC于F和G，且AFB=AGC=A，又作FH平行于GI平行于BD，那么有：AB和AC邊上的正方形面積之和，等于BC邊上的正方形面積減去矩形FGJH面積。雖然庫拉并沒有給出證明，但這個結(jié)

7、論很容易運(yùn)用相似三角形的原理進(jìn)展證明。庫拉時代早已具備這些內(nèi)容。死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學(xué)方式,在我國有悠久的歷史。但隨著素質(zhì)教育的開展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學(xué)生才能開展的教學(xué)方式,漸漸為人們所摒棄;而另一方面,老師們又為進(jìn)步學(xué)生的語文素養(yǎng)煞費(fèi)苦心。其實(shí),只要應(yīng)用得當(dāng),“死記硬背與進(jìn)步學(xué)生素質(zhì)并不矛盾。相反,它恰是進(jìn)步學(xué)生語文程度的重要前提和根底。其實(shí),任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會“活用。不記住那些根底知識,怎么會向高層次進(jìn)軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進(jìn)步學(xué)生的寫作程度,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識抓起,每天擠一點(diǎn)時間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積