數(shù)學(xué)建模的步驟

1、數(shù)學(xué)建模的步驟伴隨著當(dāng)今社會(huì)的科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到各個(gè)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模也顯得尤為重要。數(shù)學(xué)建模在人們生活中扮演著重要的角色，而且隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)建模更是在人類的活動(dòng)中起著重要作用，數(shù)學(xué)建模也更好的為人類服務(wù)。一、數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象,一個(gè)特定目的,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,做出一些必要的假設(shè),運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).簡(jiǎn)單地說:就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式(或是用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的描述),即用數(shù)學(xué)式子(如函數(shù),圖形,代數(shù)方程,微分方程,積分方程,差分方程等)來描述(表述,模擬)所研究的客觀對(duì)象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律.隨著社會(huì)

2、的發(fā)展,生物,醫(yī)學(xué),社會(huì),經(jīng)濟(jì),各學(xué)科,各行業(yè)都涌現(xiàn)現(xiàn)出大量的實(shí)際課題,急待人們?nèi)パ芯?去解決.但是,社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的需求并不只是需要數(shù)學(xué)家和專門從事數(shù)學(xué)研究的人才,而更大量的是需要在各部門中從事實(shí)際工作的人善于運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)的思維方法來解決他們每天面臨的大量的實(shí)際問題,取得經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益.他們不是為了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)而尋找實(shí)際問題(就像在學(xué)校里做數(shù)學(xué)應(yīng)用題),而是為了解決實(shí)際問題而需要用到數(shù)學(xué).而且不止是要用到數(shù)學(xué),很可能還要用到別的學(xué)科,領(lǐng)域的知識(shí),要用到工作經(jīng)驗(yàn)和常識(shí).特別是在現(xiàn)代社會(huì),要真正解決一個(gè)實(shí)際問題幾乎都離不開計(jì)算機(jī).可以這樣說,在實(shí)際工作中遇到的問題,完全純粹的只用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)

3、知識(shí)就能解決的問題幾乎是沒有的.你所能遇到的都是數(shù)學(xué)和其他東西混雜在一起的問題,不是干凈的數(shù)學(xué),而是臟的數(shù)學(xué).其中的數(shù)學(xué)奧妙不是明擺在那里等著你去解決,而是暗藏在深處等著你去發(fā)現(xiàn).也就是說,你要對(duì)復(fù)雜的實(shí)際問題進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)其中的可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來描述的關(guān)系或規(guī)律,把這個(gè)實(shí)際問題化成一個(gè)數(shù)學(xué)問題,這就稱為數(shù)學(xué)模型.二、數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一種實(shí)踐.即通過抽象,簡(jiǎn)化,假設(shè),引進(jìn)變量等處理過程后,將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)方式表達(dá),建立起數(shù)學(xué)模型,然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解.簡(jiǎn)而言之,建立數(shù)學(xué)模型的這個(gè)過程就稱為數(shù)學(xué)建模.應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去研究和和解決實(shí)際問題,遇到的第一

4、項(xiàng)工作就是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型.從這一意義上講,可以說數(shù)學(xué)建模是一切科學(xué)研究的基礎(chǔ).沒有一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型就不可能得到較好的研究結(jié)果,所以,建立一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型乃是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵之一.數(shù)學(xué)建模將各種知識(shí)綜合應(yīng)用于解決實(shí)際問題中,是培養(yǎng)和提高同學(xué)們應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問題,解決問題的能力的必備手段之一.三、數(shù)學(xué)建模的一般方法建立數(shù)學(xué)模型的方法并沒有一定的模式,但一個(gè)理想的模型應(yīng)能反映系統(tǒng)的全部重要特征:模型的可靠性和模型的使用性建模的一般方法:1.機(jī)理分析 機(jī)理分析就是根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí),分析其因果關(guān)系,找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律,所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義.(1) 比例分析法-建立

5、變量之間函數(shù)關(guān)系的最基本最常用的方法. (2) 代數(shù)方法-求解離散問題(離散的數(shù)據(jù),符號(hào),圖形)的主要方法. (3) 邏輯方法-是數(shù)學(xué)理論研究的重要方法,對(duì)社會(huì)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的實(shí)際 問題,在決策,對(duì)策等學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用. (4) 常微分方程-解決兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律,關(guān)鍵是建立瞬時(shí)變化率的表達(dá)式. (5) 偏微分方程-解決因變量與兩個(gè)以上自變量之間的變化規(guī)律.2.測(cè)試分析方法 測(cè)試分析方法就是將研究對(duì)象視為一個(gè)黑箱系統(tǒng),內(nèi)部機(jī)理無法直接尋求,通過測(cè)量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù),并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法,按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類模型中選出一個(gè)數(shù)據(jù)擬合得最好的模型. (1) 回歸分析法-用于對(duì)

6、函數(shù)f(x)的一組觀測(cè)值(xi,fi)i=1,2,n,確定函數(shù)的表達(dá)式,由于處理的是靜態(tài)的獨(dú)立數(shù)據(jù),故稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法.(2) 時(shí)序分析法-處理的是動(dòng)態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù),又稱為過程統(tǒng)計(jì)方法.(3) 回歸分析法-用于對(duì)函數(shù)f(x)的一組觀測(cè)值(xi,fi)i=1,2,n,確定函數(shù)的表達(dá)式,由于處理的是靜態(tài)的獨(dú)立數(shù)據(jù),故稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法.(4) 時(shí)序分析法-處理的是動(dòng)態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù),又稱為過程統(tǒng)計(jì)方法.將這兩種方法結(jié)合起來使用,即用機(jī)理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu),用系統(tǒng)測(cè)試方法來確定模型的參數(shù),也是常用的建模方法, 在實(shí)際過程中用那一種方法建模主要是根據(jù)我們對(duì)研究對(duì)象的了解程度和建模目的來決定.機(jī)理分析法建模

7、的具體步驟大致可見左圖.3.仿真和其他方法(1) 計(jì)算機(jī)仿真(模擬)-實(shí)質(zhì)上是統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法,等效于抽樣試驗(yàn). 離散系統(tǒng)仿真-有一組狀態(tài)變量. 連續(xù)系統(tǒng)仿真-有解析表達(dá)式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖.(2) 因子試驗(yàn)法-在系統(tǒng)上作局部試驗(yàn),再根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行不斷分析修改,求得所需的模型結(jié)構(gòu).(3) 人工現(xiàn)實(shí)法-基于對(duì)系統(tǒng)過去行為的了解和對(duì)未來希望達(dá)到的目標(biāo),并考慮到系統(tǒng)有關(guān)因素的可能變化,人為地組成一個(gè)系統(tǒng).(參見:齊歡數(shù)學(xué)模型方法,華中理工大學(xué)出版社,1996)四、數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型可以按照不同的方式分類,下面介紹常用的幾種.1.按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域(或所屬學(xué)科)分:如人口模型,交通模型,環(huán)境模型,生態(tài)模型

8、,城鎮(zhèn)規(guī)劃模型,水資源模型,再生資源利用模型,污染模型等.范疇更大一些則形成許多邊緣學(xué)科如生物數(shù)學(xué),醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué),地質(zhì)數(shù)學(xué),數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué),數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)等.2.按照建立模型的數(shù)學(xué)方法(或所屬數(shù)學(xué)分支)分:如初等數(shù)學(xué)模型,幾何模型,微分方程模型,圖論模型,馬氏鏈模型,規(guī)劃論模型等.按第一種方法分類的數(shù)學(xué)模型教科書中,著重于某一專門領(lǐng)域中用不同方法建立模型,而按第二種方法分類的書里,是用屬于不同領(lǐng)域的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型來解釋某種數(shù)學(xué)技巧的應(yīng)用.在本書中我們重點(diǎn)放在如何應(yīng)用讀者已具備的基本數(shù)學(xué)知識(shí)在各個(gè)不同領(lǐng)域中建模.3.按照模型的表現(xiàn)特性又有幾種分法:確定性模型和隨機(jī)性模型 取決于是否考慮隨機(jī)因素的影響.近年來

9、隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,又有所謂突變性模型和模糊性模型.靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型 取決于是否考慮時(shí)間因素引起的變化.線性模型和非線性模型 取決于模型的基本關(guān)系,如微分方程是否是線性的.離散模型和連續(xù)模型 指模型中的變量(主要是時(shí)間變量)取為離散還是連續(xù)的.雖然從本質(zhì)上講大多數(shù)實(shí)際問題是隨機(jī)性的,動(dòng)態(tài)的,非線性的,但是由于確定性,靜態(tài),線性模型容易處理,并且往往可以作為初步的近似來解決問題,所以建模時(shí)常先考慮確定性,靜態(tài),線性模型.連續(xù)模型便于利用微積分方法求解,作理論分析,而離散模型便于在計(jì)算機(jī)上作數(shù)值計(jì)算,所以用哪種模型要看具體問題而定.在具體的建模過程中將連續(xù)模型離散化,或?qū)㈦x散變量視作連續(xù),也是常采用的方法.4.按照建模目的分:有描述模型,分析模型,預(yù)報(bào)模型,優(yōu)化模型,決策模型,控制模型等.5.按照對(duì)模型結(jié)構(gòu)的了解程度分:有所謂白箱模型,灰箱模型,黑箱模型.這是把研究對(duì)象比喻成一只箱子里的機(jī)關(guān),要通過建模來揭示它的奧妙.白箱主要包括用力學(xué),熱學(xué),電學(xué)等一些機(jī)理相當(dāng)清楚的學(xué)科描述的現(xiàn)象以及相應(yīng)的工程技術(shù)問題,這方面的模型大多已經(jīng)基本確定,還需深入研究的主要是優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制等問題了.灰箱主要指生態(tài),氣象,經(jīng)濟(jì),交通等領(lǐng)域中機(jī)理尚不十分清楚的現(xiàn)象,在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做.至于黑箱則主要指生命科學(xué)和社