數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用內(nèi)容摘要:隨著經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展,數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用日益廣泛。當(dāng)今社會(huì),數(shù)學(xué)方法及數(shù)學(xué)模型已經(jīng)在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中占據(jù)重要地位,起到重要作用.關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用自19世紀(jì)30年代開始,數(shù)學(xué)就開始被應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)問題研究中來(lái),特別是70年代以來(lái),出現(xiàn)了一股經(jīng)濟(jì)研究數(shù)學(xué)化的熱潮。自此,經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究不再完全使用純粹的語(yǔ)言表達(dá)和推理方式,在研究過(guò)程中越來(lái)越多的使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)工具、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)模型。其中數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用日益廣泛。某種經(jīng)濟(jì)理論確立之后,通過(guò)建立經(jīng)濟(jì)模型進(jìn)而抽象出數(shù)學(xué)模型,再根據(jù)數(shù)學(xué)模型確定模型的未知量并對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摲治?最終回到對(duì)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的分析、

2、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)、政策評(píng)價(jià)與調(diào)整上,指導(dǎo)實(shí)際的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)?，F(xiàn)代經(jīng)濟(jì)分析離開數(shù)學(xué)已寸步難行,企業(yè)、部門、地區(qū)乃至國(guó)家的決策和計(jì)劃管理,都需要有大量的數(shù)學(xué)專業(yè)人員參與分析和計(jì)算。利用數(shù)學(xué)可以對(duì)經(jīng)濟(jì)問題做出簡(jiǎn)潔、精確的說(shuō)明。單純的依靠文字描述進(jìn)行經(jīng)濟(jì)理論的分析,不能保證所研究經(jīng)濟(jì)問題前提的規(guī)范性及推理邏輯的嚴(yán)密性,也不能保證研究結(jié)果的準(zhǔn)確性和理論體系的嚴(yán)密性。而數(shù)學(xué)語(yǔ)言能夠使經(jīng)濟(jì)研究理論的表述更清晰準(zhǔn)確,邏輯推理更嚴(yán)密。對(duì)于經(jīng)濟(jì)學(xué)研究來(lái)說(shuō),在其中的命題、假說(shuō)等的推導(dǎo)過(guò)程中結(jié)合使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言,可以使表述精確簡(jiǎn)練、層次分明,從而可以減少由于定義不清所造成的爭(zhēng)論,提高效率.數(shù)學(xué)為經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究提供了科學(xué)的方法。一個(gè)經(jīng)濟(jì)

3、現(xiàn)象的產(chǎn)生是由現(xiàn)實(shí)中的諸多因素共同影響的,但并不是所有的因素都可以進(jìn)行嚴(yán)格的度量,所以要想對(duì)這些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象通過(guò)科學(xué)的研究有所發(fā)展,就必須對(duì)這些因素進(jìn)行一定的考慮需要根據(jù)實(shí)際情況對(duì)其簡(jiǎn)化和抽象。應(yīng)用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出的有關(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論更加明確具體,可以得到僅靠直覺無(wú)法或不易得到的經(jīng)濟(jì)結(jié)論。在經(jīng)濟(jì)研究中應(yīng)用數(shù)學(xué)方法使研究對(duì)象更加明確具體,使經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系數(shù)量化,使邏輯推理過(guò)程更加嚴(yán)謹(jǐn),最終保證研究得出的結(jié)論具體明確、具有科學(xué)性,從而減少經(jīng)濟(jì)關(guān)系中。在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí),進(jìn)一步拓展了經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究領(lǐng)域。一方面,經(jīng)濟(jì)事物的存在是質(zhì)與量的統(tǒng)一,對(duì)經(jīng)濟(jì)事物定性研究是定量研究的前提,而定性研究向定量研究發(fā)

4、展就是研究的深化。另一方面,數(shù)學(xué)使某些經(jīng)濟(jì)想法變成了理論,促使經(jīng)濟(jì)理論的創(chuàng)新,在這方面也拓展了經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的領(lǐng)域。數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中的應(yīng)用實(shí)例分析(一運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化問題在日常生活中,許多問題都可歸結(jié)為最大值和最小值的問題。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中相似的情況更多。每個(gè)消費(fèi)者在符合市場(chǎng)條件的前提下,都在力求尋找對(duì)自己最有利的最優(yōu)消費(fèi)方案,即花費(fèi)最少的成本而收到最大的效益;每個(gè)工廠、生產(chǎn)企業(yè)也都在尋求一定的產(chǎn)量、價(jià)格,以獲得最大的利潤(rùn),也就是在一定的成本下達(dá)到最大產(chǎn)量,或是在一定的產(chǎn)量下花費(fèi)最低的成本。雖然這些問題表現(xiàn)不同,但歸結(jié)起來(lái)都是關(guān)于最優(yōu)化的問題。這些有關(guān)的經(jīng)濟(jì)問題都可以應(yīng)用數(shù)學(xué)模型作為工

5、具,尋找到最優(yōu)方案。例如求函數(shù)的最大(小值與經(jīng)濟(jì)生活的最優(yōu)化問題就有密切聯(lián)系,可用來(lái)分析社會(huì)經(jīng)濟(jì)中生產(chǎn)者和銷售者的最大經(jīng)濟(jì)效益、資源的合理利用等一系列問題。下面舉例應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)優(yōu)化分析、解決這些問題。解決此類實(shí)際問題首先是如何將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,再利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)去分析它、解決它。例:設(shè)某商品可以保證至少銷售10000件,每件售價(jià)為50元。如果銷售量增加,可按每銷售增加2000件,每件降低2元的比例適當(dāng)降低價(jià)格。已知生產(chǎn)此種商品的固定成本是60000元,可變成本為每件20元,設(shè)此種商品是以銷定產(chǎn)(即產(chǎn)量與銷售量相等的。試問產(chǎn)量為多少時(shí),才能獲得最好的經(jīng)濟(jì)效益?解:設(shè)此種商品的產(chǎn)量是x件,則成本

6、函數(shù)為T(x=60000+20x,價(jià)格函數(shù)為,收入函數(shù)為D(x=xP(x,利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(x=D(x-T(x,從利潤(rùn)大于等于零的角度考慮利潤(rùn)函數(shù)的定義域,解得x應(yīng)該是大于等于1560,并且小于等于38500,又因?yàn)樵}中的至少銷售一萬(wàn)件的條件,可定出產(chǎn)量x的范圍應(yīng)該是大于等于10000,并且小于等于38500。令D(X=0,解得x=30000,而此時(shí)D(X<0,并且D(x在10000,38500內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),則一定存在對(duì)應(yīng)于收入最大的產(chǎn)量,由數(shù)學(xué)分析中導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可知當(dāng)此種商品的產(chǎn)量為三萬(wàn)件時(shí)取得最大收入。同理,又令L(x=0,解得x=20000,而此時(shí)L(x<0,并且L(x在100

7、00,38500內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),則一定存在對(duì)應(yīng)于利潤(rùn)最大的產(chǎn)量,所以當(dāng)產(chǎn)量為兩萬(wàn)件時(shí)利潤(rùn)最大。比較兩萬(wàn)件和三萬(wàn)件時(shí)的利潤(rùn)收益,顯然兩萬(wàn)件時(shí)的利潤(rùn)收益要比三萬(wàn)件時(shí)大,所以產(chǎn)量定為兩萬(wàn)件時(shí)可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)為三十四萬(wàn)元?？梢娊?jīng)營(yíng)管理中不能單純地追求收入最大,而不考慮利潤(rùn)如何,收入最大必須以利潤(rùn)最高為約束條件(崔宜蘭,1997。上例說(shuō)明應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求極值問題在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中具有實(shí)際的指導(dǎo)意義。實(shí)踐也證明,用數(shù)學(xué)模型對(duì)經(jīng)濟(jì)問題所作的定性分析和定量分析是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、縝密的、可信的。(二數(shù)學(xué)模型對(duì)經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)的指導(dǎo)經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)借助于科學(xué)的方法和技術(shù)手段,根據(jù)客觀經(jīng)濟(jì)過(guò)程的歷史演變和發(fā)展規(guī)律,對(duì)未來(lái)一定時(shí)期內(nèi)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的趨

8、勢(shì)和狀況進(jìn)行描述、分析,并作出估計(jì)和推斷。目的在于通過(guò)對(duì)客觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象歷史規(guī)律的探討和現(xiàn)狀的研究,求得對(duì)未來(lái)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的了解,以減少不確定性因素對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的影響,合理的使用人力、物力、財(cái)力,獲得最大經(jīng)濟(jì)效益。結(jié)合數(shù)學(xué)理論,預(yù)測(cè)方法主要有三種:時(shí)間序列的趨勢(shì)預(yù)測(cè);回歸預(yù)測(cè);投入產(chǎn)出預(yù)測(cè)。其中線性回歸分析法是經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)的常用數(shù)學(xué)方法,即利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定變量之間的線性關(guān)系,并參考這種函數(shù)關(guān)系來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢(shì)。例如:某廠生產(chǎn)一種機(jī)床,最近幾年的產(chǎn)量和成本分別為:1995年共生產(chǎn)10臺(tái)機(jī)床,其中每臺(tái)的成本為600元;1996年共生產(chǎn)40臺(tái)機(jī)床,其中每臺(tái)的成本為300元;1997年共生產(chǎn)30臺(tái)機(jī)床,其

9、中每臺(tái)的成本為450元;1998年共生產(chǎn)20臺(tái)機(jī)床,其中每臺(tái)的成本為550元;1999年共生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)床,其中每臺(tái)的成本為400元。問:如果該廠計(jì)劃年度產(chǎn)量為60臺(tái),用一元回歸分析的方法預(yù)測(cè)該廠計(jì)劃年度的總成本。解:根據(jù)本題所給資料,在單位成本確定的情況下,影響總成本y的因素,只表現(xiàn)為產(chǎn)量x,其線性函數(shù)可描述為y=a+bx,其中a,b為待定參數(shù)。設(shè)預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)模型為yi=a+bxi,要使二者所有誤差的平方和Q達(dá)到最小,可以通過(guò)求函數(shù)極值的方法來(lái)解決。使Q達(dá)到最小誤差的平方和可用公式表示為:(為書寫方便,均用表示, n為計(jì)算的年數(shù)5,下同。為使誤差的平方和Q達(dá)到最小,對(duì)a,b求一階偏導(dǎo)數(shù),并令其各

10、式均為零,由題中已知條件得出:b=290,a=3800。則預(yù)測(cè)式為:y=3800+290x。即計(jì)劃年度生產(chǎn)60臺(tái)機(jī)床預(yù)測(cè)總成本為:y=21200元。由以上對(duì)于a,b的計(jì)算過(guò)程可知,對(duì)于任何一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(xi,yi,都可以推算出a,b,并據(jù)此建立一元線性回歸方程,但x,y之間是否具有近似線性關(guān)系?該方程所揭示的規(guī)律是否比較準(zhǔn)確?預(yù)測(cè)的精度如何?都沒有給予說(shuō)明。因此為了把握預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確程度還要求計(jì)算相關(guān)系數(shù),進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)。設(shè)相關(guān)系數(shù)為r,且r的取值為-1r1,r的絕對(duì)值越接近于1,表明x與y之間線性關(guān)系越密切。當(dāng)r=1,表明x 與y之間完全正相關(guān);當(dāng)r=-1,表明x與y完全負(fù)相關(guān);當(dāng)r=0,表明x

11、與y之間不存在任何聯(lián)系。在預(yù)測(cè)分析中由于產(chǎn)量或成本均不會(huì)為負(fù),故只有IrI趨近于1才有實(shí)際意義。利用相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式,經(jīng)過(guò)計(jì)算得到本例中r=0.9073,這說(shuō)明該種產(chǎn)品產(chǎn)量與產(chǎn)品總成本具有高度的正向相關(guān)性,因而計(jì)算結(jié)果是有效的(程小紅, 2000。(三數(shù)學(xué)模型對(duì)經(jīng)濟(jì)政策的指導(dǎo)政策評(píng)價(jià)是指決策者從眾多的決策中選擇一種最優(yōu)的政策來(lái)執(zhí)行。其中用到彈性函數(shù)、乘數(shù)、生產(chǎn)技術(shù)系數(shù)、邊際效益等數(shù)學(xué)概念。如果該地人均月收入增加了2.50元,政府為了讓種植戶也增加收入,決定該經(jīng)濟(jì)作物的價(jià)格提高39%。同時(shí),政府為了不使消費(fèi)者受太大的損失,決定對(duì)消費(fèi)者進(jìn)行補(bǔ)貼,那么,應(yīng)該補(bǔ)貼多少比較合適呢?根據(jù)需求函數(shù)公式,由

12、全微分公式得dy=fx(x,pdx+fp(x,pdp,近似地有yf(x,p。當(dāng)p=1.30,x=50時(shí),由于x=2.5,p=0.39,則y-1.3。由此計(jì)算結(jié)果可知,如果該地人均月收入增加2.50元、該經(jīng)濟(jì)作物的價(jià)格提高39%的前提下,每月該經(jīng)濟(jì)作物人需求量減少1.3斤。所以,為了保持需求量不減少,在提價(jià)39%的前提下,通過(guò)計(jì)算可知大約人均每月應(yīng)補(bǔ)貼2.35元才能達(dá)到目的(楊麗賢、曹新成、關(guān)麗紅,2006。經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中應(yīng)用數(shù)學(xué)方法的注意事項(xiàng)經(jīng)濟(jì)學(xué)是人類活動(dòng)中有關(guān)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象和經(jīng)濟(jì)行為的一種力量,它作為社會(huì)科學(xué)的一個(gè)分支,受到歷史、社會(huì)、文化、道德等諸多方面的影響,并不是所有的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和經(jīng)濟(jì)關(guān)系都可

13、以用數(shù)學(xué)進(jìn)行量化研究。甚至有些經(jīng)濟(jì)學(xué)思想是不能轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型的。在經(jīng)濟(jì)研究中過(guò)分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用,會(huì)失去經(jīng)濟(jì)學(xué)作為社會(huì)科學(xué)的人文性和真正的科學(xué)性。經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中要綜合應(yīng)用各種方法,不能將數(shù)學(xué)作為經(jīng)濟(jì)研究的唯一方法。在經(jīng)濟(jì)研究中過(guò)分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用,會(huì)導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)研究資源和研究方向的單一化,不利于經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展。一種唯一的方法不可能形成對(duì)真實(shí)的經(jīng)濟(jì)事物的正確認(rèn)識(shí),經(jīng)濟(jì)學(xué)是一門非常復(fù)雜的科學(xué)體系,數(shù)學(xué)只是其研究方法中的一個(gè),而不是全部。研究經(jīng)濟(jì)學(xué)的方法包含多個(gè)層次:一般方法是唯物辯證法和歷史唯物主義;特殊方法是系統(tǒng)抽象理論;輔助方法是電腦及信息手段,而數(shù)學(xué)方法是經(jīng)濟(jì)研究中某些方面的具體方法。所以,在經(jīng)濟(jì)

14、研究中必須綜合應(yīng)用各種方法,才能使相關(guān)的經(jīng)濟(jì)問題有效解決,才能使經(jīng)濟(jì)理論真實(shí)有效,具有真正的科學(xué)性。正如凱恩斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)的那樣,“一個(gè)好的經(jīng)濟(jì)學(xué)家,在某種程度上必須是一位數(shù)學(xué)家、歷史學(xué)家、政治學(xué)家和哲學(xué)家。”經(jīng)濟(jì)研究在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法時(shí),要力求數(shù)學(xué)條件的設(shè)定與真實(shí)的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)相一致,不可設(shè)定一種脫離現(xiàn)實(shí)的完全競(jìng)爭(zhēng)的經(jīng)濟(jì)模型。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法演繹出來(lái)的理論,是在給定的假設(shè)條件下的有效結(jié)論,如果假設(shè)是錯(cuò)誤的,那么得到的結(jié)論也不是真實(shí)事物的表現(xiàn)。正如某些經(jīng)濟(jì)學(xué)家所說(shuō):“數(shù)學(xué)像磨盤一樣,把撒在下面的東西磨碎,如果撒下的是蒺藜,怎么也不可能得到面粉的?！彼?要保證經(jīng)濟(jì)理論的真實(shí)性,就要不斷地追求假設(shè)條件和經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)

15、的最大接近,要找好數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)理論的結(jié)合點(diǎn),提高解決問題的能力,使數(shù)學(xué)成為經(jīng)濟(jì)理論研究的科學(xué)依據(jù)。綜上,經(jīng)濟(jì)科學(xué)的發(fā)展,要求繼續(xù)深入研究的同時(shí),也要求加強(qiáng)數(shù)量關(guān)系的分析研究,以便更有效地認(rèn)識(shí)和利用經(jīng)濟(jì)規(guī)律。因此,數(shù)學(xué)方法作為輔助工具,會(huì)一直在經(jīng)濟(jì)研究中被成功地運(yùn)用。相信隨著經(jīng)濟(jì)和數(shù)學(xué)的共同發(fā)展,在經(jīng)濟(jì)研究中還將更進(jìn)一步地運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法和更多的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型作為研究的一種方法,是源于現(xiàn)實(shí)的,最終還要回到現(xiàn)實(shí)中去,去接受現(xiàn)實(shí)的檢驗(yàn),經(jīng)得住現(xiàn)實(shí)檢驗(yàn)的經(jīng)濟(jì)模型才能得以有效應(yīng)用。數(shù)學(xué)建模的目的是構(gòu)建數(shù)學(xué)建模意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力,在諸多的思維活動(dòng)中,創(chuàng)新思維是最高層次的思維活動(dòng),是開拓性、創(chuàng)造性人才所必須具備的能力,培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力,主要應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)