《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》學(xué)習(xí)指導(dǎo)(5,6).

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)指導(dǎo)內(nèi)容提要疑難分析例題解析自測(cè)試題安徽工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系第一章隨機(jī)事件及其概率 錯(cuò)誤！未定義書簽。第二章隨機(jī)變量及其分布 錯(cuò)誤！未定義書簽。第三章多維隨機(jī)變量及其分布 錯(cuò)誤！未定義書簽。第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 錯(cuò)誤！未定義書簽。第五章大數(shù)定律和中心極限定理 2第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 9錯(cuò) 誤！未定義書簽。錯(cuò) 誤！未定義書簽。第七章 參數(shù)估計(jì)第八章 假設(shè)檢驗(yàn)21第五章大數(shù)定律和中心極限定理內(nèi)容提要1、切貝雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=N,方差D(X)=。2,則對(duì)任意正數(shù)3,有不等式一2._2P X “之號(hào) <92 或 PX " <

2、63;>1-2 成立. ZZ2、大數(shù)定律(1)切貝雪夫大數(shù)定理：設(shè)Xi,X2，Xn,是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，數(shù)學(xué)期望E(Xi)和方差D(Xi)都存在，且D(Xi) <C (i =1,2,)，則對(duì)任意給定的 00,有1 nlim P| -xXi -E(Xi) |< ； =1.n > ： n i 1(2)貝努利大數(shù)定理：設(shè)nA是n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意給定的8>0,有l(wèi)im P|.-pl<s=1.nn貝努利大數(shù)定理給出了當(dāng)n很大時(shí)，A發(fā)生的頻率nA/A依概率U斂于A的概率，證明了頻率的穩(wěn)定性.3、中心極限

3、定律(1)獨(dú)立同分布中心極限定理：設(shè)X1,X2，Xn,是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序歹U,有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，E(Xi)=N, D(Xi) =。2 #0(i =1,2,).則對(duì)任意實(shí)數(shù)X,隨機(jī)變量nn(X i - 1')X i - n Yn一 一 的分布函數(shù)Fn(x)滿足X一 1±2/2lim Fn (x) = lim PYn _x = _： e dt.(2)李雅普諾夫定理：設(shè)XX2，Xn, 是不同分布且相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們分別有數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xi) =R , D(Xi) =52 ¥0(i =1,2,).記B2=52,若存在正數(shù)6 ,使得當(dāng)i 1門7 8時(shí)，

4、有££*氏23B2 , ET0,則隨機(jī)變量Zni 的分布函數(shù)BnFn(x)對(duì)于任意的x ,滿足Exdtlim P4 n_叫.np np(1-p)e2/2dtnn“ Xi，ilim Fn(x)=lim i-nBn-cBn,.n . nc當(dāng) n很大時(shí)，ZnN(0,1)，SXi N(£H，Bn).i 4i 1(3)德莫佛一拉普拉斯定理：設(shè)隨機(jī)變量'(n =12)服從參數(shù)為n, p(0 < p<1)的二項(xiàng)分布, 則對(duì)于任意的x，恒有疑難分析1、依概率收斂的意義是什么？依概率收斂即依概率1收斂.隨機(jī)變量序列xn依概率U斂于a ,說明對(duì)于任給的8a 0 ,

5、當(dāng)n很 大時(shí)，事件" |xn -a父屋 的概率接近于1.但正因?yàn)槭歉怕?，所以不排除小概率事?quot;xn -a <晨'發(fā)生.依概率收斂是不確定現(xiàn)象中關(guān)于收斂的一種說法2、大數(shù)定律在概率論中有何意義？大數(shù)定律給出了在試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)頻率和平均值的穩(wěn)定性.從理論上肯定了用算術(shù)平均值代替均值，用頻率代替概率的合理性，它既驗(yàn)證了概率論中一些假設(shè)的合理性，又為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中用樣本 推斷總體提供了理論依據(jù).所以說，大數(shù)定律是概率論中最重要的基本定律3、中心極限定理有何實(shí)際意義？許多隨機(jī)變量本身并不屬于正態(tài)分布，但它們的極限分布是正態(tài)分布.中心極限定理闡明了在什么條件下，原來不屬于正態(tài)

6、分布的一些隨機(jī)變量其總和分布漸進(jìn)地服從正態(tài)分布.為我們利用正態(tài)分布來解決這類隨機(jī)變量的問題提供了理論依據(jù)4、大數(shù)定律與中心極限定理有何異同？相同點(diǎn)：都是通過極限理論來研究概率問題，研究對(duì)象都是隨機(jī)變量序列，解決的都是概率論中的基本問題，因而在概率論中有重要意義.不同點(diǎn)：大數(shù)定律研究當(dāng) 時(shí)，概率或平均值的極限，而中心極限定理則研究隨機(jī)變量總和的分布的極限例題解析例1 .設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，c為常數(shù)，8>0 ,求證.E | X -c|P| X -c|_ !分析此類概率不等式的證明，一般考慮用切比雪夫不等式或直接從定義用類似切比雪夫不等式的方法來證.證設(shè)X的密度函數(shù)為f (x),則P|X_c

7、|_= f(x)dx|x_C|_ ；< f icJf(x)dx<glCJf(x)dx|x_c慕名Z=-i | x -c|f (x)dx =1 E | X -c |zz例2.設(shè)隨機(jī)變量X和丫的數(shù)學(xué)期望都是2,方差分別為1和4,相關(guān)系數(shù)為0.5,則根據(jù)切比雪 夫不等式有P X _Y _6 <.-1解 一.12由于E(X -Y) =0, D(X -Y)=DX DY -2 ；Y , DXDY- =3,故P X -Y _6 < 3/36=1/12 .例3.設(shè)在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為1/4.問是否用0.925的概率確信在1000次試3中A發(fā)生的次數(shù)在 200到

8、300之間？分析 在1000次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)X B(1000,1/4)，且EX =1000 1/4 =250,DX =1000 1/4 (1 -1/4)-375/2而 P200 < X <300 =P X -250 <50利用Chebychev不等式得P200 _X _300 =P X -250 _50 _1 -D(X-) =0.925502所以可用0.925的概率確信在1000次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)在200到300之間.解 如分析所述，由 Chebychev不等式即可得例4.分布用切比雪夫不等式與隸美弗一拉普拉斯中心極限定理確定：當(dāng)擲一枚硬幣時(shí)，需要 擲多少次，才能

9、保證出現(xiàn)正面的頻率在0.40.6之間的概率不小于 90% .1解 設(shè)X為n次擲硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)，則 X B(n, p),其中p =-2(1)由切比雪夫不等式知P 0.4 X- -0.6 =P |- -0.5|<0.1 =P1X 0.5n |E0.1nJnn=1-絲D(X)2(0.1n)2令 1 _25至90%.則得n之250 . n(2) 由隸美弗-拉普拉斯的中心極限定理，得:XP0.4 _ _0.6 n= P0.4n MX <0.6n0.4n -0.5nX -0.5n0.6n -0.5n書、0.25n, 0.25n、0.25n,0.1n，2：，()-105 n,. n, , n

10、二2：，(一n) -1 .90% = ；：<),0.95. 55查表知：in. >i,6.5n _67.64=. n _68例5. (1) 一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立的元件組成，在系統(tǒng)運(yùn)行期間每個(gè)元件損壞的概率 為0.10，又知為使系統(tǒng)正常運(yùn)行，至少必須有85個(gè)元件工作，求系統(tǒng)的可靠度；(2)上述系統(tǒng)假如由 n個(gè)相互獨(dú)立的元件組成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)正常運(yùn)行，問n至少為多大時(shí)才能保證系統(tǒng)的可靠度不小于0.95 .100，于是S =XXi服i 1解設(shè)x。第可XX，s為系統(tǒng)正常運(yùn)行時(shí)完好的元件個(gè)數(shù)從 b(100,0.9),因而ES =100 0.9=90

11、, DS=npq=100 0.9 0.1 =9.故所求的概率為P(S 85) =1-P(S _85) =1 =P S=90 _ 85二90 4 _中 _ 5 =0.952.,9，93(2)此時(shí) Sb(n,0.9),要求 P(S>0.8n)之0.95，而P(S 之0.8n) =1 PS -0.9n0.3 n,0.8n -0.9n一 0.3 . n 業(yè)A0.95,查表得 in 21.65,n n >24.5,取 n =253 3例6. 一加法器同時(shí)收到 20個(gè)噪聲電壓M ,(i =1,2,20),設(shè)它們是相互獨(dú)立且都服從區(qū)間(0,10)上的均勻分布，求總和噪聲電壓超過計(jì)劃105 (伏)

12、的概率.解 記V =£% ,因M,V2,V20是相互獨(dú)立且都服從(0, 10)上的均勻分布，且i 1口 =EM) =5,二 i =DM)=史0/ =1,2, ,2012由獨(dú)立同分布中心極限定理知20 n、-100500VN(20 5,20) =N(100,)，i4123故105 -100P(V 105) ： 1 -P(V <105) =1 _ .：()500/3=1 _ 中(0.39) =0.3483.例7.假設(shè)X1,X2.，Xn是來自總體 X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本；已知EX k =o(k(k =1,2,3,4),證明當(dāng)n充 分大時(shí)，隨機(jī)變量1 n 2 Zn<Xi2n i 1 近

13、似服從正態(tài)分布，并指出其分布參數(shù).分析 此題主要考查對(duì)中心極限定理的理解與運(yùn)用解 依題意知Xi,X2，Xn獨(dú)立同分布，從而其函數(shù)XAX2,，X2也是獨(dú)立同分布，且_2_2_2_4_222EXi =EX -：2,DXi = EXi -(EXi)二14一2,1 n 2 EZn =" EXi =i2, n i =41、n 21 、n.212DZn =D(-% Xi L DXi (: 4 -： 2)n i 1 n idn由中心極限定理Un 二 Zn .(二 4 - - 2)/ n_ 2的極限分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即當(dāng)n充分大時(shí)，Zn近似地服從參數(shù)為(a2,空)的正態(tài)分布.n、n、例8.設(shè)隨機(jī)變

14、量Xi ,1 <i <n,獨(dú)立同分布，且分布密度為f (x),記p = PZXi <x,當(dāng)n充分大時(shí)，則有A. p可以根據(jù)f(x)計(jì)算；B . p不可以根據(jù)f(x)計(jì)算；C.p 一定可以用中心極限定理近似計(jì)算；D. p 一定不可以用中心極限定理近似計(jì)算解 由于Xi ,1 <i Wn,獨(dú)立同分布，它們的聯(lián)合概率密度等于各邊緣密度的乘積.因此p可以如下計(jì)算：p =x1 型一上(為)一 fn(xn)dxj dxn由于不知道Xi ,1 <i Mn.的期望和方差是否存在，故無法判斷能否用中心極限定理 綜上所述，選A.一、填空題1 .隨機(jī)變量X的方差為2,則根據(jù)切比雪夫不等式

15、估計(jì)P| X -E (X) |>2<.2 .設(shè)隨機(jī)變量 X和丫的期望都是2 ,方差分別為1和4 ,而其相關(guān)系數(shù)為0.5,則根據(jù)切比雪夫不等式 P| X Y |>6 <.3 .設(shè)Xn是n重貝努里試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù)，又 A在每次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p(0<p<1),4 .設(shè)隨機(jī)變量Xi ,，Xn,相互獨(dú)立同分布，且具有有限的均值與方差，,2E(Xi)=也 D(Xi)=仃2 =0 ,nXi n隨機(jī)變量Yn =二十的分布函數(shù)Fn(x), 對(duì)任意的x , 滿足.一 n 二lim F n(x) = P=.n .n5 .設(shè)隨機(jī)變量序列 X1,X2，Xn,相互獨(dú)立同分布

16、， 且E(Xn)=0,則lim P(£Xi<n)=n )： i 1、選擇題6 .設(shè)隨機(jī)變量 X N(R,o2) , Y N(%o2),且 P| X % |<1>P| Y-k2 |<1,則必有().(A)。1 AS ;(B) 3 <G2 ;(C)內(nèi) < 口2 ;(D) h >k2 .7 .設(shè)隨機(jī)變量序列Xn相互獨(dú)立，XnU-n,n, n =1, 2，則對(duì)Xn().(A)可使用切比雪夫大數(shù)定律；(B)不可使用切比雪夫大數(shù)定律；(C)可使用辛欽大數(shù)定律；(D)不可使用辛欽大數(shù)定律.8 .設(shè)隨機(jī)事件 A在第i次獨(dú)試驗(yàn)中發(fā)生的概率為pi, i =1,2

17、，n. m表示事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則對(duì)于任意正數(shù)名恒有l(wèi)im pf_lf；pi <SL().n-jsc n n y J(A)(B) 0；(D)不可確定.X1, X 2，Xn,相互獨(dú)立且都服從參數(shù)為九的指數(shù)分布,則下述選項(xiàng)中成立的是()(A)lim Pn ”二n.二 X ii 1，、n 'x=6(x);(B) lim pn_j：-L. Xi - ni 1. n=9(x);(C)lim Pn )二二_x=G(x);(D) lim Pn )二二n“ Xii Tn ,一九一_ x=6x).10 .設(shè)隨機(jī)變量序列 X1，X2，Xn,相互獨(dú)立同分布，E(Xi)=0, D(Xi)=6

18、2,且E(Xf)存在,則對(duì)任意0>Q,下述選項(xiàng)中正確的是 ()-11*、，2(A) lim P, - ZXi -a2 <名=1 ; n-jpc In 曰11222 U(B) lim P - ZXi2 -er2 <& <1 ； n-Jpc I n t(D)p1 - ZXi2 -。2, n t三、解答題20%,以X表示在隨機(jī)抽查的100個(gè)索賠戶11 .某年的統(tǒng)計(jì)資料表示，在索賠戶中被盜索賠戶占 中因盜竊而向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù).(1)寫出X的概率分布；(2)求被盜索賠戶不少于 14戶且不多于30戶的概率的近似值.12 .某單位設(shè)置一電話總機(jī)， 共有200架分機(jī).設(shè)每個(gè)

19、電話分機(jī)是否使用外線通話是相互獨(dú)立的.設(shè)每時(shí)刻每個(gè)分機(jī)有 5%的概率要使用外線通話.問總機(jī)需要多少外線才能以不低于90%的概率保證每個(gè)分機(jī)要使用外線時(shí)可供使用？5013 .設(shè)Xi,X2，X50是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從參數(shù)為九= 0.03的泊松分布，記Y=£Xi ,i試計(jì)算PY >3 .14 . 一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立的元件組成，在系統(tǒng)運(yùn)行期間每個(gè)元件損壞的概率為0.10,又知為使系統(tǒng)正常運(yùn)行，至少必須有85個(gè)元件工作，求系統(tǒng)的可靠度.第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念內(nèi)容提要1、總體與樣本在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，將研究對(duì)象的全體稱為總體；組成總體的每個(gè)元素稱為個(gè)體從總體中抽取的一部分

20、個(gè)體，稱為總體的一個(gè)樣本；樣本中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本的容量.從分布函數(shù)為F(x)的隨機(jī)變量X中隨機(jī)地抽取的相互獨(dú)立的n個(gè)隨機(jī)變量，具有與總體相同的分布，則Xi,X2，Xn稱為從總體X得到的容量為n的隨機(jī)樣本.一次具體的抽取記錄Xi,X2，Xn是隨機(jī)變量Xi,X2，,Xn的一個(gè)觀察值，也用來表示這些隨機(jī)變量2、統(tǒng)計(jì)量設(shè)Xi,X2，Xn是總體X的一個(gè)樣本，則不含未知參數(shù)的樣本的連續(xù)函數(shù)f(Xi,X2： ,Xn)稱 為統(tǒng)計(jì)量.統(tǒng)計(jì)量也是一個(gè)隨機(jī)變量，常見的統(tǒng)計(jì)量有 n n(1)樣本均值 X=1£Xi；n i工/ c 上"21 工21 R n 2 2(2)樣本萬差 S2 =6(Xi_

21、X)2=ZXi2 -nX n 1 i 苴n 1 i 小n n .(4)樣本k階原點(diǎn)矩 Ak =£Xik,k =1,2； n曰1 n憶(5)樣本 k 階中心矩 Bk =一£(Xi X)k,k=1,2,.n坦2、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)設(shè)X1,X2，,Xn是總體X的一組觀察值將它們按大小順序排列為:* * * X1 <X2 <J, <Xn ,稱匕為順序統(tǒng)計(jì)重.則稱一一 *0,x <x11* 一*,x1 Mx <x2 nFn(x)=«k :*為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)(或樣本分布函數(shù))一，xk 'x<xk書 n*1, X -Xn3、一些常用統(tǒng)計(jì)量的分

22、布(1) /分布設(shè)XN(0,1), Xi,X2，,Xn是X的一個(gè)樣本，則統(tǒng)計(jì)量 力=±Xi2服從自由度為n的浮分布,記作 2 2(n).(2) t分布設(shè)X N(0,1) , Y 千(n),且X,Y相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量 記作t t(n). t分布又稱為學(xué)生分布.(3) F分布設(shè)* 72(ni) , Y7282),且X,Y相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量 F 分布，記作 F F(ni,n2).4、正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布設(shè)X N(N,。2) , Xi,X2，Xn是X的一個(gè)樣本，則(1)_2樣本均值X服從正態(tài)分布，有XN(，二-2(2)樣本方差(n二粵Z2(n-i)o(3)統(tǒng)計(jì)量X -J-t(n-DS/n

23、t= X,Y/n服從自由度為n的t分布,X/niF =Y/3服從自由度為(坨,血)的、八 X -P-)或 U = N(0,i)；Ver2 / n2、設(shè) X N(Ni,5 ),Y N(%Q2) , Xi,X2，Xni 是 X 的一個(gè)樣本，Yi,Y2,，Yn2 是 Y 的一個(gè)樣本,兩者相互獨(dú)立.則(i)統(tǒng)計(jì)量(X ；Y)-G=2)N(0,i),-i / ni '/ n2(2)當(dāng)oi =仃2時(shí)，統(tǒng)計(jì)量 (X _Y) 一(科一叱)t(ni +n2 -2),其中 Ji/ni +2/n2 Sw(ni -i)Si2 +(n2 -i)sf .Sw ,，ni ' n2 -2(3)統(tǒng)計(jì)量Si2/q

24、i2 F(ni -t n2 一1)；S22/H1.,22n2 一 F (n1, n2) n1、(Xi -1) /-1（4）統(tǒng)計(jì)量i 1n2, 22x (yj -J2)/二2 j 1疑難分析1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象和目的是什么？“數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)”是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它的任務(wù)是研究怎樣用有效的方法去收集和使用帶隨機(jī)性影響的數(shù)據(jù)，它的具體含義包括以下幾層意思：1 ）能否假定數(shù)據(jù)有隨機(jī)性，是區(qū)別數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法與其他數(shù)據(jù)處理方法的根本點(diǎn)。數(shù)據(jù)的隨機(jī)性來源有兩種：a）問題中涉及的研究對(duì)象為數(shù)很大，只能抽取部分樣品加以研究，如測(cè)定 10000支燈管的壽 命，只能抽取其中100支進(jìn)行測(cè)試（測(cè)試結(jié)束，這 100支燈管就失

25、去了使用價(jià)值），而這100支燈 管的抽取是帶隨機(jī)性的。b）數(shù)據(jù)的隨機(jī)性來源于測(cè)量誤差或者試驗(yàn)的隨機(jī)誤差，如考察產(chǎn)品的質(zhì)量，溫度和壓力是重 要因素。但當(dāng)溫度和壓力取為定值時(shí)，質(zhì)量仍因大量其他因素的影響，如原材料的差異，使用的設(shè) 備和操作人員的經(jīng)驗(yàn)差異等而有一定的波動(dòng)，試驗(yàn)結(jié)果仍包含有隨機(jī)誤差。2）所謂“用有效的方法收集數(shù)據(jù)”可歸結(jié)為：a）建立一個(gè)數(shù)學(xué)上易于處理的盡可能簡(jiǎn)單的模型描述所得的數(shù)據(jù)。b）要使數(shù)據(jù)包含盡可能多的與研究問題有關(guān)的信息。例如對(duì)上海市居民收入的狀況進(jìn)行研究時(shí)， 我們應(yīng)調(diào)查多少戶居民比較合適， 太少了沒 有代表性，太多了費(fèi)用昂貴，究竟確定幾戶合適就要用統(tǒng)計(jì)方法。另外若確定了選取1

26、000戶，如何選??？如果只從高收入人群調(diào)查，就失去了代表性，數(shù)據(jù)談不上有效性。如果用純隨機(jī)化方法抽取，則數(shù)據(jù)就有一定的代表性，本教材討論的正是這種模型。是否有更 有效的方法，例如高收入人群占30%低收入人群占70%那么我們從高收入人群中隨機(jī)抽300戶,而從低收入人群中隨機(jī)抽 700戶，這時(shí)的數(shù)據(jù)確實(shí)更為有效等等。由此產(chǎn)生了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的兩個(gè)分支“抽樣理論”和“試驗(yàn)設(shè)計(jì)”。3） “有效地使用隨機(jī)數(shù)據(jù)”的含義即將抽得的隨機(jī)數(shù)據(jù)用有效的方式去集中，提取與研究問題有關(guān)的信息，并利用它對(duì)提出問題作出一定的結(jié)論，這種結(jié)論稱為“統(tǒng)計(jì)推斷”。但統(tǒng)計(jì)推斷并不是絕對(duì)精確和可靠的，這正是數(shù)據(jù)隨機(jī)化帶來的影響，然而推斷應(yīng)

27、盡可能的“可靠”。本教材中討論的“點(diǎn)估計(jì)，區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)”正是統(tǒng)計(jì)推斷中的重要內(nèi)容。顯著性水平，置信水平等相應(yīng)的概率大小正反映這些統(tǒng)計(jì)推斷方法的“可靠性”的大小?！敖y(tǒng)計(jì)推斷”中有許多統(tǒng)計(jì)方法來源于實(shí)踐中產(chǎn)生的“統(tǒng)計(jì)思想”，如“極大似然法”，“矩法”等，它有一定的合理性，但又不是“絕對(duì)精確”。只有理解了這些統(tǒng)計(jì)思想才會(huì)對(duì)統(tǒng)計(jì)方法深入理解。只有對(duì)“可靠性”大小的正確理解才能對(duì)研究的結(jié)論作出正確的闡述.2、為什么要引進(jìn)統(tǒng)計(jì)量？為什么統(tǒng)計(jì)量中不能含有未知參數(shù)？引進(jìn)統(tǒng)計(jì)量的目的是為了將雜亂無序的樣本值歸結(jié)為一個(gè)便于進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷和研究分析的形式，集中樣本所含信息，使之更易揭示問題實(shí)質(zhì)如果統(tǒng)計(jì)量中仍含有

28、未知參數(shù)，就無法依靠樣本觀測(cè)值求出未知參數(shù)的估計(jì)值，因而就失去利用統(tǒng)計(jì)量估計(jì)未知參數(shù)的意義.3、什么是自由度？所謂自由度，通常是指不受任何約束，可以自由變動(dòng)的變量的個(gè)數(shù).在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，自由度是對(duì)隨機(jī)變量的二次型(或稱為二次統(tǒng)計(jì)量)而言的.因?yàn)橐粋€(gè)含有n個(gè)變量的二次型 n n££ajXiXj(aj =aji,i, j =1,2,n)的秩是指對(duì)稱矩陣 A=(aj)nxn的秩，它的大小反映 n個(gè)變量中能 i 1 1自由變動(dòng)的無約束變量的多少.我們所說的自由度，就是二次型的秩.例題解析例 1.已知 Xi,X2，X7 i.i.d. N(E1)且a(X 1 -2X2 X 3) '

29、; b( X4 - X 5 - X6 - X 7) ，求 a,b.解 E(X1 -2X2 X3) =0,D(X1 -2X2 X3) =1 4 1 =6(-X1 -2X2 X3)/ . 6 2 2= a =1/6同理 E(X4 X5 X6 -X7) =0, D(X4 X5 X6 X7) =4 .b =1/4例 2. Xi,X2,X3,X4 是 N(0,22)的樣本，Y =a(X1 2X2)2 +b(3X3 4X4)2 貝(Ja= b= 時(shí)YN2分布，自由度為2D(X1 -2X2)=；12 4二2 =5 二2 =20X12X2 I 丁2小1 Z (1) = a =而】同J_ , 、2 一 2_ 2

30、 一D(3X3 -4X4) 二9二16二 =5二 =1003X3.4X4121 2(1)=b 二焉例 3.設(shè) X1?2，,Xn i.i.d. N(毋)，S12 =(Xk H2 ,S；=1 打n 一Xk -X)2,sf =則服從t(n-1)的隨機(jī)變量是(nB)"八一物2 fJXT)2(A) X -S1 / , n -1(B)X -S2 /n -1(C) X :S3 / , n(D)X -二S4 /、 n注(C)、(D)的分布自由度為n題中條件自由度為 n_1,而(A)不符合定理2結(jié)論例4.設(shè)r.v. X和丫相互獨(dú)立都服從 N(0,9)，而X3X2，X9和丫1,丫2,，丫9分別是來自總體

31、Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,求統(tǒng)計(jì)量Z =X1 X9.丫12Y2所服從的分布，并指明參數(shù)由于丫/3 N(0,1),丫 二.、i 1=1：丫 2(9).再由XN(0,1),根據(jù)t分布的定義，有.Y/9t(9)例5.設(shè)X1,X2，X9是來自總體X N (0,22)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求系數(shù) a,b,c使222Q =a(X1 X2) b(X3 X4 X5) c(X6 X7 X8 X9)服從Z2分布，并求其自由度.解 由于X1,X2，X9是來自總體XN(0,22)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，由正態(tài)分布的線性運(yùn)算性質(zhì)有X1 X2N(0,8),X3 X4 X5 N(0,12),X6 X7 Xg X9 N(0,16)于是，由工2 =

32、警+工2 +十籃有222Q (Xi +X2)2 +(X3 +X4 +X5)2 JX6 +X7 +X8 +X9)2二 81216故 a=1/8, b=1/12, c=1/16,自由度為 3.例 6.設(shè)隨機(jī)變量X,Y和Z相互獨(dú)立，且X N(0.2,1)，丫N(0,1),Z 片(1).又X1,X2，X5, Y1,Y2,Y3,Z1,Z2分別來自總體X,Y,Z的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.求統(tǒng)計(jì)量UX1+一+X5 -1所服從的分布 并指明其參數(shù) .丫12 丫22 丫32 Z1 Z2一一._ X X 解 因?yàn)閄1,X2，X5獨(dú)立同分布且服從N(0.2,1)，記X 5則5X -V =L =v'5(X -0.2)

33、N(0,1),:/ . n由于 丫1,丫2,丫3 是 i.i.d. N(0,1),故丫12 丫22 丫322(3),又Z1,Z2灰,因此W =丫)2丫22丫32 Z1 Z2 2(5)且V, W相互獨(dú)立，故X1 蘆+X5 -1.丫12丫22丫32Z1 Z2t(5)V = 5(X -1/5) =uW W/55例7.設(shè)總體X服從正態(tài)分布X N(Hg2),從中抽取樣本X1，X2： ,Xn,Xn由11nv o21 n/v <72n X n 1 - X nX n 乙 Xi , Sn =" 乙(Xi X ) , 證明：- - t(n 1)n i 1n -1i =1. n - 1Sn證明- E

34、(Xn 1 -X) =0,D(Xn 1 -X) =DXn 1 DXnXn 1 - X. U =1 N(0,1).n 1 ,n "2T7(n 一1)Sn 2乂V =2(n -1)且u V獨(dú)立，故U. V /(n -1) t(n -1).例8.設(shè)總體X服從正態(tài)分布XN(0,22),而X1，X2，X15是來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則V 2V 2分布，參數(shù)為隨機(jī)變量Y二X1 一 X10服從2(XiiX15)解 由 Xi N(0,22),知 Xi / 2 N(0,1),從而 1/4(X-2 +一 +X2)72(10),.2 2 、.一22、21/4(X1 - - X10)/101/4(X21 +

35、X15) 產(chǎn)(5),因而 Y =10rF(10,5)。1/4(X121 ：:X；5)/5例9.設(shè)總體XN（0,。2）,而X1,X2，X9是來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試確定。的值，使P1 <X <3的值為最大。分析 這是一個(gè)概率論與高等數(shù)學(xué)的綜合題，先計(jì)算 P1<X<3的值，其值是關(guān)于 仃的函數(shù)， 然后再計(jì)算該函數(shù)的極值解由X N(0,o2)知XN(0,a2/9),于是有X 3X= N(0,1)-,/3:二從而33X993P1 ：X ：3 = P± ：:3X ：: -= ->(-) - -(-)CT aCTCT令也X9=：,昌一二昌=：昌(J).,(3)(一

36、)de .二 二 二 二 二 二819=-9 A-2? -3.2二；.2 二二972=3e，(1 3e)=0 .2136得e宕=1 ,可求得仃。3.ln3因駐點(diǎn)唯一，又由已知條件知存在最大值，所以當(dāng)P1 <X <3的值最大，最大值為P1 < X ：二3=中(9_)_中(31)66= >(1.6479) -： >(0.5493)0.9505 -0.7088 =0.2417例10.從正態(tài)總體N（3.4,62）中抽取容量為n的樣本.如果要求其樣本均值位于區(qū)間（1.4,5.4）內(nèi)的概率不小于0.95,問樣本容量n至少應(yīng)取多大？解 以X表示其樣本均值，則X -3.46 n

37、N (0,1)從而有P(1.4 二 X ：二5.4) =P(-2 ：X -3.4 <2)|X -3.4 |2 n二 P(|X -3.4 卜二2)=P(|n < -)66、n=2：.：，() -1 _0.953故因此得即：.：，(),0.975 3_1.96n _(1.96 3)2 ：. 34.573 一所以n至少應(yīng)取35.例11.設(shè)總體X N （四,o2）,YN串242）,從二總體中分別抽取樣本，得數(shù)據(jù)如下:ni =8, X =10.5, s2 =42.25; n2 =10, y =13.4,s2 =56.25;求概率:_2(1) P9|t<4.40; (2) p四 <

38、&,假定 52=仃2.二 1解 （1）由6.2.4知:22S112 l ,、-2 2 F(8 -1,10 -1)S2于是2PG二 142 25 ：:4.40 =P4225 56.252，3-304=1Tsi5_2- -3.304二 1=1 -0.05 =0.95(2)由 6.2.4 知：X -Y -(1 -2 )t(n1n2 -2)22其中sw (n1-1)S1+(n21)S2= 7X42,25+9X5625=49.28n F2 -216于是P1 3用10.5一13.4一3 一2)-0.88 -0.8049.28 ,111.8 10、填空題（本題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在題中橫線上.）51、設(shè)總體X B(1, p) , (Xi,X2，Xn)是總體X的樣本，則統(tǒng)計(jì)量T=£Xi服從分布；i 14n2、設(shè)Xi,X2，Xn為來自總體72(10)