線性回歸方程——非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程

1、4X0對(duì) 36 邛 40 42 44 46 4H 5。52 54 56年宣傳費(fèi)“元線性回歸方程一一非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程例1. （2015高考全國(guó)卷I ）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi) x （單位：千元）對(duì)年銷(xiāo)售量 y （單位：t）和年利潤(rùn)z （單位：千元）的影響，對(duì)近8年的宣傳費(fèi)Q和年銷(xiāo)售量= 1,2,數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.563二（三21469工（%一啾兌-¥）（I）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，也與丫 -。* d血，哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量 y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；（II）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果及表中

2、數(shù)據(jù)，建立 y關(guān)于x的回歸方程;（III）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x, y的關(guān)系為,根據(jù)（II）的結(jié)果回答下列問(wèn)題:（i）年宣傳費(fèi).49時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少（ii）年宣傳費(fèi):為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)1 d?, （Unkn）,其回歸直線V-a + |3u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:【答案】（I ）v4 d點(diǎn)適宜作為年銷(xiāo)售量¥關(guān)于年宣傳費(fèi)X的回歸方程類(lèi)型；（n ）- = 100,6 4 68欣；（m ）（i）答案見(jiàn)解析；（ii）千元.【解析】（I）由散點(diǎn)圖可以判斷,適宜作為年銷(xiāo)售量：關(guān)于年宣傳費(fèi)x|的回歸方程類(lèi)型.（II）令*-Jx,先建立v關(guān)于W

3、的線性回歸方程，由于=68,.白二 V -加+563-68第二,關(guān)于w的線性回歸方程為3二100.6 + 6g梆因此丫關(guān)于&的回歸方程為|y二100.6劣（III） （i ）由（II）知，當(dāng)卜=49時(shí)，年銷(xiāo)售量1的預(yù)報(bào)值= 100,6 4福眄=年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值為z= 576,6 0.2-49 = 66 32.（ii ）根據(jù)（II）的結(jié)果知，年利潤(rùn) z的預(yù)報(bào)值2二0.2（100,6 + 6融尿）.k = kS6瓜+加2所以當(dāng)%反=f=6' 即K #2時(shí)，力取得最大值.故年宣傳費(fèi)為千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大例2.某地級(jí)市共有 200000中小學(xué)生，其中有 7%學(xué)生在2017年享受了

4、 國(guó)家精準(zhǔn)扶貧”政策，在享受 國(guó)家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生中困難程度分為三個(gè)等次：一般困難、很困難、特別困難，且人數(shù)之比為 學(xué)生，當(dāng)?shù)厥姓O(shè)立專(zhuān)項(xiàng)教育基金”，對(duì)這三個(gè)等次的困難學(xué)生每年每人分別補(bǔ)助經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查發(fā)現(xiàn)， 當(dāng)?shù)厝司芍淠晔杖胼^上一年每增加n%|, 一般困難的學(xué)生中有加"會(huì)脫貧，脫貧后將不再享受精準(zhǔn)扶貧”政策，很困難的學(xué)生中有 2M轉(zhuǎn)為一般困難，特別困難的學(xué)生中有 n,"轉(zhuǎn)為很困難。現(xiàn)統(tǒng)1t了該地級(jí)市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，對(duì)數(shù)據(jù)初步處理后得到了如圖所示的散點(diǎn)圖和表中 統(tǒng)計(jì)量的值，其中年份 工取13時(shí)代表2013年，卜與y (萬(wàn)元)近似滿(mǎn)足關(guān)

5、系式 1yHe26*,其中|C1.。為常數(shù)。(2013年至2019年該市中學(xué)生人數(shù)大致保持不變)5:3:2,為進(jìn)一步幫助這些1000 元、1500 元、2000 元。V£匯 ir-l5_to-1型人- 8 i-L23123.14.621其中k產(chǎn)心目加|, 1 =(I )估計(jì)該市2018年人均可支配年收入;(n)求該市2018年的專(zhuān)項(xiàng)教育基金”的財(cái)政預(yù)算大約為多少其回歸直線方程1 -4 Gl的斜率和截距的最【詳解】(I )因?yàn)槿?3-14-15+16+ 17) = 15,所以；/廣+爐+20.-xXL £)由卜=log2y 得 t = logiCi+ c那，所以 J一 一;一

6、fw，療一二 in , 1O£?C| =k"C掇=12,所以C = 2”" = 0.：S,所以.卡.當(dāng)工=18時(shí)，2018年人均可支配年收入v = 0,8=(萬(wàn))(n)由題意知2017年時(shí)該市享受 國(guó)家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生共200000X 7%=14000人般困難、很困難、特別困難的中學(xué)生依次有7000人、4200人、2800人，2018年人均可支配收入比 2017年增71=*-'=0】=10% U.S a所以2018年該市特別困難的中學(xué)生有2800X (1-10%)=2520人,很困難的學(xué)生有 4200X (1-20%)+2800X 10%=3640般困

7、難的學(xué)生有 7000X (1-30%)+4200X20%=5740.所以2018年的 專(zhuān)項(xiàng)教育基金”的財(cái)政預(yù)算大約為 5740X 1000+3640X 1500+2520X 2000=1624?.例3.近期，某公交公司分別推出支付寶和徽信掃碼支付乘車(chē)活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來(lái)越多的人開(kāi)始使用掃碼支付.某線路公交車(chē)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動(dòng)推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次 （單位：十人次），統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表l所示:jri,2343676112134661011961表1根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如右圖所示的散點(diǎn)圖.根據(jù)散

8、點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi),也工與yy dc, d均為大于零的常數(shù)哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類(lèi)型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）;（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次;參考數(shù)據(jù):y£孫加1*1瞰4 I62.14L5425S550.12 J3.47 1參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)其回歸直線國(guó)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:【答案】（1）y =（2） 3470【詳解】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，¥二。小適宜作為掃碼支付的人數(shù) ¥關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)K的回歸方程類(lèi)型;（2）” 41兩邊同時(shí)取

9、常用對(duì)數(shù)得:isv = late d)1期4 |防1 X ； 14050.U-7 - 1 I.M=0 7528 S3-0.54把樣本中心點(diǎn)（4,1,54.代入V - Ige + 13 ,乂得：扇二v = 0.54 + 0 25nliv = 0.54 4 口,25*-7關(guān)于氏的回歸方程式：y100.54+ 0.251 _ |qS4 x_ 3 47 x把其=代入上式,活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次為3470 ;2017年成交的例4.近年來(lái)，隨著我國(guó)汽車(chē)消費(fèi)水平的提高，二手車(chē)流通行業(yè)得到迅猛發(fā)展.某汽車(chē)交易市場(chǎng)對(duì)二手車(chē)交易前的使用時(shí)間（以下簡(jiǎn)稱(chēng)使用時(shí)間”）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到頻率分布直方圖如圖圖2殳一云

10、山k-（1）記 在7年成交的二手車(chē)中隨機(jī)選取一輛，該車(chē)的使用年限在k ,16|”為事件.4,試估計(jì)A|的概率；（2）根據(jù)該汽車(chē)交易市場(chǎng)的歷史資料，得到散點(diǎn)圖如圖2,其中、（單位：年）表示二手車(chē)的使用時(shí)間，y|（單位：萬(wàn)元）表示相應(yīng)的二手車(chē)的平均交易價(jià)格. 由散點(diǎn)圖看出，可采用y二以作為二手車(chē)平均交易價(jià)格y關(guān)于其使用年限卜 的回歸方程，相關(guān)數(shù)據(jù)如下表（表中 看=嗝, ”版5：根據(jù)回歸方程類(lèi)型及表中數(shù)據(jù)，建立（關(guān)于工的回歸方程；該汽車(chē)交易市場(chǎng)對(duì)使用 8年以?xún)?nèi)（含8年）的二手車(chē)收取成交價(jià)格 卜區(qū)的傭金，對(duì)使用時(shí)間8年以上（不含8年）的二手車(chē)收取成交價(jià)格10%的傭金.在圖1對(duì)使用時(shí)間的分組中，以各組的

11、區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值.若以 2017年的數(shù)據(jù)作為決策依據(jù)，計(jì)算該汽車(chē)交易市場(chǎng)對(duì)成交的每輛車(chē)收取的平均傭金.附注： 對(duì)于一組數(shù)據(jù)1bvj ,其回歸直線包4 0U的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為。- miv _ _工二一,一阿 參考數(shù)據(jù)：產(chǎn)5 191%5.75 限1 73,/扁上a 52,小斑片0.16 .【答案】（1）; （2） ”七人，叫 萬(wàn)元【詳解】（1）由頻率分布直方圖得，該汽車(chē)交易市場(chǎng)2017年成交的二手車(chē)使用時(shí)間在的頻率為0.07 . 4二。舞 在O2J6的頻率為 0.03 4 = 012 所以P（A） = U2K + 012 = 0.40.（2）由丫 = /“吃得1g=4氏，即

12、丁關(guān)于卜的線性回歸方程為Y = a + bx. 0J , 2 = Y - h R =】9 - (- 0 3) x 5.5 = 3一55、工.與秤二儂丫 _逑g叱£51 1-9 因?yàn)榧?儂”卜工產(chǎn) 所以Y關(guān)于工的線性回歸方程為Y = 3.55 -03x，即卜關(guān)于工的回歸方程為 根據(jù)中的回歸方程卜二仁3陰，亂九和圖1,對(duì)成交的二手車(chē)可預(yù)測(cè)：使用時(shí)間在（0, 4|的平均成交價(jià)格為 戶(hù)I/匕二J9抬 墳,對(duì)應(yīng)的頻率為口水使用時(shí)間在（4, *|的平均成交價(jià)格為e- = c-5r75|,對(duì)應(yīng)的頻率為036 ；使用時(shí)間在（&的平均成交價(jià)格為9貸口。二心弁物用|,對(duì)應(yīng)的頻率為0萬(wàn)； 使用時(shí)間

13、在（12, 16的平均成交價(jià)格為- H = e a650 52|,對(duì)應(yīng)的頻率為0.12 ； 使用時(shí)間在（16, 20的平均成交價(jià)格為 心5$43 - lS=eLft50 16 ,對(duì)應(yīng)的頻率為0.04 所以該汽車(chē)交易市場(chǎng)對(duì)于成交的每輛車(chē)可獲得的平均傭金為（02 片面+ 036 x 5.75） 4° 8-（0 28 x 1.73+0.12 x 0.52+0.04 x 0.16） x 10%= 0,29（為"029 萬(wàn)元例5.菜農(nóng)定期使用低害殺蟲(chóng)農(nóng)藥對(duì)蔬菜進(jìn)行噴灑,以防止害蟲(chóng)的危害， 但采集上市時(shí)蔬菜仍存有少量的殘留農(nóng)藥,食用時(shí)需要用清水清洗干凈，下表是用清水x（單位：千克）清洗

14、該蔬菜1千克后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥y（單位：微克）的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.y （微克）y|W£ -£ (溝-口i 二 1£ (wi- w)21 = Jg£ (xi - xltvi - y) i-lg£ (wi-w)(> i-y)3381110374121-751x （千克）其中，（I）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，w =9;中與二收？十C,哪一個(gè)適宜作為蔬菜農(nóng)藥殘量與用水量工的回歸方程類(lèi)型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；（n）若用解析式?二小？4。作為蔬菜農(nóng)藥殘量 卜與用水量*的回歸方程，求出:與其的回歸方程.（c, d精確到（出）對(duì)于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥，當(dāng)它的殘留量低于 20微克時(shí)對(duì)人體無(wú)害，為了放心食用該蔬菜，請(qǐng)估計(jì)需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜（精確到，參考數(shù)據(jù)（5=2,236）附：參考公式：回歸方程 仗二54氤中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：X氐由b = * 1 ， a = y - bx£ （xrai【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） ；-2,Ox： + 6O,0|; （3）需要用4. 5千克的清水清洗一千克蔬菜.與用水量卜的回歸方程類(lèi)型;（I）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷二dj? + e適宜作