五種常用小波基含MATLAB實(shí)現(xiàn)

1、1給出五種常用小波基的時(shí)域和頻域波形圖與標(biāo)準(zhǔn)的傅里葉變換相比，小波分析中使用到的小波函數(shù)具有不唯一性，即小波函數(shù)中(t)具有多樣性。小波分析在工程應(yīng)用中，一個(gè)十分重要的問(wèn)題就是最優(yōu)小波基的選擇問(wèn)題，因?yàn)橛貌煌男〔ɑ治鐾粋€(gè)問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果。目前我們主要是通過(guò)用小波分析方法處理信號(hào)的結(jié)果與理論結(jié)果的誤差來(lái)判定小波基的好壞，由此決定小波基。常用小波基有 Haar 小波、Daubechies(dbN)小波、MexicanHat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等 5 種。(1)Haar 小波Haar 函數(shù)是小波分析中最早用到的一個(gè)具有緊支撐的正交小波函數(shù)，也是最簡(jiǎn)答的一個(gè)

2、小波函數(shù)，它是支撐域在t三0,1范圍內(nèi)的單個(gè)矩形波。Haar10t2函數(shù)的定義如下：甲(t)=-12t_110其他Haar 小波在時(shí)域上是不連續(xù)的，所以作為基本小波性能不是特別好。但它也有自己的優(yōu)點(diǎn)，如：計(jì)算簡(jiǎn)單；空(t)不但與空(2jt)j亡z正交，而且與自己的整數(shù)位移正交。因此，在a=2j的多分辨率系統(tǒng)中 Haar 小波構(gòu)成一組最簡(jiǎn)單的正交歸一的小波族。中的傅里葉變換是：W(Q)=j-sin2(-)e-jQ211ahaar 時(shí)域1.5.c10.5-0-0.5-1-1.5cc:00.511.5ti=20;wav=haar;phi,g1,xval=wavefun(wav,i);subplot(

3、1,2,1);plot(xval,g1,-r,LineWidth,1.5);xlabel(t)title(haar 時(shí)域)；g2=fft(g1);g3=abs(g2);subplot(1,2,2);plot(g3);xlabel(f)title(haar 頻域)haar 頻域x101015f5x10(2)Daubechies(dbN)、波Daubechies 小波是世界著名的小波分析學(xué)者 InridDaubechies 構(gòu)造的小波函數(shù)，簡(jiǎn)寫(xiě)為 dbN,N 是小波的階數(shù)。小波中(t)和尺度函數(shù)4(t)中的支撐區(qū)為 2N-1,中(t)的消失矩為 N。除N=1外，dbN 不具有對(duì)稱性(即非線性相位)

4、。dbN 沒(méi)有明確的表達(dá)式(除N=1外)，但轉(zhuǎn)換函數(shù) h 的平方模是明確的。Daubechies 小波系是由法國(guó)學(xué)者 Daubechies 提出的一系列二進(jìn)制小波的總稱，在 Matlab 中記為 dbN,N 為小波的序號(hào)，N 值取 2,3,，10。該小波沒(méi)有明確的解析表達(dá)式，小波函數(shù)小與尺度函數(shù)的有效支撐長(zhǎng)度為 2N-1.當(dāng) N 取 1 時(shí)便成為 Haar小波。N1,N-1kkN-1k.一.一一.令p(y)=Cky,其中Ck為二項(xiàng)式的系數(shù)，則有kz012N式中，mod)=r=hhke，2k4Daubechies 小波具有以下特點(diǎn)：(1)在時(shí)域是有限支撐的，即中(t)長(zhǎng)度有限。(2)在頻域中(s

5、)在=0 處有 N 階零點(diǎn)。(3)手(t)和它的整數(shù)位移正交歸一，即*(t)V(t-k)dt=6k。(4)小波函數(shù)空(t)可以由所謂“尺度函數(shù)”(t)求出來(lái)。尺度函數(shù)(t)為低通函數(shù)，長(zhǎng)度有限，支撐域在 t=0(2N-1)范圍內(nèi)。2m。()22(cos-)p(sin2)db4頻域10001900-800700-600-500-400300-200-1000111f02000400060008000fi=10;wname=db4;phi,g1,xval=wavefun(wname,i);subplot(1,2,1);plot(xval,g1,-r,LineWidth,1.5);xlabel(t)

6、title(db4 時(shí)域)；g2=fft(g1);g3=abs(g2);subplot(1,2,2);plot(g3,-r,LineWidth,1.5);xlabel(f)title(db4 頻域)wname=db4;%計(jì)算該小波的4個(gè)濾波器Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R=wfilters(wname);subplot(2,2,1);stem(Lo_D);title(分解低通濾波器);subplot(2,2,2);stem(Hi_D);title(分解高通濾波器,);subplot(2,2,3);stem(Lo_R);title(重構(gòu)低通濾波器);subplot(2,2,4);stem

7、(Hi_R);title(重構(gòu)高通濾波器,);注思Daubechies 小波常用來(lái)分解和重構(gòu)信號(hào)，作為濾波器使用。波形如下:(3)MexicanHat(mexh)小波22-i-MexicanHat 函數(shù)為 Gauss 函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：,(t)=(1-t)e2因?yàn)樗男螤钕衲鞲缑钡慕孛?，所以也稱為墨西哥帽函數(shù)MexicanHat(mexh)小波的時(shí)域和頻域波形圖mexihat頻域15r110-.II;I!IoLc050fd=-6;h=6;n=100;g1,x=mexihat(d,h,n);subplot(2,2,1);plot(x,g1,-r,LineWidth,1.5);xlabel(t)t

8、itle(Mexihat 時(shí)域)；g2=fft(g1);g3=(abs(g2);subplot(2,2,2);plot(g3);xlabel(f)title(mexihat 頻域)；特點(diǎn)：墨西哥帽函數(shù)在時(shí)間域與頻率域都有很好的局部化，并且滿足(t)dt=0。由于它不存在尺度函數(shù)，所以小波函數(shù)不具有正交性。100t它是高斯包絡(luò)下的單頻率副正弦函數(shù)：2-t,(t)=Ce，co$5x)C 是重構(gòu)時(shí)的歸一化常數(shù)。Morlet 小波沒(méi)有尺度函數(shù)4(t),而且是非正交分解Morlet 小波的時(shí)域波形圖和頻域波形圖Morlet時(shí)域td=-6;h=6;n=100;g1,x=morlet(d,h,n);subp

9、lot(2,2,1);plot(x,g1,-r,LineWidth,1.5);xlabel(t)title(Morlet 時(shí)域)；g2=fft(g1);g3=abs(g2);subplot(2,2,2);plot(g3);xlabel(f)title(Morlet 頻域)151050050100fMorlet頻域iHI1(5)Meyer 小波Meyer 小波的小波函數(shù)和尺度函數(shù)都是在頻率域中進(jìn)行定義的,其定義為:其中，v(a)為構(gòu)造 Meyer 小波的輔助函數(shù)，具有v(a)=a4(35-84a70a2-20a3)aQ11-(2二廠-2二()=(2二)cos(v(0Meyer 小波不是緊支撐的，

10、但它收斂的速度很快:2-nn(1+|t)中(t)無(wú)限可微。Iz1-3I(2n)2e-sin(-v(-1)22njwJI-1jw二3()=(2)2e-cos(-v(22二-1)2二034二034-38二3Meyer 小波的時(shí)域和頻域波形圖15meyer頻域020406080100120140f1050d=-6;h=6;n=128;psi,x=meyer(d,h,n,psi);subplot(2,1,1),plot(x,psi,-r,LineWidth,1.5)xlabel(t)title(Meyer 時(shí)域)；PSI=fft(psi);PSII=abs(PSI);subplot(2,1,2),pl

11、ot(PSII);xlabel(f)title(meyer 頻域)2、在信號(hào)x(t)=sin(2兀*30t)+cos(2兀*50t)加上噪首后分別進(jìn)行FFT和CW變換。解：引入隨機(jī)噪聲 randn(1,N)N=100;fs=1000;n=0:N-1;t=n/fs;x=sin(60*pi*t)+cos(100*pi*t);subplot(3,2,1);plot(x,-r,LineWidth,1.5);xlabel(t)ylabel(x(t)title(原信號(hào) x(t)波形圖)F1=fft(x);m1=abs(F1);subplot(3,2,2);plot(m1);xlabel(f)0-2050原信號(hào)x(t)波形圖50tx(t)加噪聲后fft變換圖100 x(t)的fft變換圖III|.J,EJ：50100fmorlet50f尺度為110020406080100time(orspace)b尺度為264216421aQXFacsaQXFacs-100500-2cE100050100%原信號(hào)t 田 e(x的 fft 變換圖)x1=randn(1,N);%加入噪聲x2=x+x1;F2=fft(x2);m2=abs(F2);subplot(3,2,3);plot(m2);xlabel(f)title(