初高中銜接材之因式分解

1、【解】方法一：直式算法方法二：分離系數(shù)法:、因式分解2-1因式與倍式如同因子與倍數(shù)的概念，如果代數(shù)式A可以寫成代數(shù)式B與代數(shù)式C 的乘積，即A B Co此時(shí)，我們說(shuō)B與C是A的因式，而A是B與C的倍式。例如：由 x2 3x 2 (x 1)(x 2),可知x 1與x 2皆為x2 3x 2的因式，而 x2 3x 2為x 1與x 2的倍式；由 x2 y2 (x y)(x y),可知x y與 x y皆為x2 y2的因式，而x2 y2為x y與x y的倍式。下面就讓我們 先從多項(xiàng)式的除法來(lái)認(rèn)識(shí)因式與倍式。【多項(xiàng)式的除法】在小學(xué)時(shí)，我們會(huì)以下列的長(zhǎng)除法(直式算法)來(lái)求出 58除以13的商數(shù)為4,余數(shù)6:4

2、13）飛8526同時(shí)，我們也知道:58 134 6類似于自然數(shù)的除法，多項(xiàng)式的除法運(yùn)算也有直式算法(長(zhǎng)除法) ；為 了簡(jiǎn)化計(jì)算，也常使用分離系數(shù)法。事實(shí)上，這兩種方法的差別在于計(jì)算過(guò) 程中，有沒(méi)有將文字符號(hào)寫出來(lái)而已?！痉独?】求(x2 4x 2) (x 1)的商式及余式x 3x 1 ) x24X2-2x (x 1) > x x3x 23 (x 1) - f 3x 31答：商式為x 3,余式為 11 31 1 )14 21 13 23 31在自然數(shù)的除法，我們有下列的規(guī)則：被除數(shù) 除數(shù) 商數(shù)余數(shù)，其中，商數(shù)和余數(shù)為非負(fù)整數(shù)，且余數(shù)小于除數(shù)。同樣的，在多項(xiàng)式的除 法中，我們也有類似的規(guī)則：

3、被除式 除式 商式余式，其中，除式不為零多項(xiàng)式，商式的次數(shù)等于被除式的次數(shù)減去除式的次數(shù), 且余式的次數(shù)要小于除式的次數(shù)或?yàn)榱愣囗?xiàng)式。在完成多項(xiàng)式的除法后，為了驗(yàn)證所得結(jié)果是否正確，除了重新檢視 運(yùn)算過(guò)程外，也常用上述被除式=除式 商式 余式的概念來(lái)驗(yàn)算 例如： (x 1)(x 3) ( 1)(除式商式余式)2x 4x 3 1x2 4x 2(被除式)【范例2】求(2x3 5x2 x 5) (x 2)的商式及余式。【解】2 1 11 2 )25152 41 11 21 51 2 答：商式為2x2 x 1,余式為7。7使用分離系數(shù)法時(shí)，當(dāng)除式或被除式缺項(xiàng)時(shí)，需要補(bǔ)00【范例3】【解】求(3x2 2

4、) (2x 1)的商式及余式。因?yàn)?x2 2 3x2 0 x 2,所以用3 0 2來(lái)表示3x2 2。023232233答：商式為11余式為好2 4214【范例4】【解】3求(6x3 7x2 4x 8) (3x2x 2)的商式及余式。2 31 2 ) 6 7 4 86 2 49 0 89 3 63 2答：商式為2x 3,余式為3x 2?！痉独?】【解】求(3x3 8x2 7x 2) (x2 2x 1)的商式及余式。3 21 2 1) 3 8 7 23 6 32 4 22 4 20答：商式為3x 2,余式為0o【類題練習(xí)1】求下列各除法運(yùn)算的商式及余式:(2x2(x4x 5) (x 3)(2) (

5、 6x2 5x 1) (2x 1)1) (x 1)(4) (2x2 5x) (x 5)當(dāng)余式為零多項(xiàng)式時(shí)，我們稱 除式整除被除式，例如：在范例5中， x2 2x 1 整除 3x3 8x2 7x 2。這時(shí)，x2 2x 1 與 3x 2 為 3x3 8x2 7x 2 的因式，而3x3 8x2 7x 2為x2 2x 1與3x 2的倍式；而在范例4中， 所得到的余式3x 2不為零多項(xiàng)式，所以3x2 x 2與2x 3都不是6x3 7x2 4x 8 的因式。我們知道兩個(gè)x的一次式乘積展開(kāi)后成為x的二次多項(xiàng)式。反過(guò)來(lái)說(shuō)， 如果能將一個(gè)x的二次式寫成兩個(gè)x的一次式的乘積，我們稱這樣的過(guò)程 為這個(gè)二次式的因式分

6、解。在高中的課程中，我們也會(huì)將一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)一次或二次的多項(xiàng) 式的連乘積，這樣的過(guò)程也稱為這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解。例如：因式分解 A 2_x x 2 (x 1)(x 2)乘積展開(kāi)因式分解3 - 2x 6x 11x 6 = (x 1)(x 2)(x 3)三乘積展開(kāi)在國(guó)中階段做因式分解時(shí)，我們只考慮因式的系數(shù)為有理數(shù)(整數(shù)或 分?jǐn)?shù))的情形。但從此以后，我們將不再要求因式的系數(shù)一定是有理數(shù)。 在2-2至2-4節(jié)中，我們將介紹幾個(gè)常用的方法：提公因式、分組分解、十字交乘和利用乘法公式，并且在2-5節(jié)中補(bǔ)充利用配方法做因式分解?！局攸c(diǎn)整理】1.判別兩多項(xiàng)式是否為因倍式關(guān)系時(shí)，可使用除法所得余式是否為0

7、來(lái)判斷?！炯彝プ鳂I(yè)】基礎(chǔ)題1. 求下列各除法運(yùn)算的商式及余式：0(9x2 18x8) (3x4)(7x211x 3) (2x 3)(x31) (x 1)®(x32x 1)(x5)©(x42x3x 4) (x2 3x2)©(x41) (x21)2. 已知3x3 6x13 3(axb)(x22x 2) 1 ，求 a、b 的值。3. 已知某多項(xiàng)式除以 (2x 1) ， 可得商式(x2 2x 1) ， 余式 3， 求此多項(xiàng)式。4. 已知4x3 13x k可被(2x 1)整除，求k的值。5. 已知一長(zhǎng)方體的體積為x3 4x2 x 6、長(zhǎng)為 x 3且寬為 x 2 ，求此長(zhǎng)方體

8、的高。進(jìn)階題6. 若多項(xiàng)式A除以2x 1得商式B,余式為3;多項(xiàng)式B除以x 2得余 式為2 ，求多項(xiàng)式A 除以 (2x 1)(x 2)所得的余式。7. 求以x 1除(x2 1)10 x2 x 1所得的余式。2-2 提公因式作因式分解【從各項(xiàng)提公因式】如果發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都有共同的因式時(shí)，我們可先將此公因式提出。1 】 因式分解下列多項(xiàng)式：(1) x 】 因式分解下列多項(xiàng)式：(1) x3 x2 x 1 5x(2) (a b)2 2(a b)23(3) (x 2y)2 (2y x)(3) 2ax2 3x 2ax 3 x3 x2 x 1x2(x 1) (x 1)2(x 1)(x2 1)(1) x2

9、 5x x x 5 x x(x 5)(2) (a b)2 2(a b) (a b)( a b) 2( a b)(a b)(a b) 2(a b)(a b 2)(3) (x 2y)2 (2y x)3(x 2y)2 (x 2y)3(x 2y)21 (x 2y)2(x 2y)2(1 x 2y)1】 因式分解下列多項(xiàng)式：(1) 4x2 6x(2) 7(a b)2 3(a b)23(3) (x y)2 (y x)3【分組提公因式】當(dāng)各項(xiàng)沒(méi)有公因式時(shí)，可嘗試分組或去括號(hào)重新分組，使得每組之間有 公因式。(2) 2xy 5x 4y 10(4) xy(1 z2 ) z(x2 y2)(2) 方法一：2xy 5x

10、 4y 10方法二：2xy 5x 4y 10(3) 方法一：22ax 3x 2ax 3方法二：22ax 3x 2ax 3(2xy 5x) (4y 10) x(2y 5) 2(2y 5) (2y 5)(x 2)(2xy 4y) (5x 10) 2y(x 2) 5(x 2) (x 2)(2y 5)2(2ax2 3x) (2ax 3) x(2ax 3) (2ax 3) (2ax 3)(x 1)2(2ax2 2ax) (3x 3) 2ax(x 1) 3(x 1) (x 1)(2ax 3)（交換律）(4) 可嘗試去括號(hào)展開(kāi)后，再重新分組。222222xy(1 z ) z(x y ) xy xyz zx

11、zy222(xyzx )(xyzzy )x(yzx)yz(xzy)x(yxz)yz(yxz)(yxz)(xyz)2】 因式分解下列多項(xiàng)式：32b2)(1) x 5ax2 2x 5ax 2(4) ab(1 c2 ) c(a2 x2 x 1(2) 2xy 3x 4y 6從前面的例子我們可以看出，某些多項(xiàng)式可能有不只一種分組的方式來(lái)做因式分解。1 .若代數(shù)式各項(xiàng)有公因式時(shí)，先將此公因式提出來(lái)做因式分解。2 .若代數(shù)式各項(xiàng)沒(méi)有公因式時(shí)，可嘗試分組或去括號(hào)重新分組，再提公 因式來(lái)做因式分解。【家庭作業(yè)】基礎(chǔ)題1 .因式分解下列多項(xiàng)式： 2x ax x(x 2) 2x 3(a 3) (a2 3a) 3a2

12、b 6ab24 (a 2)(b 3) 4(2 a)(3 b)6 2ab a 6b 3進(jìn)階題2.因式分解下列多項(xiàng)式：(x 2)2 2x 4 (ax bx)2 (b a)3x322 (x 2)(2 x)(x 4x 1)0 x3 2x2 2x 12-3十字交乘法作因式分解在多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算中，我們學(xué)過(guò)2(ax b)(cx d) acx (ad bc)x bd , 其中各項(xiàng)的系數(shù)可以用十字交乘的方式來(lái)求得常數(shù)項(xiàng)x2項(xiàng)系數(shù)abacbdad bccdx項(xiàng)系數(shù)因此，我們可以嘗試?yán)蒙厦娴姆椒▉?lái)因式分解二次多項(xiàng)式【范例1】因式分解下列多項(xiàng)式：、2 _22，一(1) x2 x 90(2) 6x y xy 153

13、xy52xy310x【解】(1) x2 x 90 (x 9)(x 10)2 2(2) 6x y xy 15 (3xy 5)(2xy 3)【類題練習(xí)1】因式分解下列多項(xiàng)式：(1) 5x2 2x 51(2) 380 x x2【范例2】因式分解下列多項(xiàng)式：241210(1) x x (2) x -x 1333【解】(1)方法方法二:412 1、 1-x - x (1 )x (1 )33331 (x 1)(x -)34112x (3x 4x 1)333x 1x1/311(3x 1)(x 1)33x1x1(2) x2 10x 11 (3x2 10x 3)3x1x3331-(3x 1)(x 3)31 一

14、141.在氾例2弟(1)題中，(x 1)(x -)和(3x 1)(x 1)都是x- x 的333311因式分解。事實(shí)上，在范例 2第(2)題中，1(3x 1)(x 3)、(x 1)(x 3)和 33(3x 1)(3x 1)都是x2 1°x 1的因式分解。換句話說(shuō)，若多項(xiàng)式的系數(shù)有19 .分?jǐn)?shù)時(shí)，可將原多項(xiàng)式改與成一(ax bx c)的形式，其中a、b、c、d為d整數(shù)，再對(duì)ax2 bx c做因式分解?！绢愵}練習(xí)2】因式分解下列多項(xiàng)式：小 2 5S、6 2 13,(1) 2x -x 3(2) x -x 12551.我們可嘗試引用十字交乘a bjFacbd、/ z /c dad bc來(lái)做因

15、式分解?！炯彝プ鳂I(yè)】基礎(chǔ)題1 .因式分解下列多項(xiàng)式：x214x 335x25x 10C 32x2-x 109x35x 42 7a2 14ab 105b2 2(x y)2 3(y x) 52 一 -2 x (p q)x pq ax(a b)x b進(jìn)階題2.因式分解下列多項(xiàng)式：4x413x212(ab)(ab 4) 12_21(x4y)(x4y) 6xyx(a)x 1a(x2x 1)23(x2 x)7(x23x5)(x2 3x1) 32-4利用乘法公式做因式分解對(duì)于某些多項(xiàng)式，我們可直接利用乘法公式來(lái)作因式分解?！就耆椒焦健?ab)2a22abb2222(ab)2a22abb2(a b c)2

16、 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca【范例1】利用完全平方公式，因式分解下列各式：(1) a2 6a 9(2) 4x2 12xy 9y2(3) (x 2y)2 6(x 2y)(y x) 9(x y)2 222(4) a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca【解】(1) a2 6a 9 a2 2 a 3 32 (a 3)2(5) 4x2 12xy 9y2 (2x)2 2 (2x) (3y) (3y)2 (2x 3y)2(6) (x 2y)2 6(x 2y)(y x) 9(x y)2 _2_2(x 2y)2 (x 2y) 3(x y) 3(x y)(x 2y) 3(x y)2(2x 5y)2

17、(或?qū)懗?2x 5y)2)(7) a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca (a2 2ab b2) (2bc 2ca) c2 (a b)2 2c(b a) c2 22(a b)2 2c(a b) c2 (a b c)2【類題練習(xí)1】利用完全平方公式，因式分解下列各式:(1) a2 10a 25(2) 16x2 40xy 25y2(x y)2 10(x y)(y x) 25(x y)2222(4) a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac【平方差公式】a2 b2 (a b)(a b)【范例2】利用平方差公式，因式分解下列各式：(1) x2 (x 2y)2(2) 9 (a 2)2(3) x2 y2

18、 2yz z2【解】(1) x2 (x 2y)2 x (x 2y)x (x 2y)(x x 2y)(x x 2y)(2x 2y)( 2y)2(x y)( 2y) 4y(x y)(2) 9 (a 2)232(a 2)23(a 2)3(a 2)(3a 2)(3 a 2)(a5)(1 a)(3) x2 y2 2yz z2 x2 (y2 2yz z2)x2 (y z)2x (yz)x(yz)(x yz)(xyz)【類題練習(xí)2】利用平方公式，因式分解下列各式：422(1) a42a33223 1(2)(2x1)24(2x 1) 4(3) a2b2 2b1(4)x4y4【完全立方公式】a(3) 27 27

19、x 9x x (4) 27x 54x y 36xy 8y3a2b3ab2b3(ab)3a33a2b3ab2b3(ab)3【范例3】利用完全立方公式，因式分解下列各式：(1) x3 3x2 3x 1(2) 8x3 12x2 y 6xy2 y3(3) 27 27 x 9x2 x3【解】(1) x3 3x2 3x 1 x3 3 x2 1 3 x 12 13(x 1)3(2) 8x312x2y 6xy2y3(2x)3 3 (2x)2 y 3(2x) y2y3(2x y)3(3) 2727x 9x2 x3333 32x 3 3 x2 x3(3 x)3【類題練習(xí)3】完全立方公式，因式分解下列各式： 323

20、223(1) x 3x 3x 1(2) 8x 12x y 6xyy【立方差與立方和】(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)a3b3【范例4】利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式：(1) x3 1(2) a3 8b3(3) x6 y6【解】(1) x3 1 x3 13(x 1)(x2 x 1 12)(x 1)(x2 x 1)(2) a3 8b3 a3 (2b)3a (2b)a2 a (2b) (2b)2(a 2b)(a2 2ab 4b2)663x 23x2(3) x y (x ) (y )3333 (x y )(x y )2222、(x y)(x xy y )(x y)(x

21、 xy y )【類題練習(xí)4】利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式：(1)x3(2)8a3125b327(3)x3x22(4)a664b6在范例4的第(3)題中，也可以將x6 y6寫成(x2)3 (y2)3,因此得到:66/ 2X3/2、3x y (x) (y)22222 2221(x y )(x ) x y (y )224224、(x y )(x x y y )事實(shí)上，x4 x2y2 y4可以再分解，我們將在下一個(gè)單元里，介紹它的 分解方法?！就耆椒焦健俊酒椒讲罟健俊就耆⒎焦健俊玖⒎胶?、差公式】 來(lái)做因式分解。1 .我們可嘗試?yán)孟铝械某朔ü?2 22a2ab b (a b);

22、2 2ab(a b)(a b);a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)3;3 322a b (a b)(a mab b ),【家庭作業(yè)】基礎(chǔ)題1 .因式分解下列各式：x214x 493x212x12x24x(b a)4(a b)202x218一 1(3 a)C6 a 8ab 16b4 2x3 16y38 125x3進(jìn)階題2 .因式分解下列各式：x2y2 6yz9z20(1 ab)2 (ab)2(a21)(b2 1)4ab01a2 -a 4439x3x2 36C6x4 x3 4x23x33 .已知a b 3, ab 2,求下列各式的值：O a2 b2 4a2 ab 4b2 a3 b32-5利

23、用配方法作因式分解利用完全平方公式或完全立方公式，再配合平方差公式或前面介紹的方法，可以處理一些特殊多項(xiàng)式的因式分解，這里需要一些拆項(xiàng)（分項(xiàng)）或補(bǔ)項(xiàng)（加減項(xiàng)）的技巧，要多練習(xí)?！就耆椒焦健俊酒椒讲罟健縜2 2ab b2(a b)2a2 b2(a b)(a b)【完全立方公式】a3【立方和、差公式】a33a2b 3ab2 b3 (a b)3 b3 (a b)(a2 mab b2)【范例1】因式分解下列多項(xiàng)式:，、2(1) x4x 542(3) aa1【解】(1) x2 4x 5(2) 3a2 4a 1 a4 a2 1一、一 42(4) 9x 5x 1(2) 3a2 4a 1一、一 42(4

24、) 9x 5x 12 _ _2 _2x 2 x 2 225-2(x 2)9_ 22(x 2)3(x 5)(x 1)(3a2 a2) a2 4a 1224a4a1a(2a 1)2 a2(3a1)(a1)4222a (a a ) a 142/2a 2a 1 a222(a 1) a(a21a)(a21a)(a2a1)(a2a1)42229x (5x x ) x 14229x6x1 x222(3x 1)x也是一個(gè)常見(jiàn)的乘法公式。(3x2 1 x)(3x2 1 x)(3x2 x 1)(3x2 x 1)事實(shí)上，在范例 1 的第(3)題中，所見(jiàn)到的2242(a a 1)(a a 1) a a 11】 因式分解下列各式：(2) 5a2 12a 4(4) 9x4 11x2 4(1) x2 2x 34224(3) a4 a2b2 b42 】 因式分解下列多項(xiàng)式：(1) x3 y3(2) x4 4(1) 雖然可以直接引用立方差公式來(lái)因式分解，我們也可以用補(bǔ)項(xiàng)的概念來(lái)因式分解x3y3 。33322322x y x 3x y 3xy y 3x y 3xy3(x y) 3xy(x y)2(x y)( x y) 3xy22(x y)(x2xy y3xy)22(x y)(xxy y )(2) 很顯然，