高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項公式的求法集錦論文

1、數(shù)列通項公式的求法集錦非等比、等差數(shù)列的通項公式的求法，題型繁雜，方法瑣碎，筆者結(jié)合近幾年的高考情況，對數(shù)列求通項公式的方法給以歸納總結(jié)。一、累加法形如 an an 1 f (n) (n=2、3、4 ) 且 f(1) f(2) . f(n 1)可求，則用累加法求an。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例1.在數(shù)列2目中，a1 =1, an an 1 n 1 (n=2、3、4 ),求an的通項公式。解：: n 1時，a11n 2 時，a2 a1 1a3a22這n-1個等式累加得：an a1"=0an an 1 nn(n 1) n n 2n n 2 K1故 an a

2、1且 a11 也滿足該式an ( n N ).222例 2.在數(shù)列 an中，a1=1, % 1 an2n ( n N ),求 an。n 2 時，a2 al2n=1 時，a1=12,以上n-1個等式累加得anan 12ana1222. 2n 1 = 2(1 2 ) =2n2,故烝2n2a12n 1 且a11 也滿1 2足該式an2n 1 ( n N )。二、累乘法形如-a-f(n) (n=2、3、4)，且f(1) f(2) . f (n 1)可求，則用累乘法求an。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例3.在數(shù)列an中，a1=1, an 1nan，求 an。a “3(n-1)

3、,代入該式得n-1個等式累乘,解：由已知得n ,分別取n=1、2、 an即 生.a3.包旦 =1 x 2 x 3 xx(n-i)=(n-i)! 所以時，包 (n 1)!故 al a2 a3an 1alan (n 1)!且 a10!=1 也適用該式an(n 1)! ( n N ).2n ,、例4.已知數(shù)列 an 滿足a1=- ,an1an ,求an。3n 1解：由已知得亙,分別令n=1, 2, 3,.(n-1),代入 ann 1上式得n-1個等式累乘，即曳.鬼.且-a-= 1 2 3 n- a1 a2 a3an 12 3 4 na. 122所以一一,又因為4 也滿足該式，所以 an 。a1 n3

4、3n三、構(gòu)造等比數(shù)列法原數(shù)列 an 既不等差，也不等比。若把 an中每一項添上一個數(shù)或一個式子構(gòu)成新數(shù)列，使之等比，從而求出an。該法適用于遞推式形如an1 =banc或an 1 = banf n或an 1= ban cn其中b、c為不相等的常數(shù)，f n為一次式。例5、(06福建理22)已知數(shù)列 an滿足a1=1, an 1=2an 1 ( n N )，求數(shù)歹Uan 的通項公式。解：構(gòu)造新數(shù)列 an p ,其中p為常數(shù)，使之成為公比是 an的系數(shù)2的等比數(shù)列即 an1 p =2(an p)整理得：an 1 = 2% P 使之滿足 an 1 = 2an 1p=1即an1是首項為a11=2,q=2

5、的等比數(shù)列an 1=22n1an=2n13 a-例6、(07全國 理21)設(shè)數(shù)列 an的首項a1 (0,1) , an=廣1 , n=2、3、4()求4的通項公式。1斛：構(gòu)以新數(shù)列an p ,使之成為q -的等比數(shù)列13 、2 an 1 2 p滿足 an =3 an 11記 一的21 n 1.5)+1rr1即 an p= 2 (an 1 p)整理得：an =331首項為a1 1, q得 3 P = 3. P=-1 即新數(shù)列an1故 an =(a1 1)(an 1=(. 2 1)(an2) n N等比數(shù)列an 1=(a1 1)( )n 1例7、(07全國 理22)已知數(shù)列an中，a1=2()求2

6、目的通項公式。解：構(gòu)造新數(shù)列 an p ,使之成為q J2 1的等比數(shù)列an 1 p =(72 1) (an p)整理得：an 1 = (72 1) an+(T2 2) p使之滿足已知條件an 1 = (721)an+2(J21)(V22)p2( J21)解得p 板. .an J2是首項為2 J2 q J2 1的等比數(shù)列，由此得an 夜=(2 22) (72 1)n 1. . an = 72(72 1)n V2例8、已知數(shù)列an中，a1=1, an1=2an 3n ,求數(shù)列的通項公式。分析：該數(shù)列不同于以上幾個數(shù)列，該數(shù)列中含3n是變量，而不是常量了。故應(yīng)構(gòu)造新數(shù)列an3n,其中 為常數(shù)，使之

7、為公比是 an的系數(shù)2的等比數(shù)列。解：構(gòu)造數(shù)列an3n, 為不為0的常數(shù)，使之成為 q=2的等比數(shù)列即 an1 3n1=2(an3n) 整理得：an 1 = 2an(23n 3n 1)滿足an 1 =2an 3n得2 3n 3n 13n1新數(shù)列an3n是首項為a1 31= 2, q=2 的等比數(shù)列an 3n= 2 2n 1，an=3n 2n例9、(07天津文20)在數(shù)列 an中，a1=2,an 1 = 4an3n 1，求數(shù)列的通項an。解：構(gòu)造新數(shù)列ann,使之成為q=4的等比數(shù)列，則an 1 (n 1) = 4(ann)整理得：an 1 = 4an 3 n 滿足 an 1 = 4an 3n

8、1 ,即 3 n 3n 1 得1，新數(shù)列an n的首項為a 1 1, q=4的等比數(shù)列n 1n 1an n 4an 4 n四、構(gòu)造等差數(shù)列法數(shù)列an既不等差，也不等比，遞推關(guān)系式形如an 1 ban bn 1 f(n),那么把兩邊同除以bn1后，想法構(gòu)造一個等差數(shù)列，從而間接求出 an。例10. (07石家莊一模)數(shù)列an滿足an2an i 2n 1 (n 2)且24 81。求(1) a1、a2、a3 (2)是否存在一個實數(shù)，使此數(shù)列 an2n 為等差數(shù)列?若存在求出的值及an ；若不存在，說明理由。解：(1)由 a4 = 2a3 24 1 =81 得23=33；又a3 = 2a2 23 1

9、=33 得22=13；2.又, a2 = 2a 21=13 ) . . a1二5(2)假設(shè)存在一個實數(shù)，使此數(shù)列芻1一為等差數(shù)列即亙 包=an 2an1 = = 1 1= 該數(shù)為常數(shù)22222 = 1即an為首項曳- 2, d=1的等差數(shù)列2n21an-=2+(n 1) 1=n+1 an = (n 1) 2n 1n 1_例11、數(shù)列an滿足an 1= 2an ( 2)( n N ),首項為a12,求數(shù)列an的通項公式。解：an 1= 2an ( 2)n 1 兩邊同除以(2)n 1得一an =，+1 (2)n 1 ( 2)n，數(shù)列5是首項為 7=1, d=1的等差數(shù)列，一%二=1 + (n 1)

10、 1 n(2)n( 2)1( 2)n故an = n( 2)n例 12.數(shù)列an中，a1=5,且an3an 13n1(n=2、3、4),試求數(shù)列an的通項公式。解：構(gòu)造一個新數(shù)列a、3n '為常數(shù)，使之成為等差數(shù)列,即亙一 3nan 1.2n 1 d3整理得an3an 1 3nd +3 ,讓該式滿足an3an 1 3n 1，取 d 3n 3n ,11aa1 o 321得d=1，即a是首項為一 一，公差d=1的等差數(shù)列。23n3121an 23故2 - (n 1) 1 n3n21 n,an=(n 2) 3例13、(07天津理21)在數(shù)列an中,a1 =2，且 an 1 an(2)2n其中

11、>0,()求數(shù)列 an的通項公式。解：n 1的底數(shù)與an的系數(shù)相同，則兩邊除以n 1 zb an 1 付rTann2n 1-n-2nnan12n1 % 2nn 1nan1 2nn是首項為ai0,公差d=l的等差數(shù)列。1) n an(n 1) n2nJ O五、取倒數(shù)法有些關(guān)于通項的遞推關(guān)系式變形后含有anan1項，直接求相鄰兩項的關(guān)系很困難，但兩邊同除以anan 1后，相鄰兩項的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出an °例14、已知數(shù)列禺, a1=1,前1ann1 anN ，求 an =?解：把原式變形得an 1 an 1 an an兩邊同除以anan/曰11待一anan工是首項為

12、 1, d= 1的等差數(shù)列故 1an(n1)( 1)一 an例15、(06江西理22)已知數(shù)列2目滿足為2,且an3nan2an 11n 1()求數(shù)列 an的通項公式。解：把原式變形成2anan 1 (n 1)an 3nan1兩邊同除以anan 1得即anan 1構(gòu)造新數(shù)列,使其成為公比an1q=-的等比數(shù)列3即an3(an 1)整理得： an-2 滿足式使 3an 1 3314，. n -1，數(shù)列2 1是首項為-1aian£13(1)n1(3)nann 3n例16. (06江西文22)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列n N求數(shù)列 an的通項公式。解：把原式變形為2an 1 an anan 1

13、(2an一,i，r 21兩邊同除以anan 1得-2an an 1an an 1.111所以新數(shù)列前是首項為一為 一 ana13故工an一 2n 2解關(guān)于an的方程得an3六.利用公式an Sn Sn1(n 2)求通項an滿足：a1 3,且空-an anan 12an an 1an 1 )11、移項得：an 1 2(an)an 1an83- q=2的等比數(shù)列。1 n 1_2n 2.an -(2。29)。3利用該式寫出有些數(shù)列給出 an的前n項和Sn與an的關(guān)系式Sn = f (an),Sn 1f (an 1),兩式做差，再利用an1Sn1Sn導(dǎo)出an1與an的遞推式，從而求出an。例17.(0

14、7重慶21題)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn滿足S1>1且6 Sn=(an 1)(an 2) n C N 求an的通項公式。1解：由C1S1= -(a11)(3,2)解得a1=1 或 a1=2,由已知 a1S1>1,因此a1=2 又由6_11 ,an 1Sn1Sn=T(an11)(an1 2) T(an1)(an2)信66(an 1 an )(an 1an 3)=0an >0 an 1 an從而an是首項為2,公差為3的等差數(shù)列，故an的通項為an=2+3(n-1)=3n-1.1例18.(07陜西理22)已知各項全不為 0的數(shù)列 ak的前k項和為Sk ,且Sk =

15、 3 akak 1 (k CN )其中a1 =1,求數(shù)列 ak的通項公式。 一1斛：當(dāng) k=l 時，a1 S1 = a1a2及 a1 =1 得 a2=2；當(dāng) k>2 時，2,11/日.由 ak = SkSk 1 = - akak 11ak 1ak 倚 ak(ak1 ak1 )=2 ak - ak*0 ak1 ak 1 =222故 ak =k (k e N ).從而 a2m 1 =1+(m-1)2=2m-1a2m =2+(m-1)2=2m (m £ N )例19.(07福建文21)數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=1,an12Sn( nCN，求an的通項公式。1 一 an 1斛：由

16、a1=1,a22S1 =2,當(dāng)n>2 時 an = SnSn1 = (an1 an)得=3，因此an是2 an首項為a2=2, q=3的等比數(shù)列。故an = 2 3n 2 (n >2),而a1 =1不滿足該式(n=1)3n 2(no2)1所以an =2412例20.(06全國I理22)該數(shù)列an的前n項和Sn - an - 2n 1 - (n=1、2、3)求3 33 an的通項公式。4 124斛：由Sn an2(n=1、2、3)得a1Si =a15 3336 12一所以 a1=2再 Sn1 = an12(n=2、3)333 一41將和相減得：an = Sn Sn1 (an an 1

17、) (22n)33整理得an 2n 4(an 1 2n 1) (n=2、3)因而數(shù)列an 2n是首項為a1 2 4 ,q=4的等比數(shù)列。即an2n = 4 4n 1=4n,因而an4n2n oan與bn必須得重新構(gòu)造七.重新構(gòu)造新方程組求通項法有時數(shù)列禺和燈的通項以方程組的形式給出，要想求出 關(guān)于an和bn的方程組，然后解新方程組求得 an和bn。an1 an 1%i4例21. (07遼寧第21題)：已知數(shù)列an, bn滿足a1=2,0=1且bn(n 2),求數(shù)列an, bn的通項公式。解析：兩式相加得anbnan 1bn 12則 anbn 是首項為aib13 , d=2的等差數(shù)列，故 an

18、bn=3+2(n-1)=2n+1 1而兩式相減得an bn = an 121 -的等比數(shù)列，故an bn=(1)n1-bn 1 =(an 1(2)bn 1)則 an bn是首項為a1匕=11q= 21/1、n,1/1、nn 2(3),bnn 2(2)。an bn2n 1聯(lián)立(1)、(2)得1nl由此得anan bn(-)n1分析 該題條彳新穎，給出的數(shù)據(jù)比較特殊，兩條件做加法、減法后恰好能構(gòu)造成等差或等 比數(shù)列，從而 再通過解方程組很順利求出 an、bn的通項公式。若改變一下數(shù)據(jù)，又 該怎樣解決呢？下面給出一種通法。a2a 6b例 22.在數(shù)歹U an、 bn中 a1=2, b1=1,且(ne N )求數(shù)歹U an和 bnbn 1 an 7a的通項公式。解析：顯然再把 an 1與bn 1做和或做差已無規(guī)律可循。不妨構(gòu)造新數(shù)列anbn其中為0的常數(shù)。則76.、入an 1bn1 =2an6bn(an7bn ) = (2) an + (76)bn = (2)(an2 bn )v76 2得1=2或2=3則anbn為首項abi, q= +2的等比數(shù)列。即1=2時，an 2bn是首項為4, q=4的等比數(shù)列，故an 2bn=4x 4n 1=4n;2=3時，an 3bn是首項為5, q=5的等比數(shù)列，故an 3bn=5x 5n 1=5n聯(lián)立二式 an 2bn 4 解得 a