基本不等式,高考?xì)v年真題

1、溫馨提示:高考題庫(kù)為 Word版，請(qǐng)按住 Ctrl ,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的 觀看比例，點(diǎn)擊右上角的關(guān)閉按鈕可返回目錄?！究键c(diǎn)20基本不等式2009年考題1. （2009天津高考）設(shè)a >0,b A0.若聞3a與3b的等比中項(xiàng)，則-+-的最小值為（ a b1A 8B 4C 1D 4【解析】選B.因?yàn)?a ,3b =3,所以a+b = 1 ,卜一伊."之一十一:2,2":b a當(dāng)且僅當(dāng)一=即a = b =a b1 ,一一時(shí)=成立,故選擇B.211 .2. （2009天津局考）設(shè) x, y w R,a >1,b >1,若ax =by = 3, a +b =

2、2*5,則一十一的最大值為（）x yA.2B. -C.1D.-22【解析】選 C.因?yàn)?ax = by =3, x = log a 3, y = log b 3, + = log 3 ab W log 3（-）2 = 1 （當(dāng)且僅 x y2當(dāng)a=b=志時(shí)等號(hào)成立）.3. （2009重慶高考）已知 a >0, b >0 ,則1十二+2 JOb的最小值是（）a bA. 2B. 272C. 4D. 5【解析】 選C.因?yàn)槭な?jab至2./ +2jab = 2（sj + Vab）至4當(dāng)且僅當(dāng)=, a bi ab, aba b且 J =Vab,即 a=b時(shí)，取 "二號(hào)。w.w.

3、w.k.s.5.u.c.o.m ,ab3TJI4. （2009湖南高考）若 xC（0,1）貝U 2tanx+tan（ ：-x）的最小值為 .1 一【斛析】 由 x=（0, ），知 tan口 >0,tan（口）= cot" =:>0,所以22tan ;2tana +tan(- -a) =2tana 1 >272,當(dāng)且僅當(dāng) tanoc =-時(shí)取等號(hào)，即最小值是272。2tan ：2答案：2、, 22 ,.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m5. （2009湖南局考）右X >0 ,則x+的取小值為X【解析】x 0 x - -2、2,當(dāng)且僅當(dāng) xx = 2= x =

4、 J2時(shí)取等號(hào) x答案：2、26. （ 2009湖南高考）若X >0 ,2【解析】選：x>0=x+2至X2 ,則x + 一的取小值為.一2 2亞,當(dāng)且僅當(dāng)x= = x=J2時(shí)取等號(hào)x答案：2.27. （2009江蘇高考）按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元，如果他賣(mài)出該產(chǎn)品的單價(jià)為m元，則他的滿(mǎn)意度為m ；如果他買(mǎi)進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為 n元，則他的滿(mǎn)意度為m an .如果一個(gè)人n -a對(duì)兩種交易（賣(mài)出或買(mǎi)進(jìn)）的滿(mǎn)意度分別為 和兒，則他對(duì)這兩種交易的綜合滿(mǎn)意度為Jhh2.現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn) A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為 12元和5元，乙生產(chǎn) A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元

5、和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為 mA元和mB元，甲買(mǎi)進(jìn)A與賣(mài)出B的綜合滿(mǎn)意度為h甲，乙賣(mài)出A與買(mǎi)進(jìn)B的綜合滿(mǎn)意度為hfc 一3求h甲和h乙關(guān)于mA、mB的表達(dá)式；當(dāng) mA= mB時(shí)，求證： 屏=h乙；5>3八E 、，一（2）設(shè)mA = mB,當(dāng)mA、mB分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿(mǎn)意度均最大？最大的綜合滿(mǎn)意度 5為多少?（3）記（2）中最大的綜合滿(mǎn)意度為ho，試問(wèn)能否適當(dāng)選取 mA、mB的值，使得 上之卜0和hfc>h0同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立？試說(shuō)明理由?！窘馕觥浚?）-A (切.w 3,12,修人七5,20)w 3,.當(dāng)mA = mB時(shí)，h甲=535 mBmB5mB

6、+12 mB %2 mB(mB 20)(mB 5) ,3.mB2二 5 BmB二mB13mB 3 mB 20 (mB 5)(mB 20),3,(2)當(dāng) mA = mB 時(shí),5111由mB/5,20得一,一,故當(dāng)mB20 51mB120即 mB = 20, mA =12 時(shí),甲乙兩人同時(shí)取到最大的綜合滿(mǎn)意度為（3）由（2）知：h0 = -105105.mAmB.1U/曰由h甲=JAB >h0 = 得: mA 12 mB 55mA 12 mB 5 . 5 '三一mAmB2，351令=x,=y,則 x、 y=一,1,即:mAmB45(1 +4x)(1 + y) W 。2同理，由 h乙

7、h0 = -10-得：(1 x)(1 4y)- 521 一 5 一力一萬(wàn)面，x、y ,1 1 4x、1+4y 2,5, 1 x、1+y - ,2, 425513 3(1+4)(1 +y) <-,(1 +x)(1+4y) E,當(dāng)且僅當(dāng) x = y =一,即 mA =- mB 時(shí)，取等號(hào)。由(1)知 mA = - mB22455時(shí)h甲二八乙所以不能否適當(dāng)選取 mA、mB的值，使得h甲之兒和怔之玲同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立。8.（2009湖北高考）圍建一個(gè)面積為 360m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其他三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口

8、，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為 x（單位：米），修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y （單位：元）(I)將 y 表示為 x 的函數(shù)： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(n)試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用。【解析】(1)如圖，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為a m,貝U y2=45x+180(x-2)+180 2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a= 360x3602 _所以 y=225x+ -360( x 0) w.w.w.k.s.5.u.c.o.mx36022(11) .x 0,. 225x 2 .

9、 225 360 =10800 x36023602 g 金口4、:y=225x+ -360之10440 .當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí)，等號(hào)成立.xx即當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元.2008年考題 1、(2008四川高考)已知等比數(shù)列 4中a2=1,則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是()(A) (-«,-1(B) (g,0)U(1,F)(C) 3,9(D) (g,_1U3,")【解析】選D.方法1 ： 等比數(shù)列an中a2=1/.當(dāng)公比為1時(shí)，a1=a2=a3 =1 ,S3=3 ； 當(dāng)公比為-1時(shí)，a =-1,a2 =1島=-1 , S3 =-1從而淘汰

10、(A) (B) (C)故選D;方法 2： 等比數(shù)列an中a2=1S3=&+a2+a3=a2(1 +q +-) =1 +q+-當(dāng)公比 q a0時(shí)，qq6=1+! 1+2"與；當(dāng)公比 q<0 時(shí)，6=1(F2)，1-2L <-1)=-1.-. S3W(-eo,_1U3,F)故 q qqq選D;方法3:S3 =x+1+1 (x 00).由雙勾函數(shù) y=x x+1的圖象知, xx+：2或 x+f, -2,故選 D.2、(2008重慶高考)函數(shù)f(x)=用的最大值為(D. 1【解析】 選B. f (x)小，2(當(dāng)且僅及二Jr即x=1時(shí)取等號(hào))。故選Bo3、(2008浙江高考

11、)已知a鹿0,b 0,且a+b=2,則()A. ab, 12B.ab122222C. a +b 2 D. a +b , 3一22222【解析】 選C.由a鹿0,b 0，且a+b =2, 4=(a+b) =a +b +2ab, 2(a +b ),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立. a2 +b2 .-2。4、（2008陜西高考）3 =1 ”是 對(duì)任意白正數(shù)x, 2x+-1”的（）8XA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】 選A. a=1 = 2x+aX =2x+R2j2xx8X=1 ,另一方面對(duì)任意正數(shù) x, 2x+-a-1只要2x a鹿2 2x ax =2

12、2a5、（2008江西高考）若0 口a?,。D b2,且為 +a?="十b2 =1 ,則下列代數(shù)式中值最大的是（1A.+a2b2B. aa+bbC. &b2 +a2。D. 2【解析】選A. a1a2+b1b2,(生券)2+(卡)2=2a1b> +a2b2 -(a1b2 +a2bi) =(a a2)b1 +(a a2)b2 =(a2 a)(b2 -b)0a1b +a2b2 (a1b2 +a2bi)11=(a1+a2)(b +b2)=a1b+a2b2+a1bl+a2b ,2(a1bl+a2b2). .a1bl+a2b2j6、( 2 0 0 8年安徽高考)設(shè)函數(shù) f (x)

13、=2x+11(x <0),則f(x)()xA.有最大值B.有最小值C.是增函數(shù)D,是減函數(shù)【解析】 選 A . x<0.-. -2x>0,-1 >0 , f(x)=2x+11=-(2x)+()1,由基本不等式 xxxf(x)=-(-2x) +(-1)-1, -2j(-2x)(1) 1=-2后1 有最大值. xxy ，7、（2008江蘇圖考）x, y, z= R ,x 2y+3z = 0,工的最小值為 xzx - 3z，代入得xz【解析】 本小題考查二元基本不等式的運(yùn)用。由x-2丫 + 32 = 0得丫 =人z2x2 9z2 6xz 6xz 6xz之=3 ,當(dāng)且僅當(dāng)4xz

14、4xz答案：38、 （2008湖北高考）.如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為 18000cm2,四周空白的寬度為10cm,兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm,怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm),能使矩形廣告面積最??？【解析】 方法1:設(shè)矩形欄目的高為 a cm,寬為b cm,則ab=9000.廣告的高為 a+20,寬為2b+25,其中a>0, b>0.廣告的面積 S= (a+20)(2b+25)= 2ab+40b+25a+500 = 18500+25a+40b> 18500+2.25a .40b =1850

15、0+ .1000 ab =24500.5 當(dāng)且僅當(dāng)25a= 40b時(shí)等號(hào)成立，此時(shí) b= 5 a，代入式得a=i20,從而b=75.8即當(dāng)a=120 , b=75時(shí),S取得最小值 24500.故廣告白勺高為140 cm,寬為175 cm時(shí)，可使廣告的面積最小 .方法2：設(shè)廣告的高為寬分別為 x cm, y cm,則每欄的高和寬分別為 x 20, y .25,其中x>20, y>252兩欄面積之和為 2(x 20)匕生=18000,由此得y=竺000 + 252x- 2011800018000廣告的面積 S=xy=x(+ 25) = + 25 x,x-20x -20整理得 s= 36

16、0000 25(x -20) 18500.x -20因?yàn)?x-20>0,所以 S>2 J360000 x 25( x-20) +18500 = 24500. x -20當(dāng)且僅當(dāng)360000 =25(x 20)時(shí)等號(hào)成立,x -20此時(shí)有(x- 20)2= 14400(x>20),解得 x=140,代入 y= 18000 +25，得 y= 175, x-20即當(dāng)x=140 , y= 175時(shí)，S取得最小值 24500,故當(dāng)廣告的高為 140 cm,寬為175 cm時(shí)，可使廣告的面積最小.2007年考題1. (2007上海高考)已知 a,b為非零實(shí)數(shù)，且 a <b,則下列命

17、題成立的是()._ 2 .22 _ 211baA、a <bB、ab <a bC、-r <；-D、一 < ab2a2ba b22ab 02 一 2【斛析】 選C.右a <b <0= a >b , A不成立；若i = a b < ab ,B不成立；若a =1, b =2,a : bb _ a 1 b a則一 =2, =一二 一>一 ,所以D不成立，故選C.a b 2 a b 2ab2. (2007重慶局考)若 a是1+2 b與1-2 b的等比中項(xiàng)，則 的取大值為()|a| 2|b|2、, 5A.15【解析】 選B.a是1+2b與1-2b的等比中

18、項(xiàng)，則 a2 =1 _4b23a2 +4b2 =1之4|ab |.1。o|ab| . , a2 4b2 =(| a| 2|b|)2 - 41ab | = 1.42ab _ _2ab_ . _2 |ab|_ _4( ab)2|a| 2|b| J一4|ab| 一 一4|ab| 1 - 4 | ab|11Jab |4,4 |ab|4_ 444 n = o 2i 一+(一)V(+2) -4,|ab| ab , |ab|2ab4、 2max 二一.|a| 2|b| 13241 _x_ .3. (2007山東高考)函數(shù)y=a (a>0, a#1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn) A ,若點(diǎn)A在直線11 ,mx+ny 1 =0(mn >0)上，則 一 十一的最小值為 m n1 _x